BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYÊN TÍNH, PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
2.1 ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYÊN TÍNH DẠNG TổNG QUÁT, DẠNG CHUẨN và
TÍNH DẠNG TổNG QUÁT, DẠNG CHUẨN và DẠNG CHÍNH TẮC
Định nghĩa 2.1.
Bài tốn qui hoạch tuyến tính dạng tổng qt là bài tốn tìm cực đại (cực tiểu) của một hàm tuyến tính, xác
định trên tập hợp nghiệm của một hệ thống hỗn hợp các
phương trình và bất phương trình tuyến tính.
z (X) =L Cj-Xj -> max (min) (2.1) j=i < bj, i = 1,2,...,s (2.2) j=l - bi , i = s + 1, ..., s + t (2.3) j=l
Hàm Z(X) được gọi là hàm mục tiêu, mỗi phương trình hoặc bất phương trình trong hệ điều kiện gọi là một
Bài tốn (2.1) - (2.3) có thể viết dưởi dạng ma trận như sau:
Z(X) = CTX —> max (min) (2. la)
AX < b (2.2a) trong đó A = [aijj là ma trận cấp (s + t).n CT = (Cx, c2,..., Cn) là véc tơ hàng n chiều, bi ^2 là véc tơ cột s + t chiều, bs+t *1 «2 X = là véc tơ cột n chiều. Xn
dấu ế có nghĩa là s thành phần đầu tiên của véc tơ điều kiện (2.2a) mang dấu bất đẳng thức và t thành phần sau cùng mang dấu đẳng thức.
Định nghĩa 2.2.
Bài tốn trong đó cần tìm cực đại (cực tiểu) của hàm
Xj > 0, j = 1,2,..., n (2.4)
gọi là bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn. Dạng ma trận của bài toán này
Z(X) = CTX -> max (2.1’) AX < b (2.2’)
X > 0 (2.4’)
Định nghĩa 2.3.
Bài tốn cần tìm cực đại (cực tiểu) hàm (2.1) với các
điều kiện (2.3) và (2.4) gọi là bài tốn quy hoạch tuyến
tính dạng chính tắc.
Dạng ma trận của bài tốn chính tắc Z(X) = CTX -> max (2.1’)
AX = b (2.3’)
X > 0
Định nghĩa 2.4.
Một véc tơ X = [xx, x2, ..., xn]T thoả mãn mọi ràng buộc
của bài tốn quy hoạch tuyến tính được gọi là một phương
án của nó.
Định nghĩa 2.5.
Phương án X = [xlỹ x2, ..., xn]T làm cực đại (cực tiểu) hàm (2.1), được gọi là phương án tối ưu hay nghiệm tổì
Định nghĩa 2.6.
Các cột Aj (j = 1,2, ..., h) của ma trận A gội lă các véc
tơ điều kiện và b gọi là véc tờ ràng buộc của bài tốn quy hoạch tuyến tính.
Định nghĩa 2.7.
Bài tốn quy hoạch tuyến tính được gọi là có phương án nếu tập các phương án của nó khơng trống và được gọi
là giải được nếu tập phương án tốỉ ưu của nó khơng trống.
Chú ý: Khi cẩn thiết ta có thể chuyển bài tốn quy hoạch
tụyến tính tổng quát về dạng chính tắc bằng cách đưa vào
các biến phụ không âm để chuyển các bất phương trình
về dạng phương trình (hệ số của các biến phụ trong hàm mục tiêu bằng 0) và thây biến không ràng buộc về dấu bởi hiệu của hai biến khơng ,âm.
Dưới đây ta xét một số ví dụ đơn giản.
Ví dụ 2.1. Chuyển về dạng chính tắc bài tốn sẳ:
X| + x2 —> max Xi - x2 < 1 ’ 2xj + x2 - 2
xt > 0
Để đưa ràng buộc thứ nhất về dạng đẳng thức ta cộng
vào vế trái ràng buộc này biến không âm x3 (x3 > 0).Tầ
thay biến x2 bỏi hiệu của hai biến không âm: x2 = x2’. - x2" . ở đây x2’, x2" > 0
Sau các biến đổi trên bài toán đã cho viết dưói dạng chính tắc như sau:
X1 + x2’ ■ x2” “* maxxx - x’2 + x”2 + x3 = 1 xx - x’2 + x”2 + x3 = 1
2xx + x’2 - x”2 =2
Xj > 0 , x2’ > 0 , x2” > 0, Xg > 0
Ví dụ 2.2. Chuyển bài toán
Xi + 2x2 - 2x3 -> max X1 + x2 - x3 < 1 1 2xx + ax2 + x3 = 2 x3 > 0 về dạng chính tắc Giải.
