Hệ phương trình tuyến tính tổng qt gồm m phương trình với n ẩn có dạng:
au xx + a12x2 + . • • + aln Xn - bl a21 X1 + a22 x2 + . • • + a2n Xn = b2 aml X1 + am2 x2 + . . ■ + amn xn - bm
(1.3)
ở đây ta sử dụng các ký hiệu:
aịj là hệ sơ của ẩn Xj trong phương trình thứ i
(i = l,2,...,m; j = 1,2,.,.,n)
A = n là ma trận hệ số của hệ phương trình
bi b2
b = véc tơ vế phải của hệ phương trình,
aij a2j
véc tơ cột thứ j của ma trận A
- a™j
A = [A I b] ma trận mở rộng của hệ phương trình.
Hệ phương trình (1.3) cịn có thể viết dưới dạng: ỀaijXj = bi (i = l,2,...,m) (1.3’)
j=i
hoặc dưởi dạng véc tơ
ỉxjAj=b (1.3”)
j=l
và dưới dạng ma trận
AX = b (1.3’”) Hệ (1.3) được gọi là hệ thuần nhất nếu
bị = 0 (i = l,2,...,m)
trong trưịng hợp ngược lại (khơng phải mọi bj = 0) ta gọi
là hệ không thuần nhất.
- Véc tơ X thoả mãn mọi phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ
- Một hệ có ít nhất một nghiệm gọi là hệ có nghiệm hay hệ tương thích.
- Một hệ có một nghiệm duy nhất gọi là hệ xác định. - Một hệ có hơn một nghiệm (sẽ có vơ số nghiệm) gọi
- Một hệ khơng có nghiệm gọi là hệ vơ nghiệm.
- Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương
đương với nhau nếu mọi nghiệm của hệ này cũng
là nghiệm của hệ kia và ngược lại hoặc hai hệ đều khơng tương thích?
2. Các phép biên đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính
Ba phép biến đổi dưới đây được gọi là các phép biến
đổi sơ cấp trên hệ thống phương trình tuyến tính: a. Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau
b. Nhân hai vế của phương trình của hệ với cùng một
số khác khơng
c. Cộng vào hai vế củà một phương trình hai vế tương ứng của một phương trình khác sau khi đã nhân
với một số.
Ta dễ dàng có thể chứng minh được: Các phép biến đổi
sơ cấp biến hệ phương trình đã chị thành hệ phương trình
tương đương.
Đối với một hệ phươữg trình tuyến tính ta quan tâm tới hai câu hqi sau:
1. Khi nào hệ có nghiệm và có bao nhiêu nghiệm?
2. Tìm nghiệm của hệ như thế nào?
Đầu tiên chúng ta nghiên cứu câu hỏi thứ hai: phương pháp thực hành để giải hệ phương trình tuyến tính.
Phương pháp khử dần các ẩn:
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp đối với hệ phương trình
đã cho, ta lần lượt loại ẩn Xi ra khỏi mọi phương trình kể từ phương trình thứ hai trâ đi nếu hệ số an khác khơng.
trình thứ hai, nếu hệ số của x2 khác khơng... Q trình tiếp tục chừng nào cịn có thể. Bằng cách như vậy, ta chuyển hệ phương trình đã cho về hệ phương trình tương đương với nó. Đối với hệ phương trình mới này, ta dễ dàng
có thể chỉ ra hệ vơ nghiệm, hệ có một nghiệm duy nhất
hay hệ có vơ số nghiệm tuỳ thuộc vào các trưòng hợp cụ thể của hệ được xét.
