NỘI DUNG
Năng lực là thuộc tính cá nhân hình thành từ tố chất bẩm sinh và quá trình học tập, rèn luyện Nó cho phép con người tổng hợp kiến thức, kỹ năng cùng các yếu tố cá nhân như sự hứng thú, niềm tin và ý chí, nhằm thực hiện thành công một hoạt động cụ thể và đạt được kết quả mong muốn trong những điều kiện nhất định.
Theo PISA 2015, năng lực toán học phổ thông (Mathematical Literacy) được định nghĩa là khả năng của cá nhân trong việc lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh khác nhau Năng lực này bao gồm suy luận toán học và việc sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự kiện và công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Nó giúp con người nhận thức rõ vai trò của toán học trong cuộc sống và đưa ra những phán đoán, quyết định, từ đó khuyến khích sự tham gia và suy ngẫm của công dân Đây cũng là quan niệm về năng lực toán học được áp dụng trong nghiên cứu của Luận văn.
1.2 Năng lực giao tiếp toán học
Theo Pisa (2014) thì giao tiếp đƣợc mô tả nhƣ sau:
Giao tiếp là một quá trình phức tạp, phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nhau để xác định nhu cầu và khả năng cá nhân trong việc thực hiện nhiệm vụ Mức độ giao tiếp được thể hiện qua độ dài và độ phức tạp của văn bản, ảnh hưởng đến hiệu quả truyền đạt thông tin.
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Năng lực, năng lực toán
Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành từ tố chất bẩm sinh và quá trình học tập, rèn luyện Nó cho phép con người tổng hợp kiến thức, kỹ năng cùng các thuộc tính cá nhân như sự hứng thú, niềm tin và ý chí Nhờ đó, con người có khả năng thực hiện thành công các hoạt động nhất định và đạt được kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.
Theo PISA 2015, năng lực toán học phổ thông (Mathematical Literacy) được định nghĩa là khả năng cá nhân trong việc lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh khác nhau Năng lực này bao gồm suy luận toán học cùng với việc sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự kiện và công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Nó đóng vai trò quan trọng trong việc giúp con người nhận thức được vai trò của toán học trong cuộc sống, từ đó đưa ra phán đoán, quyết định và tham gia tích cực vào các vấn đề xã hội Quan niệm này cũng được áp dụng trong nghiên cứu của Luận văn.
Năng lực giao tiếp toán học
Theo Pisa (2014) thì giao tiếp đƣợc mô tả nhƣ sau:
Giao tiếp là một quá trình phức tạp, được xác định bởi nhiều yếu tố như nhu cầu giao tiếp của nhiệm vụ và khả năng cá nhân Đối với giao tiếp lĩnh hội, các yếu tố quan trọng bao gồm độ dài và độ phức tạp của văn bản, sự quen thuộc với ý tưởng, và khả năng phân loại thông tin Trong khi đó, giao tiếp biểu đạt bắt đầu từ việc đưa ra câu trả lời đơn giản và có thể mở rộng đến việc giải thích hoặc biện minh cho kết quả Pisa nhấn mạnh rằng các thành tố trong quá trình giao tiếp đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu và sử dụng thông tin hiệu quả.
Trong giao tiếp, luôn tồn tại hai bên: người gửi và người nhận thông tin, họ trao đổi thông tin qua ngôn ngữ và hành động.
- Thông tin được trao đổi: bao gồm những hiểu biết, ý tưởng, tình cảm, kinh nghiệm kỹ năng đƣợc bộc lộ
Phương pháp truyền tin là hình thức chuyển tải thông tin đến người nhận thông qua các giác quan của con người, bao gồm nghe, nói, nhìn, và thể hiện trực tiếp hoặc gián tiếp qua các phương tiện nghe nhìn khác.
- Sự phản hồi: Là sự trao đổi giữa người nhận tin với người cho tin nhằm làm rõ thông tin vừa đƣợc truyền đạt
- Bối cảnh giao tiếp: Bao gồm không gian, thời gian, địa điểm, các tình huống, vai trò của đối tác và mục đích của của cuộc giao tiếp v.v
Các thành tố trên có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, hỗ trợ nhau, tạo nên hiệu quả trong giao tiếp
Theo Pisa, giao tiếp toán học là khả năng hiểu và diễn đạt các vấn đề toán học thông qua viết, nói và đồ họa, đồng thời thể hiện quan điểm toán học một cách đa dạng Năng lực này phản ánh vai trò quan trọng của ngôn ngữ toán học trong việc truyền đạt và giải quyết các vấn đề toán học.
1.2.1.2 Năng lực giao tiếp a) Khái niệm
Năng lực giao tiếp là một trong những năng lực cốt lõi trong Dự thảo chương trình giáo dục phổ thông mới (sau 2015), thể hiện qua khả năng sử dụng quy tắc ngôn ngữ để truyền đạt và trao đổi thông tin trong các bối cảnh xã hội cụ thể Năng lực này không chỉ giúp đạt được mục đích giao tiếp mà còn thiết lập mối quan hệ giữa con người trong xã hội.
Năng lực giao tiếp cho phép con người đánh giá tình huống và điều chỉnh cách thức giao tiếp một cách hiệu quả Điều này giúp họ cởi mở bày tỏ suy nghĩ và cảm xúc mà không gây hại hay tổn thương cho người khác.
Giao tiếp có thể diễn ra giữa cá nhân và cá nhân hoặc giữa cá nhân và nhóm Một cuộc giao tiếp có thể được xem là thành công trong một nhóm trong một tình huống cụ thể, nhưng lại không thành công trong một nhóm khác trong bối cảnh khác Để đánh giá năng lực giao tiếp, cần có các tiêu chí rõ ràng.
Năng lực giao tiếp được hình thành từ một số tiêu chí cụ thể Dựa trên các quan niệm về năng lực giao tiếp, có thể xác định 6 tiêu chí chính cấu thành nên năng lực này.
