(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải một số dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Phương pháp giải số dạng toán luỹ thừa với số mũ tự nhiên  I Lời giới thiệu Trong trường phổ thơng, Tốn học mơn quan trọng Học sinh nắm vững tri thức toán học có kĩ thực hành mơn tốn học tốt mơn học khác Mơn tốn cịn đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh đức tính quý báu người lao động: cần cù, nhẫn nại, làm sở hình thành, phát triển tư khoa học, tư logic, cho học sinh Một yếu tố quan trọng định chất lượng dạy học toán việc tổ chức có hiệu hoạt động giải tập toán cho phù hợp với đối tượng học sinh lớp Muốn vậy, người thầy phải chọn lọc, phân loại tập theo dạng cho phù hợp với đối tượng học sinh để em tự tìm cách để làm tốn mà thầy cho Trong chương trình mơn Tốn THCS, học sinh bắt đầu học luỹ thừa từ lớp Sau đó, kiến thức về luỹ thừa được dùng phổ biến rộng rãi Đây nội dung hay có nhiều tốn khó, địi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh có óc quan sát download by : skknchat@gmail.com nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư Tuy nhiên, sách giáo khoa giới thiệu cơng thức luỹ thừa, dạng tốn đưa vào chương trình cịn đơn điệu, chưa có đủ dạng tập, tập khó, tập sâu phát triển kiến thức nâng cao qua dạng tốn luỹ thừa. Vì mà học sinh nhầm lẫn biến đổi tốn có liên quan đến lũy thừa, chí nhiều em cịn nghĩ tốn có lũy thừa thường khó nên có tốn lũy thừa thường bỏ qua Trong đó, tốn luỹ thừa với số mũ tự nhiên sách tham khảo mơn tốn, tạp chí tốn học thư viện điện tử đa dạng phong phú Do đó, địi hỏi người thầy phải biết tổng hợp, phân loại dạng toán thường gặp phương pháp để giải chúng để hướng dẫn học sinh tìm tịi, định hướng cách giải đúc rút kinh nghiệm cho thân Chính thế, thân tơi thấy cần phải có đề tài dạng tốn luỹ thừa với số mũ tự nhiên phương pháp giải chúng để giúp học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức phát triển cho học sinh tính tư duy, sáng tạo học giải toán luỹ thừa Đó lý tơi viết sáng kiến: “ Phương pháp giải số dạng toán luỹ thừa với số mũ tự nhiên ” II Nội dung Cơ sở lí luận Nghiên cứu chương trình mơn tốn THCS, tơi thấy kiến thức luỹ thừa trình bày cẩn thận, giúp học sinh dễ hiểu Tuy nhiên, qua trình download by : skknchat@gmail.com dạy học phần luỹ thừa tôi thấy nhiều học sinh làm đựơc toán mức độ đơn giản áp dụng trực tiếp kiến thức SGK chưa biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt Khi gặp tốn khó so sánh luỹ thừa, tốn chứng minh, tốn chia hết, …thì em lúng túng cách giải, khơng có cách giải chặt chẽ, vận dụng kiến thức chưa sáng tạo Trước thực trạng trên, dạy phần GV cần cung cấp công thức nâng cao luỹ thừa cho học sinh cách vững chắc, từ toán biết khai thác nhiều dạng tốn nâng cao; từ xây dựng phương pháp giải phù hợp cho dạng Cụ thể, giáo viên cần yêu cầu học sinh nắm kiến thức sau:            a Định nghĩa: Luỹ thừa bậc n của a là tích n thừa số nhau, thừa số bằng a                   an = a.a… .a  (n thừa số a) b Các công thức luỹ thừa:  ( với n, m ỴN*; x, y Ỵ R; x, y  0 )                        1,     xn = x.x…x      ( n thừa số x)                        2,     xn  xm = xn + m                         3,     xn : xm = xn - m      (n >m )                          4,     (xn)m = xn m                             5,     (x y)n = xn  yn                       6,     (x : y)n = xn : yn               * Quy ước:   xo =1; x1 = x download by : skknchat@gmail.com  2 Một số dạng toán lũy thừa với số mũ tự nhiên phương pháp giải           Qua thực tế giảng dạy, phân loại tổng hợp lại phương pháp giải số dạng toán luỹ thừa với số mũ tự nhiên sau: Tính giá trị biểu thức * Phương pháp giải:         - Áp dụng công thức lũy thừa         - Biến đổi luỹ thừa biểu thức luỹ thừa số nguyên tố         - Có thể sử dụng tính chất ab ± ac = a (b ± c), đưa tử mẫu dạng tích         - Rút gọn phân số   Ví dụ 1: Viết kết phép tính sau dạng luỹ thừa:                a, 420 810                b, 2715 : 