Đưa vào biến phụ không âm x4 (x4 > 0) và viết ràng buộc thứ nhất dưới dạng đẳng thức
xx + x2 - x3 + x4 = 1
Ta khử trong hệ phương trình hai biến X1 và x2 khơng
có ràng buộc về dấu
Cụ thể ta xét hệ
x4 + x2 - x3 + x4 = 1
2xx + ax2 + x3 =2
ở đây có thể xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1. Nếu a * 2.Các biến xx và x2 biểu diễn duy nhất qua x3 và x4:
*2 = 2^ í3-^"2-^)
Sau khi thay các giá trị này vào hàm mục tiêu, bài tốn có dạng
( \ ( A
1+ a 4- a
I2- aj x3 - <2- aj -> max
x3 > 0 , x4 > 0
Trường hợp 2. Nếu a = 2. Trong trưòng hợp này không
thể biểu diễn x4 và x2 qua x3 và x4 nhưng có thể khử một trong hai biến này, chẳng hạn x4:
xx = 1 - x2 + x3 - x4
Nếu thay biểu thức đổi với x4 vào hàm mục tiêu và ràng
buộc cịn lại thì bài tốn có dạng:
1 + x2 - x3 - x4 -> max 3x3 - 2x4 = 0
x3 > 0 , x4 > 0
Bài tốn được viết dưới dạng chính tắc, biến x2 có mặt trong hàm mục tiêu với hệ số dương nhưng khơng có mặt
trong các ràng buộc. Điều này có nghĩa bài tốn đã cho khơng giải được.
2.2 MINH HOẠ HÌNH HỌC BÀI TỐN QUY
HOẠCH TUYẾN TÍNH
Dưới đây đưa ra minh hoạ hình học cho bài tốn quy hoạch tuyến tính khi số biến bằng hai. Tuy nhiên các kết
quả thu được có thể mỏ rộng cho trường hợp bài tốn có
số biến bất kỳ.
Khi n = 2 hàm mục tiêu có dạng
C]Xj +
và tập phương án sẽ là một đa giác lồi M (McR2) - là giao của các đường thẳng tạo bởi các ràng buộc cho dưới dạng
phương trình và các nửa mặt phẳng tạo bổi các ràng buộc cho dưới dạng bất phương trình.
Phương trình cpq + C2X2 = d (a) xác định một đường
thẳng trong R và véc tơ CT = [Ci, c2] là véc tơ chỉ phương
của đưịng thẳng. Khi giải bài tốn max, ta tịnh tiến đường thẳng (a) song song với chính nó để tìm giá trị lớn nhất của d trên M (nếu có).
Lấy một điểm X bất kỳ thuộc M, vế qua X một đường thẳng song song với (a) và tịnh tiến nó theo hướng tăng
a. Có vị trí của đường thẳng song song với (a) có tính
chất sau:
Nếu ta tiếp tục tịnh tiến nó theo hướng tăng thì tập M và đưịng thẳng sẽ khơng có điểm chung (hình 2. la, b).
Trong trường hợp này, bài tốn đã cho là giải được. b. Ta có thể tịnh tiến đưịng thẳng (a) theo hướng tăng
mãi thì tập M và đường thẳng vẫn có điểm chung. Trong trường hợp này, hàm mục tiêu không bị chặn trên trong tập phương án của bài tốn (hình 2.1c) tức
là bài tốn khơng giải được.
2.3 PHƯƠNG ÁN cực BIÊN. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Ta đã biết, mọi bài tốn quy hoạch tuyến tính đều có
thể chuyển về dạng chính tắc nên trong các lập luận mà
chúng ta trình bày dưới đây chỉ cần xét đối vởi bài tốn
dạng chính tắc. Cụ thể xét bài toán:
AX = b (2.6) ■
X > o (2.7)
trong đó CT là véc tơ hàng n chiều - véc tơ hệ số của các
ẩn trong hàm mục tiêu
A là ma trận hệ số của các ẩn có cấp m.n
X là véc tơ cột n chiều - véc tơ ẩn
b là véc tơ cột m chiểu - véc tơ ràng buộc
Ta giả thiết rằng m < n và ma trận A có hạng bằng m, tức là hệ (2.6) có m phương trình độc lập tuyến tính. Ta biết rằng nếu hệ (2.6) có một số phương trình thừa thì
bằng phương pháp khử dần các ẩn, ta có thể loại đi các phương trình thừa.
Điều kiện (2.6) có thể viết dưới dạng véctơ:
XiAi + x2A2 +....+ xnAn = b (2.6a)
ở đầy Aj (j = 1, 2,..., n) là các véctơ cột của ma trận A
Định nghĩa 2.8.
