Với mỗi bài tốn qui hoạch tuyến tính đều có tương ứng
một bài tốn qui hoạch tuyến tính khác hồn tồn xác
định, gọi là bài tốn đối ngẫu của nó. Cặp bài tốn đối
ngẫu có một mối liên hệ chặt chẽ với nhau, nghiệm của chúng có một loạt tính chất chung có thể sử dụng đểggiải quyết nhiều vấn đề trong nghiên cứu lý thuyết và thực
hành tính tốn.
ở đây chúng ta chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ bản
nhất của lý thuyết đối ngẫu.
3.1. THIẾT LẬP BÀI TOÁN Đối NGẪU
Cho bài tốn dạng chính tắc:
Z(x) = 2. Cj Xj -> max (3.1)
j=i
ajj Xj = bị (i = 1, 2,..., m) (3.2)
j=i
Xj > 0 (j = 1, 2,...., n) (3.3)
Bài toán (3.1) - (3.3) gọi là bài tốn gơc. Dựa vào cấu
tính khác gọi là bài tốn đối ngẫu của bài tốn (3.1) - (3.3) có dạng sau: g(Y) = ỉ bj y, -> min (3.4) i=i ỉ i=1 aij Yi > Cj (j = 1, 2,..., n) (3.5) Nếu dùng ký hiệu:
X - véc tơ côt n chiều, A - ma trận cấp m X n, b - véctơ
cột m chiều, CT - véctơ hàng n chiều, Y - véctơ cột m chiều thì dạng ma trận của hai bài toán như sau:
Bài toán gốc: Z(x) = CTX -> max (3.1’)
AX = b (3.2’)
X > 0 (3.3’)
Bài toán đối ngẫu
g(Y) = bTY -> min (3.4’) ATY > c (3.5’)
ở đây ta có thể đưa ra những nguyên tắc thiết lập bài tốn đối ngẫu:
- Nếu Z(X) -> max thì g(Y) -> min và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có dạng ">"
- Nếu Z(X) -> min thì g(Y) -> max và hệ ràng buộc
của bài toán đối ngẫu có dạng "<"
- Số ràng buộc (khơng kể ràng buộc về dấu) trong bài tốn này bằng sơ biến trong bài toán kia. Như vậy
tương ứng với một ràng buộc của bài toán này là một
biến của bài tốn kia.
- Hệ sơ trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế
phải của hệ ràng buộc trong bài toán kia.
- Ma trận điều kiện trong hai bài toán là chuyển vị
của nhau.
- Các biến trong bài tốn đối ngẫu khơng có ràng buộc
về dấu khi các ràng buộc của bài toán kia đều mang
dấu đẳng thức. Cặp ràng buộc đối ngẫu: Ta gọi hai
ràng buộc bất đẳng thức (kể cả ràng buộc dấu), trong hai bài toán cùng tương ứng với một chỉ số, là một cặp ràng buộc đối ngẫu. Trong hai bài tốn đối ngẫu
trên, ta có n cặp ràng buộc đối ngẫu:
Xj > 0 và s aij y¡ > Cj (j = 1, 2,...,n)
Ĩ=1
Ví dụ 3.1. Viết bài tốn đơi ngẫu của bài tốn sau:
Z(x) = -2xỵ + 4x2 - 5x3 + 2x4 - x5 -> max
f 3xx - 2x2 - x3 + 7x4 - 2x5 + 2x6 = - 10
)-x4 + 3x2 + 5x3 + 3x5 - 4x6 = 7
I8XJL - 3x2 + 2x3 - 3x4 + x5 + 3x6 - 14
Xj > 0 (j = 1, 2,..., 6)
Bài tốn đã cho có ba ràng buộc nên bài tốn đối ngẫu
có ba biến yn y2, y3. Ta có:
3yi - y2 + 8y3 > - 2