Tiêu chí 1 Ngôn ngữ diễn đạt cách trình bày
Tiêu chí 2 Thái độ, biểu cảm
Tiêu chí 3 Trình bày suy nghĩ, ý tưởng
Tiêu chí 4 Lắng nghe và phản hồi
Tiêu chí 5 Đồng cảm và chia sẻ các ý kiến
Tiêu chí 6 Khả năng ứng xử, tự điều khiển
1.2.2 Năng lực giao tiếp toán học
Giao tiếp trong dạy học toán giữa giáo viên và học sinh, cũng như giữa các học sinh với nhau, đóng vai trò quan trọng trong quá trình tiếp nhận và truyền đạt các ý tưởng và kiến thức toán học Ngôn ngữ tự nhiên là công cụ chủ yếu để lập luận, chứng minh và giải quyết vấn đề, giúp đạt được mục tiêu học tập trong môn toán.
Bốn hình thức giao tiếp toán học:
- Được đặt các câu hỏi, được phân tích hoặc làm sáng tỏ các ý tưởng toán học của bạn cùng lớp
- Giải thích và trình bày đƣợc các câu hỏi của mình
- Lập luận và biện minh cho câu trả lời của mình
- Đặt câu hỏi cho bạn, tranh luận, phản ánh và đánh giá kết quả của bạn
- Đƣợc trình bày các quan điểm của mình về vấn đề toán học mà các em đang học
Giao tiếp bằng cách lắng nghe
Học sinh cần lắng nghe quan điểm của người khác để hiểu sâu sắc hơn về vấn đề, từ đó nâng cao kiến thức và kết nối các khái niệm toán học Việc tiếp thu các cách lý luận khác nhau về giải pháp sẽ giúp các em bổ sung và mở rộng hiểu biết của mình.
Giao tiếp bằng cách đọc
- Phát biểu bằng ngôn từ theo cách hiểu của mình về những gì mình đã đọc
- Ghi chú các từ chƣa rõ, xác định, đánh dấu các từ khóa
- Xác định các thông tin không liên quan và không phải là cần thiết để giải quyết vấn đề và ghi lại thông tin cần thiết cho giải pháp
- Đọc lại nội dung sau khi giải quyết một vấn đề để kiểm tra các giải pháp của mình
Giao tiếp bằng cách viết
- Thảo luận với bạn về ý tưởng toán học trước khi viết
- Viết ra ý tưởng toán học bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan như: hình ảnh, sơ đồ, bảng biểu, đồ thị, dãy số, phương trình và ký hiệu
- Sử dụng kiến thức toán học bằng cách viết ra để minh họa suy nghĩ của mình và các giải pháp hiện tại
- Theo dõi và viết lại những gì mình cho là quan trọng
BDTH là việc sử dụng và sắp xếp các thuật ngữ, ký hiệu, hình ảnh như sơ đồ, biểu đồ và đồ thị để mô tả, tượng trưng hoặc đại diện cho các đối tượng, quan hệ và quy trình toán học Biểu diễn toán học đóng vai trò quan trọng trong giao tiếp toán học.
1.2.2.2 Năng lực giao tiếp toán học
Theo Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang, năng lực giao tiếp toán học bao gồm việc thể hiện chính kiến cá nhân về các vấn đề toán học, hiểu và tiếp thu ý tưởng từ người khác, diễn đạt rõ ràng và chính xác ý tưởng của bản thân, cũng như sử dụng ngôn ngữ, quy ước và ký hiệu toán học một cách hiệu quả.
Giao tiếp hiệu quả thông qua viết, nói và đồ họa, kết hợp với việc sử dụng ngôn ngữ toán học một cách chính xác và logic, giúp làm rõ các ý tưởng toán học Điều này không chỉ hỗ trợ trong việc trình bày và lập luận mà còn giúp con người hiểu và giải quyết các vấn đề toán học một cách dễ dàng hơn.
1.2.2.3 Tiêu chuẩn về giao tiếp toán học
Trong luận văn chúng tôi có sử dụng bốn tiêu chuẩn về GTTH mà luận án “
Sử dụng nghiên cứu bài học để phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh THCS”[12] Các tiêu chuẩn đó đƣợc tóm tắt nhƣ sau:
Tiêu chuẩn 1: Tổ chức và củng cố tƣ duy toán học của HS thông qua giao tiếp
Học sinh sẽ nắm vững nội dung toán học hơn khi họ trình bày phương án giải toán và giải thích lập luận của mình với bạn bè hoặc giáo viên Việc đặt câu hỏi về những vấn đề chưa rõ ràng cũng giúp các em hiểu sâu hơn về môn học này.
Tiêu chuẩn 2: Thể hiện tƣ duy toán học của học sinh mạch lạc và rõ ràng với các bạn, giáo viên, và những người khác
Phản ánh và giao tiếp là hai yếu tố quan trọng trong quá trình học toán, đặc biệt khi giáo viên có kế hoạch và sự quan tâm đúng mực Trong lớp học, học sinh có thể giải thích câu trả lời và mô tả phương án giải quyết của mình, từ đó kiểm tra ý tưởng dựa trên kiến thức được chia sẻ Việc diễn giải, lắng nghe, đặt câu hỏi và giải thích ý tưởng của người khác giúp học sinh khắc sâu kiến thức và phát triển khả năng thuyết phục.
Ngôn ngữ toán học
NN là một hệ thống bao gồm âm, từ, cụm từ và ký hiệu, kết hợp với nhau để tạo thành công cụ giao tiếp và thúc đẩy tư duy cho các thành viên trong cộng đồng.
NNTH, trong nghĩa hẹp, là ngôn ngữ được xây dựng dựa trên hệ thống các ký hiệu toán học Trong khi đó, NNTH theo nghĩa rộng không chỉ bao gồm NNTH hẹp mà còn tích hợp các thuật ngữ toán học, hình vẽ, mô hình, biểu đồ và đồ thị, tất cả đều mang tính quy ước nhằm diễn đạt nội dung toán học một cách chính xác, logic và ngắn gọn.
Trong toán học, có sự phân biệt giữa kí hiệu và cái được kí hiệu, cũng như giữa biểu diễn và cái được biểu diễn Phương diện cú pháp tập trung vào cấu trúc hình thức và các quy tắc hình thức để xác định và biến đổi các kí hiệu và biểu diễn Ngược lại, phương diện ngữ nghĩa xem xét nội dung và ý nghĩa của các kí hiệu và biểu diễn, đi sâu vào cái được kí hiệu và cái được biểu diễn.