Trong tính tốn thực hành, để thực hiện phương pháp
khử dần, ta chỉ cần viết ma trận mỏ rộng [A I b], sau đó
thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma
trận biến đổi, sao cho các phần tử nằm ngoài đường chéo
đều trỏ nên bằng 0. Ví dụ 1.6. Giải hệ phương trình: xt + 3x2 + 4x3 = 25 ' 2xỵ + 9x2 +14x3 - 74 X1 + 7X2 + 14x3 = 61 Lập ma trận mở rộng và biến đổi p r 13 4 25 13 4 25 10-2 1 2 9 14 74 -> 0 3 6 24 -> 0 12 8 1 7 14 61 0 4 10 36 0 0 2 4 1 0 0 5 > 0 1 0 4 0 0 1 2
Từ ma trận đầu, lấy hàng thứ nhất nhân với -2 rồi cộng vào hàng hai, hàng thứ nhất nhân với -1 rồi |CỘng vào hàng
thứ ba, ta được ma trận thứ hai. ơ ma trận thứ hai-, lây hàng hai nhân với -1 rồi cộng vào hàng thứ nhất, chia hàng thứ hai cho 3, sau đó nhân với -4 rồi cộng vào hàng
thứ ba ta được ma trận thứ ba. ở ma trận thứ ba, ta lấy
hàng ba cộng vào hàng thứ nhất, lấy hàng thứ ba nhân
vởi -1 rồi cộng vào hàng thứ hai, chia hàng thứ ba cho 2, ta nhận được ma trận thứ tư, ứng với hệ
= 5 = 4 = 2
Như vậy hệ có một nghiệm duy nhất XT = (5, 4, 2)
Ví dụ 1.7. Giải hệ phương trình
xx + 3x2 + 4x3 = 25 2xx + 9x2 +14x3 = 74
X! + 6x2 + 10x3 = 36
Lập ma trận mở rộng và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận
p
13 4 25 13 4 25 10-2 1
2 9 14 74 -> 0 3 6 24 -> 0 12 8
16 0 36 0 3 6 11 0 0 0 - 13
Lây hàng một của ma trận đầu nhân với -2 rồi cộng vào hàng hai, lấy hàng một nhân với -1 rồi cộng vào hàng
ba, ta được ma trận thứ hai. Trong ma trận thứ hai, ta
lấy hàng hai nhân với -1 rồi cộng vào hàng một và ba,
sau đó chia hàng hai cho 3 ta được ma trận thứ ba, ứng
với hệ:
-2x3 = 1 + 2x3 = 8
Hệ này vơ nghiệm, nên hệ phương trình đã cho vơ nghiệm. Ví dụ 1.8. Giải hệ phương trình X! + 3x2 + 4x3 = 38 ' 2xỵ + 9x2 + 14x3 = 74 xx + 6x2 + 10x3 = 36
Lập ma trận mỏ rộng và thực hiện các phép biến đổi
sơ cấp trên các hàng của ma trận như sau:
—
13 4 38 13 4 38’ 10-2 40
2 9 14 74 -> 0 3 6 -2 —> 0 12 -^3
1 6 10 36 0 3 6 -2-, 0 0 0 0
ở ma trận thứ nhất, ta nhân hàng thứ nhất với -2, với
-1 rồi cộng vào hàng thứ hai, thứ ba, ta nhận được ma trận thứ hai. ở ma trận thứ hai, ta lấy hàng hai nhân
với -1 rồi cộng vào hàng một và ba sau đó lấy hàng hai chia cho 3, ta nhận được ma trận thứ ba, ứng với hệ
xx - 2x3 = 40
x2 + 2x3 = -^3
0 =0
Phương trình thứ ba loại khỏi hệ. Từ hai phương trình
đầu ta có:
xx = 40 + 2x3
x2 = -2/3 - 2x3
ở đây x3 có thể nhận giá trị tuỳ ý và như vậy trong trưồng hợp này hệ có vơ số nghiệm. Nghiệm tổng qt của
Ví dụ 1.9. Giải hệ phương trình
xx + 3x2 + 4x3 + 8x4 + 6x5 = 25 • 2xj + 9x2 + 14k3 + 28x4 + 12x5 = 74
xx + 7x2 + 14x3 + 26x4 + 10x5 - 61
Thành lập ma trận mỏ rộng và thực hiện các phép biến
đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận, sau ba bưởc ta được:
1 3 4 8 6 25 1 3 4 8 6 25 2 9 14 28 12 74 -> 0 3 6 12 0 24 1 7 14 26 10 61 0 4 10 18 4. 36 ma trận thứ tư ứng với hệ 1 0-2-4 6 1 10 0-2 10 5 -> 0 12 4 0 8 -> 0102-4 4 0 0 2 2 4 4 0 0 11 2 2 - 2x4 + 10x5 = 5 + 2x4 - 4x5 = 4 + x4 + 2x5 = 2
Từ các phương trình trên ta chuyển x4, x5 sang vế phải
làm ẩn tự do, chúng ta nhận được
xx = 5 + 2x4 - 10x5 x2 = 4 - 2x4 + 4x5 x3 = 2 - x4 - 2x5
gán cho x4, x5 các giá trị tuỳ ý, chúng ta sẽ nhận được vô sô nghiệm của hệ
Nghiệm tổng quát của hệ:
Chú ý: Phương pháp khử dần các ẩn không nhất thiết
phải bắt đầu từ ẩn Xi và cũng không nhất thiết với ba ẩn đầu tiên như các ví dự xét ỏ trên.