910                           c, 920 : (0,375)40                                   Giải:             a, 420 810 = (22)20 (23)10 = 240  230 = 270             b,  2715 : 910 = (33)15 : (32)10 = 345: 320 = 325             c, 920 : (0,375)40 = (32)20 : (0,375)40 = 340 : (0,375)40 = (3 : 0,375)40 = 840  Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau:                       A =                          B =                                                                       Giải: download by : skknchat@gmail.com                   A =  =                    B =   =   =  =                                                  =                                                      =                                                  =   = 23 =                               * Những sai lầm (hạn chế học sinh) giải dạng toán trên:  Khi làm ví dụ 1, học sinh thường mắc sai lầm tính tốn sai, nhầm lẫn phép nâng lên luỹ thừa phép nhân (có thể học sinh lấy số nhân với số mũ), học sinh áp dụng sai công thức luỹ thừa Do đó, q trình giảng dạy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh thật chi tiết cách vận dụng công thức luỹ thừa  Khi làm ví dụ 2, học sinh thường sai lầm chưa đưa tử mẫu dạng tích rút gọn hay chưa biến đổi luỹ thừa biểu thức luỹ thừa với số số nguyên tố          *Bài tập tương tự:  Tính giá trị biểu thức: A =   ;          download by : skknchat@gmail.com B=  2. Tìm số số mũ luỹ thừa   Ví dụ 1: Tìm x Ỵ N biết:                       a,                         c,                                  b,                                 =9  d,                      Giải:        a,                                    b,  =9     2x  23 = 27                                       =  32 = (-3)2                             2x = 27 : 23                                                                                      2x = 24                                                                                                        x = 4                                                                      c,                      Trường hợp 1: Nếu x – = 0   x = (vì 06 = 07  = 0)                   Trường hợp2: Nếu x – 3 ¹ 0, chia vế cho (x – 3) ta được                                                     hay x – = 1   x = download by : skknchat@gmail.com                    d, Cách 1:      x = x = (vì  0100 = 1100 = 1)                      Cách 2:                                                                                          Qua q trình giảng dạy mơn Tốn THCS, tơi tổng hợp kinh nghiệm thân học hỏi bạn bè, đồng nghiệp để viết đề tài Đối với khối, lớp trình bày theo cách khác cho phù hợp với đối tượng học sinh Chẳng hạn, ví dụ d, học sinh lớp 6, lớp trình bày cách sau:            Tích       khi    hoặc             Vậy   = hoặc  = thì   * Nhận xét:           Ở câu a ta biến đổi vế đẳng thức luỹ thừa số, đẳng thức xảy số mũ vế download by : skknchat@gmail.com          Ở câu b ta biến đổi vế luỹ thừa số mũ, đẳng thức xảy số vế          Ở câu c, d ta sử dụng công thức 0n = 1n = (nỴN*) đưa dạng tích(câu d) Ví dụ 2: Cho A= + 32 + 33 +…+ 32008 Tìm x biết: 2A + = 3x        Giải :       Ta có    3A  =  3( + 32 + 33 +…+ 32008) = 32 + 33 +…+ 32008 +32009                                                              A  = + 32 + 33 +…+ 32008           trừ vế cho vế hai đẳng thức trên, ta được:                                                     3A – A  =  32009-                                                           2A   =  32009-                     2A + =  32009- + 3    2A + =  32009                                                      lại có:  2A + =  3x                                                                         Suy ra: 32009 = 3x       x = 2009 * Nhận xét: Từ ví dụ ta rút toán tổng quát:                   A = n + n2 + n3 +…+ nk          nA – A  = nk+1- n     A =           ( n, k Ỵ N; n >1, k ³ 1)            Mở rộng toán ẩn x, y sau:(dùng bồi  dưỡng học sinh