Bài giảng Phương pháp tính ThS. Nguyễn Thị Thúy Hạnh

HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BỘ MƠN TỐN TIN ỨNG DỤNG THS NGUYỄN THỊ THÚY HẠNH BÀI GIẢNG PHƢƠNG PHÁP TÍNH Hà Nội, tháng – 2018 Mục lục Chƣơng Số xấp xỉ sai số §1 Số xấp xỉ sai số 1.1 Định nghĩa 1.2 Cách viết số xấp xỉ 1.3 Sự quy tròn sai số quy tròn 1.4 Các loại sai số §2 Các qui tắc tính sai số 2.1 Công thức tổng quát sai số 2.2 Sai số tổng, hiệu 2.3 Sai số tích, thương 10 2.4 Bài toán ngược sai số 11 Bài tập tự luyện chương 12 Chƣơng Tính gần nghiệm thực phƣơng trình ẩn 15 §1 Đặt vấn đề 15 §2 Khoảng cách ly nghiệm 15 2.1 Phương pháp giải tích 15 2.2 Phương pháp hình học 16 §3 Phương pháp chia đơi 16 3.1 Thuật tốn tìm nghiệm gần Phương pháp chia đôi: 16 3.2 Đánh giá sai số nghiệm gần PP chia đôi: 17 §4 Phương pháp lặp 19 4.1 Thuật tốn tìm nghiệm gần Phương pháp lặp: 19 4.2 Đánh giá sai số nghiệm gần xk PP lặp: 19 §5 Phương pháp dây cung 22 5.1 Thuật tốn tìm nghiệm gần Phương pháp dây cung 22 5.2 Đánh giá sai số nghiệm gần PP dây cung 23 §6 Phương pháp tiếp tuyến (PP Newton) 25 6.1 Thuật tốn tìm nghiệm gần Phương pháp tiếp tuyến 25 6.2 Đánh giá sai số nghiệm gần PP tiếp tuyến 26 Bài tập tự luyện chương 27 Chƣơng Giải gần Hệ phƣơng trình đại số tuyến tính 28 §1 Đặt vấn đề 28 Điều kiện có nghiệm 28 Công thức Crammer 28 Các phương pháp giải 28 §2 Phương pháp trực tiếp: PP khử Gauss 28 §3 Các phương pháp lặp 31 3.1 Phương pháp lặp đơn 31  Nội dung phương pháp: 32  Sự hội tụ phương pháp : 32  Đánh giá sai số nghiệm gần  Đưa HPT ĐSTT dạng thỏa ĐK hội tụ PP lặp đơn 33 3.2 Phương pháp lặp Dâyden (Seidel) PP lặp đơn 32 (ĐỌC THÊM) 35 Bài tập tự luyện chương 37 Chƣơng Đa thức nội suy phƣơng pháp bình phƣơng bé 38 §1 Đa thức nội suy 38 §2 Đa thức nội suy Lagrange 39 2.1 Công thức tìm đa thức nội suy Lagrange 39 2.2 Đánh giá sai số 41 §3 Đa thức nội suy Newton 41 A Trường hợp nút nội suy không cách 41 Khái niệm: Tỷ hiệu 41 Đa thức nội suy Newton TH nút nội suy không cách 42 B Trường hợp nút nội suy cách 46 Khái niệm: Hiệu hữu hạn 46 Cơng thức tìm đa thức nội suy Newton TH nút nội suy cách 47 §4 Phương pháp bình phương bé 50 Nội dung PP bình phương bé nhất: 50 4.1 Cơng thức thực nghiệm có dạng 50 4.2 Dạng 50 4.3 Dạng 50 4.4 Dạng 50 Bài tập tự luyện chương 53 Chƣơng Tính gần đạo hàm tích phân xác định 56 §1 Tính gần đạo hàm 56 1.1 Đặt vấn đề 56 1.2 Công thức tính gần đạo hàm cấp hai TH đặc biệt 56 §2 Tính gần tích phân xác định 57 2.1 Đặt vấn đề 57 2.2 Cơng thức hình thang sai số 57 2.3 Công thức Simson (Công thức Parabol) sai số 58 Bài tập tự luyện chương 62 Chƣơng Giải gần phƣơng trình vi phân thƣờng 64 §1 Đặt vấn đề 64 1.1 Bài tốn (Bài tốn Cơsi PTVP cấp 1) 64 1.2 Bài tốn (Bài tốn Cơsi hệ PTVP cấp 1) 64 1.3 Bài toán (Bài toán Côsi PTVP cấp n): 64 §2 Các phương pháp giải Bài toán 64 2.1 Phương pháp Ơle : 65 Công thức Ơle 65 Công thức Ơle cải tiến 65 2.2 Phương pháp Runge-Kutta (ĐỌC THÊM) 