Mỗi kí hiệu trong ngôn ngữ toán học (NNTH) đều mang một ý nghĩa toán học cụ thể, và các kí hiệu này kết hợp với nhau để tạo thành các biểu thức diễn đạt nội dung toán học Ví dụ, kí hiệu A ⊆ B có nghĩa là "mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B." Khi kết hợp các kí hiệu để hình thành câu hay mệnh đề, cần tuân theo quy tắc cú pháp nghiêm ngặt để đảm bảo nội dung toán học chính xác Để phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh, cần chú trọng cả hai khía cạnh ngữ nghĩa và cú pháp, giúp người học nắm vững tri thức toán học và mô tả chính xác các tình huống thực tiễn.
Trong quá trình dạy học, giáo viên cần giải thích rõ ràng ý nghĩa của các thuật ngữ toán học cho học sinh Đồng thời, cần nhấn mạnh rằng một số thuật ngữ có thể có nghĩa hoàn toàn khác khi được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau.
Thuật ngữ “tỉ số” trong toán học được định nghĩa là thương của phép chia với số chia khác 0 Tuy nhiên, trong thực tế, thuật ngữ này thường được sử dụng để mô tả các tình huống có nghĩa hoàn toàn khác Ví dụ, khi nói “Tỉ số trận đấu của Việt Nam và Hàn Quốc là 2:0”, ngữ nghĩa của “tỉ số” trong ngữ cảnh thể thao hoàn toàn khác so với ý nghĩa trong toán học.
Thuật ngữ “phương trình” có ý nghĩa khác nhau trong toán học và hóa học Trong toán học, “phương trình” được hiểu là một hàm mệnh đề chứa biến, trong khi trong hóa học, nó được sử dụng để diễn đạt ngắn gọn một phản ứng hóa học.
1.3.3 Chức năng của ngôn ngữ
V.I Lê Nin đã khẳng định: “ NN là phương tiện ngôn ngữ trọng yếu giữa con người với con người”
Trong dạy và học Toán, NNTH là công cụ thiết yếu kết nối giáo viên với học sinh, học sinh với nhau, và giữa giáo viên trực tiếp giảng dạy với học sinh Công cụ này giúp trao đổi nội dung và tư tưởng Toán học, đồng thời giải quyết các vấn đề Toán học, từ đó giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm Toán học, phát triển kỹ năng và nâng cao khả năng tư duy.
Giao tiếp trong Toán học yêu cầu sự kết hợp giữa ngôn ngữ tự nhiên (NNTN) và ngôn ngữ hình thức (NNTH) để đạt hiệu quả và tính logic Tuy nhiên, không phải tất cả NNTN đều có khả năng diễn đạt chính xác các khái niệm Toán học, do đó cần sử dụng NNTH để truyền đạt nội dung một cách cụ thể và chính xác.
Dean(1982) đã khẳng định: “ Thật khó có thể diễn đạt các ý tưởng toán học hoàn toàn bằng NNTN, vì thế học sinh phải thường xuyên giao tiếp bằng NNTH”
Ngôn ngữ (NN) không chỉ là công cụ ghi lại sản phẩm và kết quả của quá trình tư duy mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy của con người Theo L.X Vygotsky, không thể tồn tại khái niệm nào mà không có từ ngữ đi kèm, và tư duy trong khái niệm luôn gắn liền với tư duy ngôn ngữ.
Theo G Polya: “Nhiệm vụ chính của DH toán ở trường phổ thông là dạy HS suy nghĩ” [10]
Quá trình tư duy của con người không thể diễn đạt nếu thiếu ngôn ngữ, và hơn nữa, con người cũng không thể tiếp nhận các sản phẩm của tư duy mà không có ngôn ngữ.
Không có ngôn ngữ thì các công thức toán sẽ không xuất hiện và không thể hiện đƣợc những hiểu biết tự nhiên
Ngôn ngữ là phương tiện biểu đạt kết quả tư duy, ngược lại nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là chuỗi âm thanh vô nghĩa
Công thức tính diện tích hình vuông S = a² là kết quả của quá trình nghiên cứu và khám phá, cho thấy rằng nếu không có tư duy, công thức này sẽ trở nên vô nghĩa.
NNTH là công cụ quan trọng trong tư duy toán học, đóng vai trò thiết yếu trong việc hình thành tư tưởng toán học Nhờ NNTH, giáo viên và học sinh có thể tổ chức và thực hiện hiệu quả các hoạt động giảng dạy và tư duy trong dạy học toán.
Biểu thức 100 : 2 3 5 6 8 chứa các ký hiệu toán học liên kết theo quy tắc nhất định và đặt ra một vấn đề cần giải quyết Để tính giá trị của biểu thức này, người học cần tư duy và tuân thủ các quy tắc tính toán Hơn nữa, những quy tắc này chính là NNTH, giúp kết nối quá trình nhận thức giữa học sinh và giáo viên.
1.3.4 Một số đặc điểm của ngôn ngữ toán học so với ngôn ngữ tự nhiên
NNTH giúp giải quyết vấn đề đa nghĩa của NNTN, vì NNTN chứa nhiều từ đồng âm với nghĩa khác nhau Để hiểu đúng nghĩa của những từ này, cần phải xem xét trong một ngữ cảnh cụ thể.