Trong các ví dụ đã xét chúng ta thấy rằng đối vởi một hệ phương trình tuyến tính có thể vơ nghiệm, có thể có một nghiệm duy nhất hoặc có thể có vơ số nghiệm, ở phần sau ta sẽ thấy trong chứng minh đối với một hệ phương
trình tuyến tính tổng qt, cũng chỉ xẩy ra một trong ba khả năng đã nói ở trên.
Nếu kết quả cuối cùng của phương pháp khử dần sau
khi đã loặi đi các phương trình thừa nếu có, ta chuyển hệ
đã cho về hệ tương đương gồm h phương trình độc lập, (h
véctơ hàng tương ứng là độc lập tuyến tính), h < n. Trong hệ này có h ẩn (được gọi là các ẩn cơ sỏ) có thể biểu diễn qua (n - h) ẩn còn lại - gọi là các ẩn ngoài (hay phi) cơ
sở. Dạng như vậy của một hệ phương trình tuyến tính được gọi là dạng chính tắc của hệ. Trong dạng này mỗi phương trình của hệ chứa một và chỉ một ẩn cơ sở. Khi đã chuyển
một hệ phương trình về dạng chính tắc thì xem như hệ đã được giải. Đối với các biến phi cơ sỏ ta có thể gán cho
chúng những giá trị tuỳ ý và từ đó ta xác định được các giá trị tương ứng của các biến cơ sỏ.
Vì hệ có (n - h) biến có thể nhận giá trị tuỳ ý, nên ta nói hệ phương trình tương ứng có (n - h) bậc tự do.
- Nếu gán cho các biến phi cơ sỗ các giá trị bằng không,
ta sẽ nhận được một nghiệm của hệ. Nghiệm này được gọi là nghiệm cơ sỏ. Trong nghiệm cơ sỏ khơng có q h ẩn (số phương trình độc lập tuyến tính) nhận giá trị khác khơng
Nói cách khác nếu trong hệ chính tắc, các số hạng ỏ vế
phải đều khác khơng thì trong nghiệm cơ sở tương ứng có
đúng (n -h) ẩn nhận giá trị không và đúng h ẩn nhận giá
trị khác không (nghiệm không suy biến). Ngược lại nếu một hay một số sô hạng ở vế phải bằng khơng, thì trong nghiệm
cơ sở tương ứng sẽ có một hay một số ẩn cơ sở nhận giá trị bằng không, tức là sô ẩn với giá trị khác không sẽ nhỏ
hơn h (nghiệm suy biến)
Một hệ phương trình có thể có nhiều nghiêm cơ sở. Số nghiệm cơ sỏ bằng sô các cách có thể chuyển hệ vê dạng
chính tắc, vậy sơ' các nghiệm cơ sở không vượt quá sô các
cách chọn h ẩn từ n ẩn, tức là không vượt quá