1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Toán 10 ISS kì 2 2b

47 4 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Bất Đẳng Thức
Trường học Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành Toán Học
Thể loại Tài Liệu Học Tập
Năm xuất bản 2023
Thành phố Hà Nội
Định dạng
Số trang 47
Dung lượng 2,15 MB

Nội dung

BẤT ĐẲNG THỨC I KHÁI NIỆM BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm bất đẳng thức Giả sử a, b hai số thực Các mệnh đề "a > b", "a < b", "a ³ b", "a £ b" gọi bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức Một số tính chất biết bất đẳng thức a > b b > c Þ a > c a > b Û a + c > b+c Nếu c > a > b Û a.c > b.c Nếu c < a > b Û a.c < b.c Hệ a > bü ý Þ a + c > b + d Chú ý: Không trừ vế bất đẳng thức cựng chiu c > dỵ a > b 0ü ý Þ a.c > b.d c > d ³ 0ỵ Vi a.b > ta cú a > b Û 1 < a b Với a, b ³ 0, n Ỵ N* ta có a > b Û a2n > b2n " a, b n Ỵ N* ta có a > b Û a2n+1 > b2n+1 " a,b ³ : a > b Û a > b "a,b : a > b Û a > b HDedu - Page 29 HDedu - Page 29 II CHỨNG MINH TƯƠNG ĐƯƠNG, CHỨNG MINH HỆ QUẢ Phương pháp chứng minh tương đương Để chứng minh bất đẳng thức, ta biến đổi bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức khác mà ta biết Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c tùy ý Chứng minh: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca (1) Ví dụ 2: Với x, y Ỵ R Chứng minh rằng: x + y ³ xy3 + x3y (1) Phương pháp chứng minh hệ Xuất phát từ bất đẳng thức biết bất đẳng thức mà ta chứng minh được, sử dụng tính chất hệ ta suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 3: Cho a, b, c, d > Chứng minh: < a b c d + + + Chng minh rng: (a + b) ỗ + ữ èa bø Ví dụ 6: Cho a, b > Chứng minh rằng: a b + b a ³ a+ b (1) CÁC HỆ QUẢ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI Nếu số x, y dương có tổng khơng đổi tích x.y lớn x = y Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn HDedu - Page 30 HDedu - Page 30 Nếu số x, y dương có tích khơng đổi tổng (x + y) nhỏ x = y Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ Ví dụ 7: Cho < x < Tìm GTLN f(x) = x(3 - 2x) Ví dụ 8: Cho x > Tìm GTNN f(x) = x + x-3 Đối với ba số không âm Cho a, b, c ³ 0, ta có: abc £ a+b + c Dấu “=” xảy Û a = b = c ỉ1 1ư Ví dụ 9: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ( a + b + c ) ỗ + + ÷ ³ èa b cø Ví dụ 10: Cho a > b > Chứng minh rằng: a + ³3 b (a - b ) IV BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI | a| - | b | £ | a + b | £ | a| + | b | | a+b|=| a |+| b|Û a.b ³ | a +b | = | a | - | b | Û a.b £ Ví dụ 11: Cho x, y số thực Chứng minh: |5 + x – y| + |x - y - 3| ³ HDedu - Page 31 HDedu - Page 31 BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MỘT ẨN I KHÁI NIỆM BẤT PHƢƠNG TRÌNH MỘT ẨN Định nghĩa Bất phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến dạng f(x) g(x), (x) ³ g(x)) f(x), g(x) biểu thức x Ví dụ 1: 2x £ 3, - x + x + > x bất phương trình ẩn x Điều kiện bất phƣơng trình Điều kiện mà ẩn số x phải thỏa mãn để biểu thức hai vế có nghĩa gọi điều kiện bất phương trình Ví dụ 2: Tìm điều kiện bất phương trình x+ x -1 x -3 > 2- x -4 Nghiệm bất phƣơng trình ẩn a Số thực x0 thỏa f(x0) c, ax + by ³ c) a, b,c số thực cho trước, a2 + b2 ¹ Mỗi cặp số (x0;y0) cho ax0 + by0 < c nghiệm bất phương trình ax + by < c Ví dụ 1: a) 3x + 2y < –1 bất phương trình bậc hai ẩn x, y b) 2x – y2 ³ khơng bất phương trình bậc hai ẩn x, y II BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm có tọa độ nghiệm bất phương trình ax + by < c gọi miền nghiệm Quy tắc biểu diễn miền nghiệm bất phương trình ax + by < c Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng (d): ax + by = c Lấy điểm M(x0; y0) không thuộc (d) (thường chọn gốc tọa độ O(0; 0)) Tính ax0 + by0 so sánh ax0 + by0 với c Kết luận: · Nếu ax0 + by0 < c miền nghiệm ax + by < c nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa M · Nếu ax0 + by0 > c miền nghiệm ax + by < c nửa mặt phẳng (khơng kể bờ (d)) khơng chứa M Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn x – y < III HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Một hệ bất phương trình mà bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn x, y gọi hệ bất phương trình bậc hai ẩn Tập hợp tất điểm có tọa độ thỏa bất phương trình hệ gọi miền nghiệm hệ bất phương trình Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn Xác định miền nghiệm bất phương trình (tơ màu miền lại) Sau xác định tất miền nghiệm bất phương trình miền khơng tơ màu miền nghiệm hệ ì3 x + y £ ï ï x+y £ Ví dụ 4: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn í ïx ³ ïỵ y ³ IV ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M 1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm, kí hiệu I II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản xuất sản phẩm loại I phải dùng máy M1 máy M2 Muốn sản xuất sản phẩm loại II phải dùng máy M1 máy M2 Một máy dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M1 làm việc không ngày, máy M2 ngày làm việc khơng DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai x biểu thức dạng: f(x) = ax2 + bx + c a, b, c hệ số a ¹ Nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = gọi nghiệm tam thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c Các biểu thức D = b2 – 4ac D’= b’ – ac theo thứ tự gọi biệt thức biệt thức thu gọn tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c Ví dụ 1: Những biểu thức sau tam thức bậc hai? Xác định hệ số a, b, c; biệt thức D; nghiệm (nếu có): a) f(x) = x2 - 6x+5 b) f(x) = -2x + c) f(x) = x d) f(x) = mx2 - 2x + 3m – (Với m tham số) Dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0), D = b2 – 4ac Nếu D < f(x) ln dấu với hệ số a, với "xỴ R Nếu D = f(x) dấu với hệ số a, trừ x = - b 2a Nếu D > f(x) dấu với hệ số a x < x1 x > x2, trái dấu với hệ số a x1 < x < x2 x1, x2 (x1 < x2) hai nghiệm f(x) Các bước xét dấu tam thức bậc hai Bước 1: Tính D xét dấu D, tìm nghiệm (nếu có) Bước 2: Xét dấu hệ số a Bước 3: Dựa vào định lí để kết luận dấu f(x) Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức f(x) = (3x – 4x)(2x2 – x – 1) Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức f(x) = 3x + 2x - 5x + HDedu - Page 36 HDedu - Page 36 II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Khái niệm Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình dạng ax + bx +c < (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0, ax + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ ), a, b, c số thực cho, a ≠ Giải bất phương trình bậc hai Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx +c < thực chất tìm khoảng mà f(x) = ax2 + bx + c dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0) Ví dụ 4: Giải bất phương trình 2x – x – > Ví dụ 5: Giải bất phương trình x - 3x + 0, "x Ỵ R HDedu - Page 37 HDedu - Page 37 ÔN TẬP CHƢƠNG IV