giỏi) download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 3: Tìm x, y biết:        a,   +  =0                                             b,   2x  +  2x+3  =  136           Giải:                                      a,  Vì   (x-3)2   ³ 0   "x                                (y+2)2  ³ 0   "y                    Để   +  = 0                                      b,  Vì  136  =  2.4 + 27                          Nên 2x  +  2x+3  =   2.4 + 27           x = * Nhận xét:           Câu a, b hạng tử lớn nên tổng chúng hạng tử           Câu c ta biến đổi vế phải dạng tổng thích hợp với vế trái, đẳng thức xảy ta đồng hạng tử thích hợp vế           Bài toán sở để phát triển tốn cao khó sau: Ví dụ 4*:   Tìm số tự nhiên x, y biết:                 a, 2x+1 3y = 12x      b, 23x 7y = 562x 5x-1          d, 5x + 5y = 3250 (x < y)                                                     Giải                            a, 2x+1 3y = 12x     2x+1 3y = (2.3)x download by : skknchat@gmail.com                                                      2x+1 3y = 22x 3x                                                            =  562x 5x-1    23 23x                         b, 23x.                                                                                                                                                            x = y =1   =  (23.7)2x 5x-1     =  26x  72x  5x-1                        c, 5x + 5y = 3250 (x < y)                             5x(1 +  ) = 53.26                                         * Nhận xét:          Ta biến đổi vế luỹ thừa số nguyên tố, đẳng thức xảy số mũ luỹ thừa số vế nhau (câu a) Đồng thời triệt tiêu số mũ của luỹ thừa không số(câu b) so sánh hai luỹ thừa cùng số(câu c) Qua số ví dụ trên, rút ra phương pháp giải của dạng 2:            Biến đổi hai vế phương trình để đưa so sánh luỹ thừa số số mũ download by : skknchat@gmail.com           Hoặc biến đổi số cho dạng luỹ thừa với số số mũ thích hợp, sau đưa phương trình tích đồng hạng tử thích hợp hai vế           Áp dụng tính chất: Luỹ thừa bậc chẵn số ln khơng âm để đưa phương trình tổng hai số khơng âm không tất số hạng không *Bài tập tương tự:            Bài 1:  Tìm x biết:                             a, (2x + 3)4 = 2401                          b, 32x  27 = 2187           Bài 2*: Tìm số tự nhiên x, y thoả mãn:                             a, 2x  3y+2 = 122y                                          b, 2x + 3x = 5x Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đối với giáo viên: Trong trình giảng dạy, giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung chương trình SGK, soạn giáo án cụ thể, chi tiết; thiết kế giảng sinh động để thu hút học sinh tham gia vào giảng Bên cạnh đó, giáo viên cần đầu tư thời gian tìm tịi, lựa chọn xây dựng hệ thống toán theo dạng tập để rèn kĩ vận dụng, trình bày giải, phát triển tư cho học sinh, qua giúp em tự tin hứng thú học tập Đối với học sinh: Các em cần có đầy đủ SGK, SBT dụng cụ học tập Các em cần nắm kiến thức bản, hiểu chất để có thể  vận download by : skknchat@gmail.com dụng vào làm đúng, thành thạo tập SGK, sách tập Từ đó, khai thác để làm số tập nâng cao nắm số phương pháp giải phù hợp cho dạng Đối với nhà trường: Cần trang bị sở vật chất đầy đủ như: phòng học đạt chuẩn, thiết bị dạy học, thư viện , … đảm  bảo tốt cho điều kiện dạy học giáo viên của  học sinh download by : skknchat@gmail.com ... : skknchat@gmail.com  2 Một số dạng toán lũy thừa với số mũ tự nhiên phương pháp giải           Qua thực tế giảng dạy, phân loại tổng hợp lại phương pháp giải số dạng toán luỹ thừa với số mũ tự. .. vế luỹ thừa số nguyên tố, đẳng thức xảy số mũ luỹ thừa số vế nhau (câu a) Đồng thời triệt tiêu số mũ? ?của luỹ thừa không số( câu b) so sánh hai luỹ thừa? ?cùng số( câu c) Qua số ví dụ trên, rút ra? ?phương. .. ra? ?phương pháp giải? ?của? ?dạng 2:            Biến đổi hai vế phương trình để đưa so sánh luỹ thừa số số mũ download by : skknchat@gmail.com           Hoặc biến đổi số cho dạng luỹ thừa với số số mũ thích