Phương án X = [xn x2,...., xn]T của bài toán (2.5) - (2.7) được gọi là phương án cực biên nếu các véc tơ điều kiện Aj của ma trận A ứng với các thành phần dương của X tạo thành hệ véctơ độc lập tuyến tính.
Vì hạng của ma trận A bằng m nên số véc tơ điều kiện
Aj độc lập tuyến tính cực đại bằng m, do đó một phương án cực biên bất kỳ có khơng q m thành phần duơng và
nó tuơng ứng với ít nhất một hệ véc tơ điều kiện Aj độc
Định nghĩa 2.9.
Ta gọi một hệ m véc tơ điều kiện {Ạj} độc lập tuyến tính
bao hàm hệ thống các véc tơ tương ứng vởi các thành phần dương của phương án cực biên X là cơ sỏ của phương án cực biên ấy, ký hiệu là Aj, trong đó
J = {j : Ạj nằm trong cơ sở}
- Một phương án cực biên khơng suy biến có đúng m
thành phần dương, m véc tơ Ạj tương ứng với các thành phần duơng -này độc lập tuyến tính nên có một cơ sở duy
nhất.
- Một phương án cực biên có ít hơn m thành phần dương được gọi là một phương án cực biên suy biến. Đối với nó
có thể có nhiều cơ sở khác nhau.
- Bài tốn được gọi là khơng suy biến nếu tất cả các
phương án cực biên của nó đêu khơng suy biến.
- Khi có một cơ sở của phương án cực biên X, ta gọi
các thành phần Xj (j G J) là các thành phần cơ sỏ và các
thành phần xk (k Ể J) là các thành phần phi cơ sở hay
ngoài cơ sỏ. Đối với phương án cực biên khơng suy biến
thì mọi thành phần cơ sỏ đều dương, còn đối vởi phương án cực biên suy biến thì ít nhất có một thành phần cơ sở bằng 0.
Sau đây chúng ta nghiên cứu một số định lý để làm rõ các tính chất của bài tốn quy hoạch tuyến tính - Dựa vào đó ta xây dựng thuật tốn giải nó.
Định lý 2.1. Tập phuơng án của bài toán quy hoạch tuyến
Chứng minh.
1. Ta ký hiệu M là tập phương án của bài toán (2.5) - (2.7), ta chứng minh M là một tập lồi.
Giả sử Xx và x2 là hai phương án bất kỳ, khác nhau của bài tốn, ta có
Xi > 0 , AXx = b
x2 > 0 , AX2 = b. Lấy X là tổ hợp lồi của Xx và x2:
X = aXx + (1 - a)X2 (với 0 < a < 1)
Đối với X rõ ràng ta có: X > 0 và
AX = AtoXi + (1 - a)X2] = aAXi + (1 - a)AX2 = = ab + (1 - a)b = b
Điều đó chứng tỏ X là một phương án của bài toán, tức là X e M và M là một tập lồi.
2. Để chứng minh số điểm cực biên của tập M là hữu hạn, trước tiên ta chứng minh mệnh đề sau:
Một phương án của bài tốn quỵ hoạch tuyến tính là phương án cực biên khi và chỉ khi nó là điểm cực biên của tập phương án
a. Điêu kiện cân.
Cho X là một phương án cực biên của bài tốn, ta chứng
minh nó là một điểm cực biên của M
Khơng làm mất tính tổng quát ta giả sử phương án
cực biên X có m thành phần đầu là các thành phần có
sở, tức là
trong đó Xj > 0 (j = l,2,...,m) là các thành phần cơ sỏ. Khi đó Aj = {A1( A2,..., Ajjj} là cơ sỏ của phương án nên
X1A1 + x2A2 + ... + XmA^ = b
Nếu X không phải là điểm cực biên của tập M thì sẽ
tồn tại hai điểm khác nhau X’ và X" của M (tức là hai
phương án khác nhau của bài toán) sao cho
X = kX’ + (1 - k)X’ với 0 < k < 1
Vì các thành phần của X’ và X” không ầm, k và 1 - k là hai số dương nên (n - m) thành phần cuối của X’ và X” cũng phải bằng không giống như (n-m) thành phần cuối
của X tức là
X’ = [x’j, x’2,....,x’m,0,.....,0]T X” = [X”!, x”2,x”m,0....,0]T
Mặt khác do X’ và X” là phương án của bài toán nên
X’1A1 + X2A2 +...... + x’nAn = b X”1A1 + x”2A2 +•■••+ x”mAm = b,
Nhưng vì hệ Aj (j =l,2,....,m) là cơ sở nên b chỉ có thể khai triển theo m véctơ này một cách duy nhất.
Do đó Xj’ = Xj” ( Vj = l,2,...,m)
hay X’ = X” = X, điều này mâu thuẫn nên X phải là điểm cực biên của tập lồi M.