Thực trạng phát triển năng lực giao tiếp trong dạy học Đại số 10
1.4.1 Mục đích và đối tượng khảo sát a) Mục đích : Tìm hiểu thực trạng dạy học phát triển năng lực giao tiếp cho HS
THPT b) Đối tượng khảo sát : Khảo sát 285 HS trường THPT Vũ Thê Lang- TP Việt Trì-
Phú Thọ và 40 GV toán THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ
1.4.2 Nội dung và phương pháp khảo sát a) Nội dung: Tìm hiểu về sự phù hợp của NNTH trong SGK môn Toán THPT Tìm hiểu khả năng hiểu, sử dụng NNTH của HS; việc dạy học phát triển năng lực GTTH cho HS đặc biệt là trong dạy học Đại số 10 THPT b) Phương pháp khảo sát:
- Phương pháp điều tra thông qua phiếu hỏi
- Phương pháp quan sát qua dự giờ môn Toán THPT
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: phân tích, đánh giá vở bài tập toán của HS
+) Về phía GV : Phần lớn GV cho rằng NNTH trong SGK Toán THPT hiện nay là phù hợp với trình độ nhận thức của HS
Bảng số liệu nhận xét về NNTH trong SGK THPT môn Toán của 40 giáo viên
Ngôn ngữ toán học Mức độ
Rất phù hợp Phù hợp Bình thường
Các thuật ngữ toán học
Các kí hiệu toán học 4 10.0 31 77.5 5 12.5 0 0.0
Câu lệnh, cú pháp của NNTH
Hơn 85% giáo viên đánh giá rằng việc sử dụng thuật ngữ, ký hiệu, hình vẽ, biểu đồ và câu lệnh cú pháp là phù hợp hoặc rất phù hợp Tuy nhiên, vẫn còn một tỷ lệ nhỏ (5% giáo viên) cho rằng việc áp dụng sơ đồ, bảng, tranh vẽ và ảnh minh họa còn hạn chế.
Khoảng 10% học sinh trong lớp được giáo viên đánh giá là yếu trong khả năng hiểu và sử dụng hình vẽ, trong khi 20% học sinh gặp khó khăn trong việc sử dụng các thuật ngữ toán học.
Khoảng 7.5% học sinh trong một lớp học 40 học sinh gần như không bao giờ tham gia vào hình thức giao tiếp toán học trong giờ học toán, theo đánh giá của các thầy cô.
Kết quả khảo sát cho thấy học sinh có khả năng hiểu và sử dụng ngôn ngữ nghệ thuật (NNTH) trong giáo dục tiểu học còn hạn chế, với 62.5% đến 73.3% học sinh chỉ đạt mức độ trung bình Chúng tôi đã tiến hành điều tra thông qua phiếu hỏi đối với 285 học sinh để đánh giá khả năng này.
Tốt Khá Trung bình Yếu
(a) Hiểu và sử dụng các thuật ngữ toán học
(b) Hiểu và sử dụng các kí hiệu toán học
(c) Hiểu và sử dụng các hình vẽ 12 4.2 41 14.4 192 67.4 40 14 (d) Hiểu và sử dụng các biểu đồ, đồ thị
(e) Hiểu và sử dụng các sơ đồ, bảng
- Có 6.7% HS chưa biết diễn đạt ý tưởng toán học của mình hoặc diễn đạt ở mức yếu và 25.6% ở mức độ trung bình
- Có 17,2%-20% HS tự đánh giá việc tham gia vào các hoạt động giao tiếp còn không hoặc ít hiệu quả,
Thông qua quan sát dự giờ môn Toán:
Qua việc quan sát, dự giờ 6 tiết học của 4 giáo viên giảng dạy Đaị số 10 ở các lớp khác nhau, chúng tôi nhận thấy:
Giáo viên thường gặp khó khăn trong việc nhận diện và tận dụng các cơ hội để tổ chức rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giáo dục thể chất cho học sinh trong quá trình giảng dạy.
-GV còn chƣa có các biện pháp phù hợp cho HS sử dụng hiệu quả NNTH trong quá trình GTTH
Đa số học sinh tham gia vào các hình thức giao tiếp trong giờ học toán như nghe, đọc, trả lời câu hỏi, đặt câu hỏi, lắng nghe và đánh giá câu trả lời của bạn Tuy nhiên, vẫn còn một tỉ lệ nhỏ học sinh (3%-5%) chưa tham gia vào các hoạt động giao tiếp toán học, và khoảng 25%-30% tham gia nhưng không đạt hiệu quả.
- Khoảng 60%-75% học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong việc phát biểu một bài toán dưới các hình thức ngôn ngữ toán học khác nhau
Thông qua nghiên cứu vở bài tập toán của học sinh
Chúng tôi lựa chọn ngẫu nhiên 20 quyển vở bài tập của học sinh lớp 10 C1trường THPT Vũ Thê Lang để nghiên cứu và nhận thấy:
Một phần lớn học sinh có khả năng trình bày lời giải cho bài toán một cách chính xác, tuy nhiên, khoảng 30% vẫn gặp khó khăn trong việc kết hợp ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học Ví dụ, nhiều học sinh viết "tồn tại x ∈ để 2x + 1 chia hết cho 3" hay "với ∀ x " Hơn nữa, khoảng 15% học sinh chưa biết cách trình bày lời giải và không sử dụng được các thuật ngữ toán học cần thiết.
Tóm lại: Qua các hình thức điều tra khác nhau, chúng tôi có các kết luận sau:
Mặc dù giáo viên đã nhận thức được vai trò quan trọng của ngôn ngữ tự nhiên (NNTH) và giao tiếp toán học (GTTH) trong việc học môn toán, nhưng họ vẫn chưa xem xét chúng như các hoạt động học tập Điều này dẫn đến việc chưa tổ chức các hoạt động phù hợp với nội dung giảng dạy, từ đó chưa phát triển được năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trung học phổ thông.
Tỷ lệ học sinh chưa biết sử dụng hoặc sử dụng chưa đúng ngôn ngữ toán học vẫn còn cao Hơn nữa, nhiều học sinh chưa tham gia hiệu quả vào các hoạt động giao tiếp toán học, điều này cần được cải thiện để nâng cao khả năng hiểu và vận dụng ngôn ngữ toán học trong học tập.
Giáo viên vẫn chưa xác định rõ các biện pháp và phương pháp thực hiện để phát triển năng lực giáo dục tiểu học cho học sinh, đặc biệt là trong mối liên hệ với nội dung và chương trình môn toán.