65 Cơng thức Runge-Kutta có độ xác cấp : 65 Cơng thức Runge-Kutta có độ xác cấp 66 Cơng thức Runge-Kutta có độ xác cấp 66 2.3 Phương pháp chuỗi Taylor : 69 §3 Phương pháp giải Bài tốn (Trường hợp n = 2, hệ gồm PTVP cấp 1) 69 3.1 Công thức Ơle 69 3.2 Công thức Ơle cải tiến 70 §4 Phương pháp giải Bài toán (Trường hợp n = 2, PTVP cấp 2) 71 Bài tập tự luyện chương 72 2018 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Chương Số xấp xỉ sai số §1 Số xấp xỉ sai số 1.1 Định nghĩa (1) Số a gọi số xấp xỉ số A, kí hiệu , a khác A không đáng kể đƣợc dùng thay cho A tính tốn | (2) Trị tuyệt đối hiệu số | gọi sai số tuyệt đối số xấp xỉ a (3) Sai số tuyệt đối giới hạn số xấp xỉ a, kí hiệu , số khơng nhỏ sai số tuyệt đối số xấp xỉ a (Tức cận Δ) (4) Sai số tương đối số xấp xỉ a, kí hiệu δ, đƣợc xác định | | | | | | ( ) (5) Sai số tương đối giới hạn số xấp xỉ a, kí hiệu , số không nhỏ sai số tƣơng đối số xấp xỉ a (Tức cận δ) Các lưu ý : | (1) Ta có | Khi ta viết: (*) hay : Ví dụ 1.1.1 Trọng lƣợng gói mì tơm đóng gói tiêu chuẩn ( ) Cân trọng lƣợng gói mì đƣợc kết 78g Hỏi gói mì có đóng gói tiêu chuẩn không? (2) Sai số tuyệt đối giới hạn không đơn trị, tức nhận giá trị số tập vơ hạn số khơng âm thỏa mãn (*) Vì thực hành, ta thƣờng chọn số dƣơng nhỏ chấp nhận thỏa mãn (*) Ví dụ 1.1.2 Xác định sai số tuyệt đối giới hạn số xấp xỉ a = 3,14 thay cho số Giải | | Chọn | Cách khác: Đánh giá (3) Do Ngƣợc lại, | | | | mà | | mà | lấy suy | | Vậy biết suy Trong thực hành ta thƣờng dùng cơng thức đó, ta viết ( ) | | | | ta chọn hay | | | | ta lấy Vậy biết | | Ví dụ 1.1.3a Đo trọng lƣợng nƣớc nhận đƣợc : Hãy xác định sai số tƣơng đối giới hạn phép đo Đáp số : (Do chƣa biết) Khi Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng thay cho số e Hãy xác định sai số tƣơng đối giới hạn δa Ví dụ 1.1.3b Lấy ĐS: Có Lấy | => Vậy : (4) Sai số tuyệt đối giới hạn | | | số xấp xỉ a có thứ nguyên (cùng đơn vị đo) Nhƣng sai số tƣơng đối giới hạn khơng có thứ ngun (đơn vị đo) Sai số tƣơng đối thƣờng đƣợc viết dƣới dạng tỉ số phần trăm Ví dụ 1.1.4 Trọng lƣợng giống lợn A cho ăn thức ăn X dự đoán tăng 23kg/tháng Thực tế tăng 20kg/tháng Xác định sai số tuyệt đối giới hạn sai số tƣơng đối giới hạn trọng lƣợng lợn tăng dự đoán so với thực tế tháng - Sai số tuyệt đối Nếu tính theo gam Vậy sai số tuyệt đối - | | – | ( | ) phụ thuộc vào đơn vị đo Nhưng sai số tương đối ( ) ( ) ( ) Sai số tương đối giới hạn | | không phụ thuộc vào đơn vị đo (5) Sai số tƣơng đối giới hạn phép đo kết tính tốn nhỏ phép đo hay kết tính tốn xác Ví dụ 1.1.5 Cho hai phép đo: Đo chiều dài bàn chiều dài cầu với sai số có sai số Phép đo xác hơn? Ý nghĩa sai số: Biết sai số tuyệt đối giới hạn ta xác định đƣợc khoảng giá trị kết phép đo, biết sai số tƣơng đối giới hạn δa ta biết độ xác kết hay phép đo 1.2 Cách viết số xấp xỉ Định nghĩa: Cho số thập phân a số xấp xỉ số A, với sai số tuyệt đối giới hạn ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Giả