I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Để chứng minh bất đẳng thức, ta biến đổi bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a2 + b2 + ³ ab + ( a + b ) Bất đẳng thức Cauchy Với a,b ³ ta có: a + b ³ ab Dấu “=” xảy a=b ỉ a ưỉ b ưỉ Ví dụ 2: Chứng minh với a>0, b>0, c>0, ta cú: ỗ + ữ ỗ + ữ ỗ + è b øè c øè cư ÷³ aø Dấu “=” xảy nào? II GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH Ví dụ 3: Giải bất phương trình a) (–x + 3)(x - 5x + 4) > b) 2x x - 2x + ³1 III GIẢI HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH ì(– x + 3)(x - 5x + 4) > ï Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình í 2x ³1 ï î x - 2x + ì(x + 1)(4x - x ) ³ ï Ví dụ 5: Giải hệ bất phương trình í - x £ (2) ï ỵ x - 3x + (1) (2 ) (1) IV TÌM THAM SỐ m THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC Tìm m để phƣơng trình ax2+bx+c=0 (1) thỏa điều kiện nghiệm Với ax + bx + c = (1) có hai nghiệm x1 , x HDedu - Page 38 II BÀI TẬP Bài tập 1: Trên mặt phẳng Oxy cho hai vectơ a = (1; 2), b = (–1; m) a) Tìm m để | a | = | b | b) Tìm m để a ^ b Bài tập 2: Trong mặt phẳng oxy cho tam giác ABC với A(–1; 1),B(1; 3) C(1; –1) a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông cân A b) Tính diện tích tam giác ABC Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(–1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m khác a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC theo m b) Xác định m để tam giác GAB vuông G Bài tập 4: Cho DABC, biết A(1; 2), B(–1; 1), C(5; –1) a) Tìm toạ độ trọng tâm G DABC b) Tìm toạ độ trực tâm H DABC c) Tìm toạ độ tâm I đường trịn ngoại tiếp DABC, từ chứng minh I, H, G thẳng hàng Bài tập 5: Cho tam giác ABC có góc B = 600 , BC = 8, AB = a) Tính cạnh AC b) Tính độ dài trung tuyến CM c) Tính độ dài đường cao CC’ d) Tính độ dài đường phân giác BE tam giác ABC HDedu - Page 77 HDedu - Page 77 PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG I VECTƠ CHỈ PHƢƠNG, VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG THẲNG Vectơ phƣơng đƣờng thẳng Vectơ u ¹ gọi vectơ phƣơng đường thẳng d giá song song trùng với d Nhận xét: Nếu u vectơ phương d ku (k ¹ 0) vectơ phương d Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ phương Vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng Vectơ n ¹ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng d giá vng góc với d Nhận xét: Nếu n vectơ pháp tuyến d kn (k ¹ 0) vectơ pháp tuyến d Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ pháp tuyến Nếu u vectơ phương n vectơ pháp tuyến d u ^ n Mối liên hệ vectơ pháp tuyến, vectơ phƣơng đƣờng thẳng Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = (a;b) vectơ phương đường thẳng d u = (-b;a) u = (b;-a) Nếu đường thẳng d có vectơ phương u = (u1;u2) vectơ pháp tuyến đường thẳng d n = (-u2; u1) n = (u2;- u1) Nếu đường thẳng d có vectơ phương u = (u1; u2) với u1 khác hệ số góc d k = u2 u1 Nếu đường thẳng d có hệ số góc k vectơ phương d u = (1;k) II CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH CỦA ĐƢỜNG THẲNG HDedu - Page 78 HDedu - Page 78 Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Cho đường thẳng d qua M0 (x ; y0 ) có vectơ phương u = (u1;u2 ) Phương trình tham số d: ìïx = x + tu1 (1) í ïỵy = y + tu2 (t tham số) Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng d biết a) d qua A(-1; 1) nhận u = ( -2;5 ) làm vectơ phương b) d qua M(2; 3) N(3; 1) c) d qua M(5; 1) có