Chương 1 đã tập trung nghiên cứu và làm sáng tỏ được các vấn đề sau : Thứ nhất, tìm hiểu và làm rõ các kết quả nghiên cứu liên quan đến năng lực, năng lực toán học, năng lực sử dụng NNTH, năng lực GTTH trong DH môn toán Thống nhất quan điểm “GTTH là giao tiếp diễn ra giữa GV-HS, giữa HS-HS trong quá trình DH toán, quá trình này sử dụng NNTH là phương tiện quan trọng và chủ yếu để tiếp nhận và chuyển tải các ý tưởng toán học, kiến thức toán học, đưa ra lập luận, chứng minh, giải quyết vấn đề nhằm đạt đƣợc mục tiêu học tập môn toán”
Dựa trên các cơ sở lý luận về Nền tảng Nâng cao Thống kê, chúng tôi đã tiến hành phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa Đại số 10, tập trung vào các chủ đề hàm số, phương trình và thống kê theo cách tiếp cận Nền tảng Nâng cao Thống kê.
Thứ ba, bài viết sẽ phân tích thực trạng sử dụng ngôn ngữ tự nhiên (NNTH) và dạy học (DH) nhằm phát triển năng lực giáo dục thể chất (GTTH) cho giáo viên (GV) và học sinh (HS) tại trường THPT Qua nghiên cứu, chúng tôi nhận diện những thách thức mà GV gặp phải trong việc áp dụng và tổ chức các phương pháp hỗ trợ HS sử dụng NNTH một cách hiệu quả, đồng thời khuyến khích HS tham gia tích cực vào quá trình GTTH trong lớp học.
BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC CHO
Định hướng xây dựng các biện pháp phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học Đại số 10
2.1.1 Đảm bảo sự phù hợp với mục tiêu, nội dung chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình môn toán
Môn Toán đóng vai trò quan trọng trong chương trình giáo dục quốc dân, được xem là môn học công cụ giúp người học tiếp thu tri thức cho các môn học khác Nó cung cấp các kiến thức toán học và phương pháp học tập, nghiên cứu, từ đó hình thành và phát triển tư duy phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa Học Toán không chỉ rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác mà còn phát triển khả năng sáng tạo của người học.
NNTH trong SGK Đại số 10 không chỉ là công cụ quan trọng mà còn là phương tiện chủ yếu để phát triển tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh Vì vậy, rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ và diễn đạt chính xác các ý tưởng toán học, cũng như hiểu được ý tưởng của người khác, là mục tiêu và định hướng trong việc xây dựng các biện pháp phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học Đại số 10 THPT.
2.1.2 Chú trọng đặc điểm, vai trò, vị trí của ngôn ngữ toán học trong quá trình tổ chức các hoạt động giao tiếp toán học
Mục tiêu chính của việc phát triển năng lực giáo dục toán học (GTTH) là nâng cao trí tuệ, phát triển ngôn ngữ toán học và khả năng áp dụng toán học vào thực tiễn Do đó, ngôn ngữ toán học (NNTH) cùng với ba đặc điểm nổi bật: tính ngắn gọn, tính chính xác và tính khái quát, đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành phong cách giao tiếp cũng như trong lập luận và chứng minh.
NNTH đóng vai trò quan trọng trong việc phát biểu vấn đề và "phiên dịch" các phát biểu viết, cũng như diễn đạt các suy luận khi cần thiết Do đó, với những vai trò và ý nghĩa nhất định của NNTH, chúng tôi đã xây dựng nhóm biện pháp liên quan đến việc sử dụng ngôn ngữ trong giao tiếp.
2.1.3 Chú ý đến việc lựa chọn phương pháp dạy học và nội dung dạy học góp phần phát triển giao tiếp toán học
Việc lựa chọn phương pháp dạy học tích cực là rất quan trọng để tạo động lực và động cơ học tập cho học sinh Phương pháp dạy học theo nhóm là một trong những phương pháp hiệu quả, mang lại nhiều tác động tích cực cho quá trình giao tiếp toán học.
- Dạy học theo nhóm nâng cao tính tương tác giữa các thành viên trong nhóm
- Tăng cường động cơ học tập, làm nảy sinh những hứng thú mới
- Kích thích sự giao tiếp, chia sẻ tư tưởng, nguồn lực và cách giải quyết vấn đề
- Tăng cường các kĩ năng biểu đạt, phản hồi bằng các hình thức biểu đạt như lời nói, ánh mắt cử chỉ…
- Khích lệ mọi thành viên tham gia học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau, phát triển mối quan hệ gắn bó, quan tâm đến nhau
Thông qua hoạt động nhóm, người tham gia phát triển kỹ năng giao tiếp và kỹ năng xã hội quan trọng Những kỹ năng này bao gồm khả năng chờ đợi đến lượt, tóm tắt và xử lý thông tin, cũng như xây dựng niềm tin thông qua việc thể hiện sự ủng hộ bằng ánh mắt và nụ cười Bên cạnh đó, việc yêu cầu giải thích, giúp đỡ và sẵn sàng hỗ trợ người khác cũng rất cần thiết Cuối cùng, khả năng giải quyết bất đồng bằng cách kiềm chế cảm xúc và tránh xúc phạm người khác khi có ý kiến trái ngược là một yếu tố quan trọng trong giao tiếp hiệu quả.
Việc sử dụng các bài toán kết thúc mở trong dạy học không chỉ kích thích nhu cầu giao tiếp của học sinh mà còn tạo cơ hội cho các em thể hiện hiểu biết về toán học Những câu hỏi này cho phép nhiều câu trả lời đúng, khuyến khích tư duy sáng tạo và cách giải quyết vấn đề riêng của từng học sinh Qua đó, học sinh phát triển khả năng tư duy và giao tiếp toán học, trở nên năng động, sáng tạo và tự tin hơn trong việc giải quyết các vấn đề trong học tập cũng như trong cuộc sống.
Chúng tôi đã thiết lập một nhóm biện pháp nhằm hỗ trợ phát triển kỹ năng giao tiếp thông qua cả nội dung và hình thức giảng dạy.
