I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG I VECTƠ CHỈPHƢƠNG, VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG THẲ NG
1.Vectơ chỉphƣơng của đƣờng thẳng
Vectơ u 0¹ được gọi là vectơ chỉ phƣơng của đường thẳng d nếu giá của nó
song song hoặc trùng với d.
Nhận xét:
Nếu u là một vectơ chỉphương của d thì ku (k ¹0) cũng là một vectơ chỉphương của d.
Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉphương.
2.Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
Vectơ n 0¹ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu giá của nó
vuông góc với d.
Nhận xét:
Nếu n là một vectơ pháp tuyến của d thì kn (k ¹0) cũng là một vectơ pháp tuyến của d.
Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến.
Nếu u là một vectơ chỉphương và n là một vectơ pháp tuyến của d thì u n^ .
3.Mối liên hệ giữa vectơ pháp tuyến, vectơ chỉphƣơng của đƣờng thẳng
Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = (a;b) thì vectơ chỉphương của đường thẳng d là u = (-b;a) hoặc u = (b;-a)
Nếu đường thẳng d có vectơ chỉphương u= (u1;u2) thìvectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n = (-u2; u1) hoặc n = (u2;- u1)
Nếu đường thẳng d có vectơ chỉphương u= (u1; u2) với u1khác 0 thì hệ sốgóc của d là 2 1 u k u =
Nếu đường thẳng d có hệ sốgóc là k thì vectơ chỉphương của d là u = (1;k). II. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH CỦA ĐƢỜNG THẲNG
1.Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
Cho đường thẳng d đi qua M (x ; y )0 0 0 và có vectơ chỉ phương u (u ;u )= 1 2 .
Phương trình tham số của d: 0 1
0 2x x tu x x tu y y tu = + ìï í = + ïî (1) (t là tham số).
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết
a) d đi qua A(-1; 1) và nhận u= -( 2;5)làm vectơ chỉ phương b) d đi qua M(2; 3) và N(3; 1)
c) d đi qua M(5; 1) và có hệ số góc k = 3
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết a) d đi qua A(3; 4) và B(4; 2)
b) d đi qua N(5;1) và có hệ số góc k = -2
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số x = 3+ t y = 4 - 2t
ì í
î
a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của d
b) Tìm các điểm của d ứng với các giá trị t = 0, t = - 4.
2.Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
Phương trình ax by c 0+ + = với a2+b2¹0 được gọi là phƣơng trình tổng quát
của đường thẳng.
Nhận xét:
Nếu Dcó phương trình ax by c 0+ + = thì Dcó: vectơ pháp tuyến là n (a;b)= và vectơ chỉphương u ( b;a)= - hoặc u (b; a)= - .
Nếu Dđi qua M (x ; y )0 0 0 và có vectơ pháp tuyến n (a;b)= thì phương trình của D
là: a(x x ) b(y y ) 0- 0 + - 0 =
Ví dụ 4: Đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x - 5y - 1 = 0. Tìm một vectơ
pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của d?
Ví dụ 5: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm a) A(2; -1) và B(-1; 4) b) M (2; 2), N (4; 3)
3.Các dạng đặc biệt của phƣơng trình tổng quát
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0 (1)