hệ số góc k = Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng d biết a) d qua A(3; 4) B(4; 2) b) d qua N(5;1) có hệ số góc k = -2 ìx = + t ỵ y = - 2t Ví dụ 3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số í a) Hãy vectơ phương d b) Tìm điểm d ứng với giá trị t = 0, t = - Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng Phương trình ax + by + c = với a2 + b2 ¹ gọi phƣơng trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: Nếu D có phương trình ax + by + c = D có: vectơ pháp tuyến n = (a;b) vectơ phương u = (-b;a) u = (b; -a) Nếu D qua M0 (x ; y ) có vectơ pháp tuyến n = (a;b) phương trình D là: a(x - x ) + b(y - y ) = Ví dụ 4: Đường thẳng d có phương trình tổng qt 2x - 5y - = Tìm vectơ pháp tuyến vectơ phương d? Ví dụ 5: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua hai điểm a) A(2; -1) B(-1; 4) b) M (2; 2), N (4; 3) Các dạng đặc biệt phƣơng trình tổng quát Cho đường thẳng d có phương trình tổng qt ax + by + c = (1) HDedu - Page 79 HDedu - Page 79 Các hệ số Phƣơng trình đƣờng thẳng Tính chất đƣờng thẳng c=0 ax + by = D qua gốc toạ độ O a=0 by + c = D // Ox D º Ox b=0 ax + c = D // Oy D º Oy D qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ¹ 0): Phương trình D: x y + =1 a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) D qua điểm M0 (x ; y ) có hệ số góc k: Phương trình D: y - y0 = k(x - x ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Ví dụ 6: Viết phương trình tổng qt đường thẳng qua A(-1; 0), B(0; 2) III VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng D1: a1x + b1y + c1 = D2: a2 x + b2 y + c = Toạ độ giao điểm D1 D2 nghiệm hệ phương trình: ïìa1x + b1 y + c1 = í ïỵa2 x + b2 y + c = D1 cắt D2 Û hệ (1) có nghiệm Û D1 // D2 Û hệ (1) vơ nghiệm Û (1) a1 b1 ¹ (nếu a2 ,b2 ,c ¹ ) a2 b2 a1 b1 c1 = ¹ (nếu a2 ,b2 ,c ¹ ) a2 b2 c D1 º D2 Û hệ (1) có vơ số nghiệm Û a1 b1 c1 = = (nếu a2 ,b2 ,c ¹ ) a2 b2 c2 Ví dụ 7: Cho đường thẳng d có phương trình x – y + = 0, xét vị trí tương đối d với đường thẳng sau: D1: 2x + y – = 0; D2: x - y – = 0; D3: 2x - 2y + = Chú ý Nếu đường thẳng d1 song song d phương trình d1 có dạng: ax +by + c1 = (c1 ¹ c) Nếu đường thẳng d2 vng góc d phương trình d2 có dạng: bx - ay + c = -bx + ay + c2 = HDedu - Page 80 HDedu - Page 80 IV GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = (có vectơ pháp tuyến n1 = (a1 ;b1 ) ) d2: a2 x + b2 y + c2 = (có vectơ pháp tuyến n2 = (a2 ;b2 ) ) cos(d1 ,d2 ) = n1.n2 n1 n2 = a1b1 + a2b2 a12 + b12 a22 + b22 Chú ý: d1 ^ d2 Û a1a2 + b1b2 = Ví dụ 8: Tính số đo góc hai đường thẳng d1 : 2x - y + = d2 : x - 3y +1 = V CƠNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƢỜNG THẲNG Cho đường thẳng D : ax + by + c = (a2 + b2 ¹ 0) điểm M0 (x ; y0 ) d(M0 ; D) = | ax + by + c | a2 + b2 Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến đường thẳng D: 3x – 2y + = ì x = -1+ 2t t ỵy = Ví dụ 10: Tính khoảng cách từ M(1;-2) đến D : í VI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP Bài 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + = khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến d Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + = khoảng cách từ điểm M(0;2) đến d Bài 3: Cho tam giác ABC có A(3;5), B(4;-1) C(-5;2) a) Viết phương trình tổng qt BC b) Tính độ dài đường cao AH c) Tính diện tích tam giác ABC Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm B(-2; 4) đường thẳng