Nhóm biện pháp liên quan đến sử dụng ngôn ngữ trong giao tiếp
2.2.1 Biện pháp thứ nhất: GV sử dụng ngôn ngữ bao gồm ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học chính xác, hợp lí a Mục đích của biện pháp
Giúp học sinh hiểu đúng và rõ ràng nội dung toán học và biết sử dụng NNTH cũng nhƣ NNTN một cách hợp lí b Cơ sở của biện pháp
Đối với giáo viên, việc sử dụng ngôn ngữ một cách chính xác và hiệu quả là kỹ năng thiết yếu, giúp học sinh dễ dàng tiếp nhận và hiểu rõ ý tưởng mà giáo viên muốn truyền đạt.
Việc áp dụng đúng ngôn ngữ nghệ thuật và ngôn ngữ truyền thông của giáo viên hiện vẫn còn nhiều hạn chế, điều này tác động tiêu cực đến quá trình tiếp thu kiến thức của học sinh, đặc biệt là trong việc phát triển tư duy và khả năng diễn đạt của các em.
Giáo viên cần sử dụng ngôn ngữ toán học một cách hợp lý và đúng đắn, tránh lạm dụng để đảm bảo tính chính xác trong giảng dạy Ví dụ, không nên viết "không có giá trị nào của y để y là số hữu tỉ" hay sử dụng ký hiệu không phù hợp như "với ∀ " Việc này giúp tăng cường hiệu quả truyền đạt kiến thức cho học sinh.
Việc sử dụng ngôn ngữ nước ngoài trong giảng dạy cần tuân thủ một trình tự cụ thể Giáo viên phải áp dụng ngôn ngữ nước ngoài một cách hợp lý và đúng lúc để đạt hiệu quả cao, đồng thời đảm bảo các yêu cầu cần thiết.
Tính mạch lạc và uyển chuyển
Sử dụng lời lẽ và ngôn ngữ ngắn gọn, xúc tích nhƣng đầy đủ nội dung
Tính tường minh tức là phong cách sáng sủa, có giải thích và ví dụ minh họa d) Lưu ý khi thực hiện biện pháp
Việc giáo viên trình bày theo chuẩn sẽ ảnh hưởng tích cực đến cách thức học sinh tiếp nhận và thực hành kiến thức Do đó, mỗi phần học cần được giáo viên trình bày một cách rõ ràng và chính xác, giúp học sinh hình thành thói quen sử dụng đúng các ký hiệu và ngôn ngữ học thuật.
Ví dụ 2.1: Khi trình bày tập nghiệm của bất phương trình 3 x 2 0; ta có thể viết i Bất phương trình trên có tập nghiệm là ( 2; )
ii Bất phương trình trên có tập nghiệm là 2 x 3
iii Tập nghiệm của bất phương trình là { : 2}
Theo khái niệm tập nghiệm của bất phương trình, cách viết i và ii là chính xác, trong khi cách viết iii phản ánh khái niệm của ngôn ngữ tập hợp.
Ví dụ 2.2: Khi trình bày cách viết nghiệm của phương trình x 2 6x 5 0, ta có thể viết nhƣ sau: i Phương trình x 2 6x 5 0có hai nghiệm là 1 và 5 ii 2 1
(Hoặc có thể viết phương trình x 2 6x 5 0có hai nghiệm x 1 1 và x 2 5) iii 2 6 5 0 1
Để viết phương trình x² - 6x + 5 = 0 một cách chính xác, giáo viên cần giải thích cho học sinh rằng đây là định nghĩa đúng của một phương trình Trong trường hợp này, phương trình có hai nghiệm: x₁ = 1 và x₂ = 5 Việc ký hiệu các nghiệm này giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách phân biệt và biểu diễn nghiệm của phương trình.
Cần nhấn mạnh cho học sinh tránh tình trạng viết 2 1
Tập hợp A gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 18 và chia hết cho 3 có thể được biểu diễn theo hai cách: Thứ nhất, bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp A là A = {0; 3; 6; 9; 12; 15} Thứ hai, bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp, được viết dưới dạng A = {n | n chia hết cho 3 và n < 18}.
Ví dụ 2.4: Giải các phương trình sau:
x x (Ví dụ SGK đại số 10 ban cơ bản, trang 59)
Trong ví dụ này, việc không chú ý đến dạy học ngữ nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên và phân tách giữa hình thức và nội dung có thể dẫn đến việc nhiều học sinh chỉ đơn thuần biến đổi phương trình mà không hiểu sâu sắc.
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về việc phá dấu giá trị tuyệt đối, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích hai trường hợp x ≥ 3 và x < 3 Việc này không chỉ giúp học sinh thành thạo về mặt cú pháp mà còn giúp họ nhận thức được nguyên nhân của các phép biến đổi, từ đó hiểu rõ khái niệm giá trị tuyệt đối và ý nghĩa của ký hiệu này.
Trong bài viết này, chúng tôi cung cấp định hướng sử dụng ngữ nghĩa và ngữ pháp chính xác để giúp học sinh hiểu sâu về cách giải quyết các bài toán tương ứng Đặc biệt, mỗi định hướng đi kèm với phương pháp khắc phục nhằm giúp học sinh nắm vững bản chất của vấn đề từ cả phương diện ngữ nghĩa lẫn cú pháp.
GV: Em nhận xét gì về | ( ) |f x ?
HS: | ( ) |f x luôn nhận giá trị không âm
GV: Vậy để phương trình | ( ) |f x g x( )có nghiệm thì cần có điều kiện gì của hàm g x( )
Biểu thức hai vế đã được xác định là không âm, cho phép chúng ta bình phương hai vế mà không làm thay đổi giá trị Điều này giúp loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong biểu thức.
GV: Em hãy biểu diễn cách giải theo định hướng này bằng ngôn ngữ toán học em đã biết
Cách định hướng này giúp học sinh nắm vững và sâu sắc phương pháp giải bài toán, đồng thời sử dụng biểu diễn và ngôn ngữ toán học một cách chính xác Nhờ đó, các em có thể đưa ra lời giải một cách hiệu quả.
GV: Nhớ lại khái niệm | |a từ đó nhắc lại khái niệm | ( ) |f x ?
GV: Điều kiện để phương trình có nghiệm là gì?
