Theo phương án tối ưu này nhà máy sản xuất 200 đơn vị sản phẩm v4 và 200 đơn vị sản phẩm v5, tiền lãi lớn nhất đạt được là 42.000 (nghìn đồng).
Trong phương án sản xuất này 800 đơn vị nguyên liệu sx không được sử dụng (x6 = 800)
Bài tốn đã cho có phương án tối ưu khơng duy nhất vì A2 = 0 úng với biến x2 phi cơ sở. Nếu đưa x2 vào cơ sở thì giá trị hàm mục tiêu không thay đổi và ta nhận được
một phương án tối ưu khác (xem bảng 2.9)
Bảng 2.9
0 *6 40Ọ -10,6 0 -11,2 0 -2 1 -0,6 -4,4
90 *2 200 0,2 1 -0,6 0 1 0 0,2 0,2
120 x4 200 0,95 0 1,4 1 0 0 0,05 0,3
z 42.000 32 0 34 0 0 0 12 18
Phương án tối ưu mới là [0, 200, 0, 200, 0, 400, 0, 0] Phương án tôi ưu này khác vởi phương án tối ưu đã tìm được ỏ chỗ: thay cho việc sản xuất 200 sản phẩm v5 sẽ sản xuất 200 sản phẩm V2. Đốì vởi phương án tối ưu
này nguyên liệu vẫn không sử dụng hết nhưng cịn lại chỉ 4Ọố(x6 = 400)
Trong ví dụ đang xét, ta có chỉ hai phương án cực biên
tối ưu
a. [0, 0, 0, 200, 200, 800, 0, 0] b. [0, 200, 0, 200, 0, 400, 0, 0]
Mỗi tổ hợp lồi của hai phương án này cũng là phương án tối ưu (khơng cực biên) của bài tốn, chẳng hạn
[0, 100, 0, 200, 100, 600, 0, 0]... trọng lượng 0,5 và 0,5 [0, 160, Ọ, 200, 40, 520, 0, 0]... trọng lượng 0,2 và 0,8.
Trong thực tế, điều quan trọng là biết được tất cả các
phương án tối ưu của bài tốn đặt ra vì đối với các bài tốn thực tế, rất ít khi có thể đưa vào mơ hình tít cả các nhân tơ' của vấn đề cần nghiên cứu. Thông thường, chúng
ta bỏ qua các nhân tơ thứ yếu để giảm bớt khó khăn khi
tính toán hoặc do việc đưa các nhân tố này vào mơ hình thì sẽ mất đi tính tuyến tính của mơ hình - Để giải chúng ta phải dùng đến các cơng cụ khác của tốn học. Nếu có
nhiều phương án tối ưu thì ta có thể chọn một trong chúng phù hợp hơn đối với một số nhân tố mà ta đã bỏ qua khi
thiết lập mô hình.
2.5. TÌM PHƯƠNG ÁN cực BIÊN
Khi giải bài tốn qui hoạch tuyến tính bằng thuật tốn đơn hình, ta xuất phát từ một phương án cực biên với cơ
sở đơn vị. Nếu khi chuyển bài tốn về dạng chính tắc mà
chưa biết phương án cực biên ta phải dùng thuật tốn tìm
phương án cực biên của bài tốn (nếu có) Xét bài tốn dạng chính tắc
= 1, 2, ...m) và ma trận hệ sô không chứa cơ sở đơn vị. z - CjXjl + C2X2 +...+ CnXn —> max (2.26)
với các điều kiện:
all X1 + a12 x2 + ■ • • + aln xn = bl
< a21 X1 + a22 x2 + • • • + a2n = b2 (2.27)
aml xx + a^ x2 + . . . + Xn Xj > 0 (j = 1, 2,..., n)
không mất tính tổng qt ta có thể giả thiết bị > 0 (i
Từ bài toán đã cho ta xây dựng một bài toán phụ bằng
cách cộng vào vế trái phương trình ràng buộc i một biến giả x’j > 0 (i = 1, 2, ...,m) với hàm mục tiêu là tổng các
biến giả đã thêm vào và hàm mục tiêu này cần phải đạt cực tiểu.
Khi đó bài tốn phụ có dạng:
Z’ = x\ + X’2 +....+ X’m -> min
Với các điều kiện:
allxl + a12 x2 + • • • + aln xn + x\ = b1 a21xl + a22 x2 + • • • + a2nxn + x’2 = b2
. 3ml X1 + am2 x2 + • • ■ + + x’m = bm
Xj > 0 (j = 1, 2,....,n) X’i > 0 (1 = 1, 2,.. ,,m)
Từ cấu trúc của bài toán xuất phát và bài toán phụ ta suy ra rằng: X = [x1( x2, xn]T là phương án của bài
toán xuất phát khi và chỉ khi [x1; x2, ...,xn,0, 0]T là
phương án của bài toán phụ và do đó X là phương án cực
biên của bài toán xuất phát khi và chỉ khi [XT, 0,..., 0]T là phương án cực biên của bài toán phụ. Vì vậy việc tìm phương án cực biên của bài tốn xuất phát nếu có sẽ dẫn tới tìm phương án cực biên của bài tốn phụ có dạng X
= [X11, 0,..., 0]T đối với nó Z’(X’) = 0. Hơn nữa Z’ > 0 nên
[X1, 0,..., 0]T chính là phương án tối ưu của bài tốn phụ.