ìx =2+t d: (t ẻ ) ợ y = - 2t a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu điểm B đường thẳng d b) Tìm tọa độ điểm B’ điểm đối xứng điểm B qua đường thẳng d HDedu - Page 81 HDedu - Page 81 Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, đường thẳng d: x – y + = a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu điểm O đường thẳng d b) Tìm tọa độ điểm O’ điểm đối xứng điểm O qua đường thẳng d HDedu - Page 82 HDedu - Page 82 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Định nghĩa Phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R gọi phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R Nhận xét: Ví dụ 1: Xác định tâm bán kính đường trịn có phương trình sau: a) x + y2 = b) (x + 3)2 + (y – 2)2 = Ví dụ 2: Cho điểm P(-2; 3) Q(2; 1) a) Viết phương trình đường trịn ( C1 ) tâm P qua Q b) Viết phương trình đường trịn ( C ) có đường kính PQ Ví dụ 3: Viết phương trình đường trịn (C) tâm I(-2;0) (C) tiếp xúc với đường thẳng D: x +y – = II NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình x + y - 2ax - 2by + c = , với a2 + b2 - c > , phương trình đường trịn tâm I(a; b), bán kính R = a2 + b2 - c Ví dụ 4: Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn? Khi tìm tâm bán kính a) x + 2y2 – 2x + 4y + = b) x2 + 2y2 – 2x - 6y + 20 = c) x + 2y2 + 4x - 2y - = Ví dụ 5: Viết phương trình đường trịn (C) qua ba điểm a) A(-3; 2), B(1; 2), C(-2; -1) b) A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1 ; 2) , B ; 4), C (-5; -2) Viết phương trình đường trịn (C) qua điểm A, B tâm I thuộc đường thẳng d: 7x + 3y +1 =0 HDedu - Page 83 HDedu - Page 83 III PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng D D tiếp xúc với (C) Û d(I, D) = R Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến (d) điểm M (1;3) thuộc đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 2)2 = Ví dụ 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = a) Tìm tọa độ tâm I bán kính R (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d’): 3x – 4y + = HDedu - Page 84 HDedu - Page 84 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP I ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG ELIP Cách vẽ elip Lấy ván phẳng Đóng đinh F1, F2 lên ván Dùng vịng dây kín khơng dãn, độ dài lớn F1F2 Quàng vòng dây qua hai đinh Lấy đầu bút kéo căng dây, di chuyển đầu bút cho dây căng Khi đầu bút vạch đường cong khép kín Đó đường elip Định nghĩa đường elip Cho hai điểm cố định F1 F2 độ dài không đổi 2a > F1F2 Đường elip (hay elip) tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF + MF2 = 2a F1, F2: tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP x2 y2 + = (a > b > 0, b2 = a2 - c ) a b Toạ độ tiêu điểm: F1 ( -c;0), F2 (c;0) Với M(x; y) Ỵ (E), MF1 ,MF2 gọi bán kính qua tiêu điểm M MF1 = a + c c x, MF2 = a - x a a Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm tọa độ tiêu điểm elip (E): HDedu - Page 85 HDedu - Page 85 x2 y2 + =1 25 Ví dụ 2: Viết phương trình tắc elip (E) qua I(0; 3) có tiêu điểm ( ) F1 - 5;0 III HÌNH DẠNG CỦA ELIP Tính đối xứng elip (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng Đỉnh – Trục lớn – Trục nhỏ Toạ độ đỉnh: A1 (-a;0), A2 (a;0), B1 (0; -b), B2 (0;b) Độ dài trục: trục lớn: A1 A2 = 2a , trục nhỏ: B1B2 = 2b Ví dụ 3: Xác định độ dài trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh elip (E): x2 y2 + =1 25 Ví dụ 4: Xác định độ dài trục lớn, trục