GV: Khi đó bài toán có mấy khả năng xảy ra? Các khả năng đó là gì?
GV: Em hãy biểu diễn cách giải theo định hướng này bằng ngôn ngữ toán học em đã biết
hoặc học sinh có thể biểu diễn ngắn gọn lại thành
Học sinh có lời giải nhƣ sau:
Phương trình x - 3 = 2x + 1 có nghiệm x = 3 Dạng bài tập này không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy mà còn nâng cao khả năng sử dụng chính xác các ký hiệu và ngôn ngữ toán học trong nhiều hình thức khác nhau.
2.2.2 Biện pháp thứ hai: Giáo viên tổ chức cho học sinh dùng các ngôn ngữ khác nhau trong học tập toán a Mục đích của biện pháp
Giúp học sinh tiếp cận bài toán từ nhiều khía cạnh khác nhau và diễn đạt bài toán bằng ngôn ngữ khác nhau là một phương pháp hiệu quả Cơ sở của biện pháp này nằm ở việc phát triển tư duy linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo của học sinh.
Nhóm biện pháp liên quan đến hỗ trợ phát triển giao tiếp qua nội dung và hình thức dạy học
2.3.1 Biện pháp thứ nhất: Phát triển năng lực giao tiếp toán học thông qua phương pháp dạy học hợp tác trong nhóm nhỏ a Mục đích của biện pháp:
Giúp học sinh phát huy tính tích cực và trách nhiệm, đồng thời phát triển năng lực cộng tác và giao tiếp là mục tiêu quan trọng trong giáo dục Những biện pháp này không chỉ nâng cao khả năng làm việc nhóm mà còn cải thiện kỹ năng giao tiếp của học sinh, tạo nền tảng vững chắc cho sự phát triển toàn diện của các em Cơ sở khoa học của những biện pháp này dựa trên việc nghiên cứu và ứng dụng các phương pháp giáo dục hiện đại, nhằm khuyến khích sự chủ động và sáng tạo trong học tập.
Dạy học nhóm, hay còn gọi là dạy học hợp tác hoặc dạy học theo nhóm nhỏ, là phương pháp giáo dục trong đó học sinh được chia thành các nhóm nhỏ Trong thời gian giới hạn, mỗi nhóm tự lực hoàn thành các nhiệm vụ học tập dựa trên sự phân công và hợp tác Kết quả của các nhóm sẽ được trình bày và đánh giá trước toàn lớp, giúp nâng cao khả năng làm việc nhóm và phát triển kỹ năng giao tiếp của học sinh.
Khi áp dụng PPDH này, lớp học được tổ chức thành các nhóm từ 4 đến 6 học viên Tùy thuộc vào mục đích giáo dục và yêu cầu học tập, các nhóm có thể được phân chia ngẫu nhiên hoặc có chủ định Các nhóm này có thể duy trì ổn định trong suốt tiết học hoặc thay đổi theo từng hoạt động Mỗi nhóm có thể được giao nhiệm vụ giống nhau hoặc nhận nhiệm vụ khác nhau, tất cả đều liên quan đến một chủ đề chung.
Cấu tạo của một hoạt động theo nhóm (trong một phần của tiết học, hoặc một tiết, một buổi) có thể là nhƣ sau:
Bước 1 Làm việc chung cả lớp
GV giới thiệu chủ đề thảo luận nêu vấn đề, xác định nhiệm vụ nhận thức
Tổ chức các nhóm, giao nhiệm vụ cho các nhóm, quy định thời gian và phân công vị trí làm việc cho các nhóm
Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm (nếu cần)
Bước 2 Làm việc theo nhóm
Lập kế hoạch làm việc
Thỏa thuận quy tắc làm việc
Phân công trong nhóm, từng cá nhân làm việc độc lập
Trao đổi ý kiến, thảo luận trong nhóm
Cử đại diện trình bày kết quả làm việc của nhóm
Bước 3 Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp
Đại diện từng nhóm trình bày kết quả thảo luận của nhóm
Các nhóm khác quan sát, lắng nghe, chất vấn, bình luận và bổ sung ý kiến
GV tổng kết và nhận xét, đặt vấn đề cho bài tiếp theo hoặc vấn đề tiếp theo d) Lưu ý khi thực hiện biện pháp
Dạy học theo nhóm có thể tạo ra tiếng ồn trong lớp học, vì vậy giáo viên cần chú trọng vào việc kết hợp giáo dục và rèn luyện kỹ năng hợp tác cho học sinh.
- Trong nhóm có thể có một số học sinh tích cực, một số khác lại ỷ lại vào các bạn trong nhóm
Việc phân nhóm có thể gặp nhiều khó khăn và tốn thời gian, do đó việc đánh giá chỉ dựa vào kết quả thảo luận nhóm là không đủ Để có cái nhìn toàn diện hơn, cần kết hợp đánh giá từ giáo viên và các thành viên trong nhóm.
Sau đây là ví dụ về PPDH theo nhóm với kĩ thuật “ mảnh ghép”:
Trong bài “Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai”, giáo viên có thể áp dụng phương pháp dạy học theo nhóm khi giảng dạy về phương trình bậc hai và định lý Vi-et, nhằm ôn tập kiến thức đã học ở lớp 9 Phương pháp này không chỉ tạo điều kiện cho sự giao tiếp mà còn khuyến khích sự tương tác giữa học sinh, giúp họ hiểu sâu hơn về nội dung bài học.
Chia lớp thành 4 nhóm và đánh số thứ tự cho học sinh trong mỗi nhóm Mỗi nhóm sẽ lần lượt nhận các phiếu học tập từ 1 đến 4 để thực hiện các hoạt động nhóm của mình.