Nói cách khác việc tìm phương án cực biên của bài toán
xuất phát dẫn tới giải bài toán phụ. Bài tốn này ln
giải được vì có phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới.
Dùng thuật toán đơn hình giải bài tốn phụ, sau một số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án tối ưu [ xn x2,...,xn, x\,..., x’m]T. gọi Z’min = Z’(x1; x2)... xn., x1!,..., x’m). Có hai trường hợp xẩy ra:
1. Z’min > O, khi đó bài tốn xuất phát khơng có phương án. Thật vậy, nếu bài tốn xuất phát có phương án X chẳng hạn thì [XT, 0, 0,..., 0]T sẽ là phương án của bài toán phụ và trị số của hàm mục tiêu tương ứng là:
Z’(X, 0,...,0) = 0 c Z’nùi^mâu thuẫn với tính tối ưu của
phương án [X1’ x’i, x’2,..., x>m ]T
2. Z’min = 0, khi đó x’i = 0 (i = 1, 2, ...,,m). Phương án tối ưu có dạng [X7, 0,..., 0]T. Từ đó suy ra X là phương án cực biên của bài toán xuất phát. Đe áp dụng được thuật
toán cho phương án cực biên X của bài toán xuất phát cần
phải biết cơ sỏ của nó. Hai trưịng hợp có thể xẩy ra: a. Trong cơ sở của phương án cực biên tôi ưu X’ = [X1,
0,..., 0]T không có các véctơ ứng với biến giả khi đó cơ sồ của phương án cực biên này cũng là cơ sở của phương án
cực biên X. Để có bảng đơn hình tương ứng ta cần tính
lại hàng ước lượng A; theo hàm z và tiếp tục thuật toán.
b. Trong cơ sở của phương án cực biên tối ưu [X , 0,...,
0]T có ít nhất một véctơ biến giả ứng với thành phần x’i=
0, phương án cực biên là suy biến. Ta sẽ đưa vào một ẩn nào đó thích hợp của bài tốn ban đẩu thay cho ẩn giả bị loại khỏi các ẩn cơ sỏ. Bở các cột tương ứng với các ẩn giả rồi tính lại các ước lượng theo hàm mục tiêu z và tiếp tục
thuật toán.
Khi giải bài toán phụ cần chú ý:
- Khi lập bài toán phụ ta chỉ cộng thêm biến giả vào những phương trình cần thiết để tạo ra ma trận điều kiện có đủ m véctơ đơn vị.
- Một biến giả đã bị loại ra khỏi cơ sở thì cột tương
Ví dụ 2.8.
Giải bài tốn san bằng thuật tốn đơn hình z = X1 + 2x2 + 3x3 - x4 -> max í X.1 + 2x2 + 3x3 = 15 2X] + x2 + = 20 *1 + 2x2 + x3 + x4 = 10 Xj > 0 (j = 1, 2, 3, 4)
ở đây ma trận A chứa véctơ đơn vị A4 nên ta chỉ cần
đưa thêm 2 ẩn giả Xg, Xg và bài toán được giải qua hai pha:
- Giải bài tốn phụ để tìm phương án cực. biên cho bài
toán đã cho.
- Giải bài tốn ban đầu với phương án cực biên đã tìm đitợc.
Ồ đây bài tốn phụ có dạng: Z' = x5 +• Xß -> min
Xj + 2x2 + 3x3 + x5 =15
< 2xị + x2 + 5X, + x6 = 20.
x1 + 2x2 + x3 + x4 =10
Xị > 0 (j = rẽ)
Phương án cực biên xuất phát đối với bài toán phụ là
Bảng 2.10 Cj J Xj 1 2 3 -1 X1 x2 x3 x4 x5 Xe 1 *5 5 1 2 3 0 1 0 1 Xe 20 2 1 5 0 0 1 0 x4 10 1 2 1 1 0 0 z’ 35 3 3 8 0 0 0 1 x5 3 -1/5 7/5 0 0 1 0 x3 4 2/5 1/5 1 0 0 0 x4 6 3/5 9/5 0 1 0 z' 3 -1/5 7/5 0 0 0 2 x2 15/7 -1/7 1 0 0 3 x3 25/7 3/7 0 1 0 -1 x4 15/7 6/7 0 0 1 z 90/7 -6/7 0 0 0 2 x2 5/2 0 1 0 1/6 3 x3 5/2 0 0 1 -3/6 1 X1 5/2 1 0 0 7/6 z 15 0 0 0 1
Ó bước 3. Các ẩn giả bị loại ra khỏi cơ sơ ứng với 71 = 0. Ta tính lại các ước lượng Ại đôi voi hàm mực tiêư z và tiếp tục thưật toán,
ỡ bước 4. ta nhận được phương án tối ưư X = [5/2. 5/2. 5/21T với:
CHƯƠNG III