- 2yx + 3y2 - 3y3 > 4
. - yi + 5y2 + 2y3 > - 5 7yx - 3y3 > 2 - 2yx + 3y2 + y3 > - 1
. 2yx - 4y2 + 3y3 > 0
Khi gặp một bài tốn qui hoạch tuyến tính bất kỳ thì
ta có thể chuyển bài tốn này về dạng chính tắc, viết bài
toán đối ngẫu của bài toán này và gọi nó là bài tốn đối ngẫu của bài tốn đã cho. Cụ thể ta xét bài toán dạng chuẩn: Z(X) =^Cj Xj -> max j=i (3.6) ỉ^Xị < bj , (i=l, 2, ,...,m) (3.7) Xj > 0 (j = 1, 2,...., n) (3.8)
Ta chuyển bài tốn về dạng chính tắc bằng cách đưa
vào các biến phụ xn+1, xn+2,....xn+ni
Z(X) = tCj Xj -> max j=l (3.9) ỉaij Xj + xn+i = bị (i = 1, 2,..., m) j=i (3.10) Xj > 0 (j = 1, 2,..., n 4- m) (3.11)
Bài toán đối ngẫu của (3.9) - (3.11) cũng là bài- tốn
đối ngẫu của (3.6) - (3.8) có dạng:
Hai bài tốn này có n + m cặp ràng buộc đối ngẫu
g(Y) = s bj Yi -» min i=l (3.12) ỉ ajj Yi > Cj (j = 1, 2,..., n) i=l (3.13) Yi > 0 (i = 1, 2,..., m) (3.14) Xj > 0 và ỉ ajj y¡ > Cj (j = 1, 2,....,n) i=l a¡j Xj < bj và y¡ > 0 (i = 1, 2,...,m) j=i
Ta có thể viết dưới dạng ma trận cặp bài tốn đối ngẫu (3.6) - (3.8) và (3.12) - (3.14) như sau:
Bài toán gốc: Z(x) = CTX -> max (3.6’) AX < b (3.7’)
X > 0 (3.8’)
Bài toán đối ngẫu:
g(Y) = tTY min (3.12’) ATY > c (3.13’)
Theo cách thiết lập ta dễ dàng thấy rằng nếu (3.4) - (3.5) là bài tốn gốc thì bài tốn đối ngẫu của nó chính là (3.1) - (3.3). Vì vậy ta sẽ gọi chung hai bài toán đối
ngẫu này là một cặp bài toán đối ngẫu của nhau và khi cần thiết mới chỉ rõ bài toán gốc. Do đặc điểm cấu trúc của hai bài toán mà ta gọi (3.1) - (3.3) và (3.4) - (3.5) là
cặp bài tốn đối ngẫu khơng đối xứng, cịn (3.6) - (3.8) và
(3.12) - (3.14) gọi là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng. Chú ý: Đối với cặp bài toán đối ngẫu đối xứng thì khi có bài tốn này ta có thể viết ngay bài tốn kia mà khơng
cần chuyển qua dạng chính tắc.
Ví dụ 3.2. Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau:
z = 2xx - 3x2 + 5x3 —> min xx + 2x2 > 2 4x1 - x2 + 3xg > 4 x2 + 2x3 > 3 X1 + Xg > 1 Xj > 0 (i - 1, 2, 3)
Bài toán đối ngẫu:
g = 2yx + 4y2 + 3y3 + y4 max Y1 + 4y2 + y4 < 2 < 2y ĩ - y2 + y3 - 3
3y2 + 2y3 + y4 < 5
yj > 0 (i = 1, 2, 3, 4)
Khi gặp bài toán qui hoạch tuyến tính dạng tổng qt ta có thể viết trực tiếp bài toán đối ngẫu theo lược đổ tổng
quát sau đây mà không cần chuyển về một trong hai dạng
đã xét ỏ trên.
Lược đ'ô tổng quát của cặp bài tốn đối ngẫu
Bài tốn gốc Bài tốn đơi ngẫu
n
Z(X) = X cj xj ==> max g(Y) -S b, y, -> min
j=i i=l
n
XajjXj = bị (i e Ij)