nhỏ, toạ độ tiêu điểm, đỉnh elip sau: 4x2+ 9y2 = 36 (1) Ví dụ 5: a) Viết phương trình tắc elip (E) biết độ dài trục lớn 20 tiêu cự 12 b) Viết phương trình tắc elip (E) biết độ dài trục lớn 10 tiêu cự 12 ỉ c) Elip qua hai im M(0; 3) v N ỗ 3;- ữ ø è IV LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG ELIP Mối liên hệ trục lớn, trục nhỏ hình dạng elip Nếu tiêu cự elip nhỏ b gần a, tức trục nhỏ elip gần trục lớn Lúc elip có dạng gần đường trịn Nếu tiêu cự elip lớn (c gần a) b nhỏ, tức trục nhỏ elip ngắn Lúc elip “dẹt” Elip phép co đường tròn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn (C): x2 + y2 = a2 ìx ' = x ï Với M(x; y) Ỵ (C), xét điểm M’(x’; y’) cho: í b (0 < b < a) tập hợp ïy ' = y a ỵ điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình x '2 + y '2 a2 b2 Khi ta nói đường trịn (C) co thành elip (E) HDedu - Page 86 HDedu - Page 86 = elip (E) ÔN TẬP CHƯƠNG I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng d qua M(x0; y0) có vectơ phương ì ïx = x + t.u1 u = (u1; u2) là: í ï ỵy = y + t.u2 Phương trình tổng quát đường thẳng d qua M(x0; y0) có vectơ pháp tuyến n = (a; b) là: a(x - x ) +b( y - y ) = Khoảng cách từ điểm M0 (x0; y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = | ax + by + c | d(M0 ,d) = a2 + b2 Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A(1;-1); B(-3;0); C(2;3) Viết phương trình đường cao AH Bài tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho A( 1;2), B(3;4), C(-5;-2) a) Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC b) Viết phương trình đường trung tuyến BN tam giác ABC Bài tập 3: Cho tam giác ABC có A(4;3), B(2;7), C(-3,-8) a) Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng chứa cạnh BC Tính diện tích tam giác ABC b) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H tam giác ABC c) Viết phương trình tổng quát đường trung trực cạnh BC, cạnh AC Từ đó, tìm toạ độ tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng HI Từ đó, chứng minh điểm G, H, I thẳng hàng II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình đường trịn Dạng 1: (x - a)2 + (y - b)2 = R tâm I(a;b), bán kính R Dạng 2: x + y2 - 2ax - 2by + c = tâm I(a;b), bán kính R = a2 + b2 - c ;(a2 + b2 - c > 0) HDedu - Page 87 HDedu - Page 87 Phương trình tiếp tuyến đường tròn Tiếp tuyến D với đường tròn (C) tâm I(a;b) điểm M(x ; y0) thuộc (C) ì ïqua M(x ; y ) í ï ỵcó vectơ pháp tuyến IM = (x - a;y - b) có phương trình (x - a)(x - x0 ) + (y - b)(y - y ) = Bài tập 4: Cho đường tròn (C) qua điểm A(-1;2), B(-2;3) có tâm thuộc đường thẳng d: 3x – y +10 = a) Viết phương trình đường trịn (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến d1 (C) điểm A c) Viết phương trình tiếp tuyến d2 (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d’: 2x – y + =0 III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0) M Ỵ (E) Û MF1 + MF2 = 2a (a > c > 0) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự Phương trình tắc elip x2 a2 + y2 b2 =1 (a > b > 0, b2 = a2 - c ) Các yếu tố elip (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng Toạ độ đỉnh: A1 (-a;0), A2 (a;0), B1 (0; -b), B2 (0;b) Độ dài trục: trục lớn: A1A2 = 2a , trục nhỏ: B1B2 = 2b Tiêu điểm F1(-c; 0); F2(c; 0) Tiêu cự F1F2 = 2c Bài tập 5: Viết phương trình tắc Elip (E) trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 24 tỉ số b) Một tiêu điểm c = a æ 3ử F1 (- 3;0) v i qua im M ỗ1; ç ÷÷ è ø HDedu - Page 88 HDedu - Page 88 ƠN TẬP HỌC KÌ I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí cơsin a Định lí côsin a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A b2 = c2 + a2 - 2ca.cos B c2 = a2 + b2 - 2ab.cos C b Công thức trung tuyến m2a = 2(b2 + c ) - a2 mb2 = 2(a2 + c ) - b2 m2c = 2(a2 + b2 ) - c2 Định lí sin a b c = = = 2R sin A sinB sinC Cơng thức tính diện tích tam giác S= S= S= 1 aha = bhb = chc 2 1 bc sin A = ca sinB = ab sin C 2 abc 4R S = pr S= p(p - a)(p - b)(p - c) ( công thức Hê-rông) HDedu - Page 89 HDedu - Page 89 Phương trình đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng d qua M(x0; y0) có vectơ phương ì ï x = x + t.u1 u = (u1; u2) là: í ï ỵ y = y + t.u2 Phương trình tổng quát đường thẳng d qua M(x0; y0) có vectơ pháp tuyến n = (a; b) là: a(x – x0) + b(y – y0) = Khoảng cách từ điểm M0 (x0; y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = d(M0 ,d) = | ax + by + c | a2 + b2 Phương trình đường tròn Dạng 1: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 tâm I(a; b), bán kính R Dạng 2: x + y2 – 2ax – 2by + c = tâm I(a;b), bán kính R = a2 + b2 - c (a2 + b2 - c > 0) Phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến D với đường tròn (C) tâm I(a; b) điểm M(x ; y0) thuộc (C), qua M(x0 ; y0) có vectơ pháp tuyến IM = (x0 – a; y0 – b) có phương trình là: (x0 – a) (x – x0) + (y0 – b) (y – y0) = Phương trình đường elip Định nghĩa: Cho F1, F2 cố định, F1F2 = 2c , cho a > c > (E) = {M | MF1 + MF2 = 2a} Phương trình tắc: x2 a2 + y2 b2 = (a > b > 0) với b2 = a2 – c2 Các yếu tố elip: · Trục đối xứng: Ox, Oy Tâm đối xứng: gốc tọa độ O · Các đỉnh A1(–a; 0); A2(a; 0) ; B1(0; –b); B2(0; b) · Trục lớn A1A2 = 2a Trục nhỏ B1B2 = 2b · Tiêu điểm F1(–c; 0); F2(c; 0) Tiêu cự F1F2 = 2c HDedu - Page 90 HDedu - Page 90 II BÀI TẬP Bài tập 1: Trong mặt phẳ –1; –5); B(2; 1); C(5; –3) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB b) Viết phương trình đường cao AH c) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB d) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với BC cách A khoảng Bài tập 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1: 2x + y – = 0; d 2: 3x + 4y + = 0; d3: 4x + 3y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d1 tiếp xúc với d2 d3 Bài tập 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 3y – = điểm N(3, 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho DOMN 15 (O gốc tọa độ) có diện tích Bài tập 4: Cho tam giác ABC có góc C = 600 , AC = 5, AB = a) Tính cạnh BC b) Tính độ dài trung tuyến CM c) Tính độ dài đường cao AA’ d) Tính độ dài đường phân giác CE tam giác ABC HDedu - Page 91 HDedu - Page 91 ... tuyến n1 = (a1 ;b1 ) ) d2: a2 x + b2 y + c2 = (có vectơ pháp tuyến n2 = (a2 ;b2 ) ) cos(d1 ,d2 ) = n1.n2 n1 n2 = a1b1 + a2b2 a 12 + b 12 a 22 + b 22 Chú ý: d1 ^ d2 Û a1a2 + b1b2 = Ví dụ 8: Tính số... HỌC KÌ I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí cơsin a Định lí côsin a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A b2 = c2 + a2 - 2ca.cos B c2 = a2 + b2 - 2ab.cos C b Công thức trung tuyến m2a = 2( b2 + c ) - a2 mb2 = 2( a2 +... đơi sin2a = sin a cos a cos 2a = cos a - sin2 a = cos a - = - sin2 a tan 2a = tan a - tan2 a Mở rộng: sin4a = 2sin2a.cos2a sin6a = 2sin3a.cos3a cos4a = cos22a – sin22a = 2cos22a – = – 2sin22a tan

Ngày đăng: 11/04/2022, 09:31

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w