b. Điều kiện đủ.
2.4.3. Cải tiến phương án
Giả sử rằng, trong hệ (2.11) cịn có hệ số aOj < 0 (j ểJ0) Khi đó giá trị của hàm mục tiêu cịn có thể tăng. Để cải tiến phương án cực biên đang xét Xq ta cần đưa vào
trong phương án mới một ẩn phi cơ sỏ xk mà ứng với nó aOk < 0 (k Ể Jo) và xác định ẩn cần loại ra khỏi phương
án bằng cách xây dựng véctơ X’ như sau: x’k = 0 > 0
x’i = ft - ttịi.0 (i G Jo) (2.21)
Dễ dàng thấy X’ là nghiệm của hệ gồm m phương trình đầu của hệ (2.1Ị) nghĩa là thoả mãn AX’ = b, và sau ta sẽ thấy rằng có thể chọn 9 > 0 thích hợp để X’ > 0. Tức
là X’ là một phương án của bài tốn, ứng với X ta sẽ có Z(X) = ß0 - aok.9 > ß0 = z (Xọ) (2.22)
và Z(X’) càng lớn nếu 9 > 0 càng lớn
ở đây có thể xảy ra một trong hai trường hợp:
1. Trong các hệ số aOj < 0 (j Ế Jo) có một aok < 0 mà ccik < 0, v£ G Jo. Khi đó từ (2.21) ta thấy rằng có thể lấy 9 dương lớn tuỳ ý mà X’ vẫn là phương án và khi đó theo (2.22) thì Z(X’) sẽ nhận giá trị lớn tuỳ ý, tức là,
Z(X’) = ßo - aok.9 -> + 00 khi 9-> + 00
Trong trưống hợp này bài tốn khơng có phương án tối ưu.
2. ứng với mỗi j mà aOj < 0 (j Ể Jq) đều có ít nhất một (Xỹ- > 0 (i G Jo) khi đó ta thường chọn k là chỉ số sao cho a0k < 0 là sô nhỏ nhất trong các aOj < 0 và chọn số 9 lớn nhất để X’ vẫn là phương án (chọn như vậy với hy vọng hàm mục tiêu có thể tăng nhanh).
Muốn vậy từ (2.21) ta buộc:
x’i = b¡ - 9aik > 0 , i G Jo
Hiển nhiên đối với những i mà aik < 0 thì x’i > 0 với
mọi 9 > 0 nên bất đẳng thức trên chỉ cần xét đối với những ĩ mà aik > 0. Khi đó 9 phải thoả mãn
_ ft .
Ta chọn 0 = min , aik > °’ ie Jo} Í2-23) •
Giả sử (2.23) đạt min tại chỉ số i = r, tức là 0 = ¿>o,re J0
Thay giá trị của 0 vào (2.21) và (2.22) ta được
, = A- Xk - ark
x’j = 0 (j Ể Jo » j * k) (2.24)
x’i =ßi - ế ttik ’ (i e Jo)
Z(X’) = ßo - ¿ aok ßo = Z <2-25)
Nhận xét: theo (2.24) ta có x’r = 0 với r e Jo vì x’r = ßr - ark = 0
Điều này có nghĩa là trong phương án mới biến xr trong
phương án xo bị loại, thay vào đó là biên X k = 9
Như vậy, trong trường hợp này ta đã xây dựng được một phương án mới X’, ta sẽ chứng minh X’ cũng là một
phương án cực biên.
Định lý 2.4. Phương án X’ được xác định theo công thức
(2.24) cũng là một phương án cực biên với cơ sở là {Ai, i e J’ĩ
Chứng minh
Muốn X’ là phương án cực biên ta phải chứng minh hệ véctơ điều kiện {Aj) ứng với các thành phần Xị > 0 là độc lập tuyến tính, nhưng vì J’ D J(X’) = ịi: x’i > 0} nên chỉ cần chứng minh hệ { Áj: i e J’| độc lập tuyến tính là đủ.
Giả sử tồn tại các số otj để Xa i Aj = 0, ta chứng minh
ieJ’ dị = 0 Vị e J’.
Ta có
Xa i Aj = Xa i Aị + akAk = 0 ieJ- ieJ0 , i*r
thay Ak bởi khai triển theo cơ sở Jo (công thức 2.16a)
ta được:
Sa i Ai + ak Xa ik Aị = 0
ieJ0 , i#r ieJ0
hay X (a i + akaik) Aj+ a^fcA,. = 0
ieJ0, i*r
VÌ hệ {A^: i e Jo} độc lập tuyến tính nên . akark = 0
ái + ak.Oik = 0, i e Jo, i*r
vì ark > 0 nên ak = 0 và từ àk = 0 -> a¿ = 0
Vj e Jo, i * r hay ai = 0, Vị e J’. Điều đó chứng tỏ (A¿: i e J’} độc lập tuyến tính.
Qua phần trình bày ỏ trên ta thấy nếu phương án cực
biên Xo chưa thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu và chưa, có dấu
hiệu để khẳng định hàm mục tiêu có thể tăng vơ hạn (bài
phương án cực biên khác X’ tốt hơn, ứng với nó hàm mục tiêu tăng lên một lượng aok.0 (nếu Xq khơng suy biến thì 0 > 0) bằng cách đưa biến phi cơ sở xk vào cơ sỏ và loại biến Xj. ra khỏi cơ sở. Điều này cũng có nghĩa: trong cơ sở mởi ta
đưa véctơ Ak vào cơ sở và loại véctơ Ap ra khỏi cơ sở. Việc
biến đổi cơ sỏ này tiến hành tương tự như việc biến đổi cơ
sở của một hệ véctơ mà chúng ta đã nghiên cứu ỏ chương I.
Điều khác duy nhất ở đây là phần tử trục luôn dương và
phải chọn theo một qui tắc để đảm bảo cho các hệ số phân
tích của véctơ b theo cơ sỏ mới khơng âm (vì các hệ số của
khai triển này là các thành phần cơ sở của phương án cực
biên mới).
Quá trình biến đổi cơ sỏ được thực hiện bỏi các phép biến đổi sơ cấp trên các cột hệ số của hệ (2.11) để biến
véctơ Ak về véctơ đơn vị có một thành phần duy nhất bằng
1 ỏ vị trí phần tử trục, còn các thành phần khác bằng 0. Trong hệ (2.11) ta coi z là biến thứ (n 4- 1). Hệ này gồm (m +1) phương trình độc lập tuyến tính và biến z ln
có mặt ở cơ sở nên ở đây ta thực hiện phép biến đổi cơ
sở tổng qt cho tồn bộ các hệ sơ của hệ (2.11) kể cả
hàng các hệ số của -Z.
Khi đã chuyển sang phương án cực biên mới X’ ứng với cờ sở mới J’, ta kiểm tra tính tối ưu của phương án này và
quá trình được lặp lặi. Nếu bài tốn khơng suy biến thì giá trị hàm mục tiêu tăng một lượng nhất định sau mỗi bước đối cơ sỗ. Điều này có nghĩa là sau mỗi bước nếu khơng có dấu hiệu bài tốn khơng giải được thì ta thu được một phương án cực biên mới X’, khác với phương án cực biên cũ Xo. Vì
số phương án cực biên là hữu hạn nên phương pháp đơn
hình đối với những bài tốn khơng suy biến sau một sô' hữu hạn bước lặp sẽ dẫn tởi một trong hai kết cục sau:
a. Phát hiện hàm mục tiêu có thể tăng vơ hạn, tức là bài tốn khơng giải được
b. Tìm được phương án tối ưu