1 Hãy lấy hai ví dụ về phương trình bậc hai dạng ax 2 bx c 0(a0) có hai nghiệm x x 1 , 2
2 Tìm tổng hai nghiệm x 1 x 2 , và tích hai nghiệm x x 1 2 ?
3 Từ đó dự đoán công thức tính tổng và tích 2 nghiệm theo , ,a b c của phương trình bậc hai tổng quát
Hãy lấy ba số , , (a b c a0) tùy ý sao cho b 2 4ac0
1 Tìm 2 số x x 1 , 2 thỏa mãn hệ thức Vi-et
2 Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: ax 2 bx c 0(a0) So sánh nghiệm tìm đƣợc ở câu 2 với 2 số x x 1 , 2 ở câu 1
3 Nếu x 1 x 2 S x x; 1 2 P, tìm phương trình bậc hai nhận x 1 và x 2 làm nghiệm?
1 Hãy lấy ba số a b c, , tùy ý thỏa mãn a0 và a b c 0, tìm nghiệm phương trình ax 2 bx c 0 Nhận xét về nghiệm phương trình này?
2 Hãy lấy ba số a b c, , tùy ý thỏa mãn a0 và a b c 0, tìm nghiệm phương trình ax 2 bx c 0 Nhận xét về nghiệm phương trình này?
3 Giải thích tại sao khi a b c 0thì phuơng trình ax 2 bx c 0(a0)có một nghiệm là x1, một nghiệm là c a Tương tự khi a b c 0 thì phuơng trình
2 0( 0) ax bx c a có một nghiệm là x 1, một nghiệm là c
1 Tìm nghiệm của các phương trình sau: 2x 2 5x 3 0 và x 2 5x 6 0
2 Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử A2x 2 5x3 và B x 2 5x6 Nhận xét về vai trò các nghiệm ở câu 1 trong biểu thức và phân tích thành tích
3 Cho PT ax 2 bx c 0 (a0) có hai nghiệm x 1 và x 2 Hãy phân tích biểu thức ax 2bxc thành nhân tử
Trong quá trình thảo luận nhóm, giáo viên theo dõi hoạt động của học sinh để hỗ trợ kịp thời khi cần thiết Học sinh chia sẻ kinh nghiệm và kiến thức để hoàn thành nhiệm vụ được giao Sau khi các nhóm hoàn thành công việc, giáo viên giải tán nhóm cũ và hình thành nhóm mới Các học sinh được đánh số giống nhau sẽ hợp tác trong nhóm mới, mỗi nhóm gồm 4 học sinh, có trách nhiệm chia sẻ những điều học được từ nhóm trước Cuối cùng, các nhóm cùng nhau thực hiện và hoàn thiện phiếu học tập số 5.
1 Cho PT ax 2 bx c 0 có hai nghiệm x 1 x 2 Ký hiệu b; c
, hãy khảo sát dấu của các nghiệm theo dấu của ;S P Ghi kết quả vào bảng sau:
2 Xét dấu các nghiệm phương trình sau
Để giải bài tập (1 - 3)x² - 2(2 - 1) + x - 5 = 0, mỗi thành viên trong nhóm cần chia sẻ những kiến thức đã học từ nhóm trước Sự hợp tác và tương tác giữa các thành viên được nâng cao tối đa nhằm hoàn thành nhiệm vụ hiệu quả.
Sau khi các nhóm hoàn thành nhiệm vụ, giáo viên sẽ cho từng nhóm trình bày sản phẩm của mình Các nhóm khác sẽ nhận xét và đánh giá, sau đó giáo viên sẽ tổng kết ý kiến Để kiểm tra kiến thức và hiệu quả hoạt động nhóm, mỗi thành viên sẽ phải làm phiếu kiểm tra.
2 Phân tích biểu thức sau thành nhân tử 2017x 2 2018x1
3 Xét dấu các nghiệm của phương trình sau: (1 5)x 2 (2 33)x 3 1 0
Trong tình huống dạy học, giao tiếp được thể hiện qua sự tương tác giữa thầy và trò thông qua các nội dung toán học Học sinh cũng tương tác với nhau qua việc chia sẻ kinh nghiệm và làm việc nhóm Bên cạnh đó, sự giao tiếp giữa thầy, trò và môi trường học tập còn được thể hiện qua hoạt động toàn tiết học, từ sự điều khiển của giáo viên.
Giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc phân chia nhóm học sinh phù hợp, đồng thời cung cấp sự trợ giúp và khích lệ khi các nhóm hoặc thành viên gặp khó khăn Việc thực hiện các phiếu học tập dưới sự hướng dẫn của giáo viên cũng góp phần nâng cao hiệu quả học tập và tạo môi trường học tích cực cho học sinh.
Khi dạy bài "BPT và hệ BPT bậc nhất một ẩn" trong chương trình Đại số 10, giáo viên có thể tổ chức cho học sinh làm việc theo nhóm để củng cố kiến thức Việc này có thể thực hiện thông qua các bài tập trong phiếu học tập, giúp học sinh áp dụng lý thuyết vào thực tiễn và phát triển kỹ năng làm việc nhóm.
Phiếu học tập số 1: Khi giải BPT (x1) ( 2 x 2) 0(1), bạn Hòa đã giải nhƣ sau: (x1) (2 x 2) 0 x 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là ( ; 2]
Xét xem lời giải trên đã đúng chƣa? Nếu chƣa đúng, hãy sửa lại
Phiếu học tập số 2: Khi giải hệ BPT 2 4 0 (1)
, bạn Lan đã giải nhƣ sau:
Vậy tập nghiệm của hệ BPT trên là [2;)
Em hãy xem xét lời giải trên xem đã đúng chƣa? Nếu chƣa đúng, hãy sửa lại
Chia học sinh thành các nhóm từ 4-5 người và phân công nhiệm vụ cho từng nhóm, với một nửa nhóm thực hiện phiếu số 1 và nửa còn lại làm phiếu số 2 Các nhóm có thời gian 3 phút để hoàn thành bài làm Sau đó, đại diện của mỗi nhóm sẽ trình bày kết quả, và cả lớp sẽ cùng nhau nhận xét, bổ sung để hoàn thiện nội dung.
Để hoàn thiện phiếu học tập, mỗi cá nhân cần trình bày quan điểm và kiến thức của mình trước nhóm Học sinh phải phát huy kỹ năng giao tiếp và diễn đạt ý tưởng toán học, đồng thời rèn luyện khả năng làm việc nhóm để đạt được lời giải cuối cùng theo yêu cầu của đề bài.