sử : Hay nói cách khác, số thập phân a đƣợc biểu diễn dƣới dạng lũy thừa số 10 : ( đó: chữ số hàng , * ) + Ta có định nghĩa: (1) Những chữ số có nghĩa số thập phân a chữ số số đó, tính từ chữ số khác khơng xét từ trái sang phải (2) Chữ số có nghĩa αk số thập phân a gọi chữ số đáng tin Một chữ số không đáng tin đƣợc gọi chữ số nghi ngờ Nói cách khác, chữ số chữ số nghi ngờ số thập phân a Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Nhận xét: (1) Bên phải chữ số nghi ngờ chữ số nghi ngờ, bên trái chữ số đáng tin chữ số đáng tin (2) Khi viết số xấp xỉ nên giữ lại hai chữ số nghi ngờ để tính toán, sai số tác động lên chữ số nghi ngờ thơi Ví dụ 1.2.1 Xác định số chữ số có nghĩa, số chữ số đáng tin số xấp xỉ sau: (1) HD: Các chữ số có nghĩa - Có: => Số chữ số có nghĩa là (chữ số) => Chữ số hàng phần nghìn chữ số đáng tin Vậy chữ số đáng tin : (2) Đáp số: Số chữ số đáng tin (chữ số) HD: Các chữ số có nghĩa a2 : ĐS: (chữ số) Có: => => Vậy chữ số đáng tin là: Chữ số hàng đáng tin Đáp số : (chữ số) Cách viết số xấp xỉ: Cho số xấp xỉ a số A với sai số tuyệt đối giới hạn Có hai cách viết số xấp xỉ: (1) Viết số xấp xỉ a kèm theo sai số tuyệt đối giới hạn : Cách thƣờng đƣợc dùng để biểu diễn kết tính tốn phép đo (2) Viết số xấp xỉ a theo quy ƣớc: chữ số có nghĩa đồng thời chữ số đáng tin Có nghĩa đơn vị chữ số hàng cuối bên phải Cách thƣờng đƣợc viết bảng số logarit, bảng hàm số lượng giác… 1.3 Sự quy trịn sai số quy trịn Khái niệm: Khi tính tốn, số a có q nhiều chữ số, ta bỏ bớt vài chữ số cuối nhận đƣợc số quy tròn Sai số quy tròn tuyệt đối số quy trịn , kí hiệu | – | (Số quy tròn số xấp xỉ số a) Quy tắc làm tròn số: Sai số quy tròn tuyệt đối số quy tròn đơn vị chữ số hàng giữ lại cuối bên phải Thực sau: Nếu chữ số bỏ bên phải đơn vị, chữ số bỏ phải Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh thêm vào chữ số giữ lại cuối để nguyên chữ số giữ lại cuối bên Page 2018 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Ví dụ 1.3.1 (1) Cho số Hãy quy trịn số e đến chữ số có nghĩa thứ 5, thứ thứ 12 xác định sai số tuyệt đối giới hạn số quy tròn (2) Cần quy tròn √ với chữ số thập phân (chữ số có nghĩa) để sai số quy trịn tuyệt đối không vƣợt Suy θa Hướng dẫn (2): Sai số Vậy cần làm tròn √ đến chữ số thập phân thứ sau dấu phẩy, tức lấy số xấp xỉ √ Nhận xét: (1) Giả sử a số xấp xỉ số A, có sai số tuyệt đối giới hạn Ta quy tròn số a thành số Khi đó, ta có | – | | – | | – | Do vậy, chọn sai số tuyệt đối giới hạn số quy tròn số A (2) Ta ln có nên chữ số hàng vốn đáng tin, sau quy trịn lại chữ số nghi ngờ Ví dụ 1.3.2 Cho Quy trịn a đến hàng thập phân thứ hai Xác định chữ số đáng tin a số quy tròn Giải Các chữ số có nghĩa a 4, 6, nên số thập phân a có chữ số đáng tin Ta có - Sau quy trịn đến hàng thập phân thứ hai, thu đƣợc số Sai số quy tròn tuyệt đối so với số xấp xỉ a Sai số tuyệt đối giới hạn số xấp xỉ sau quy tròn : | Do chữ số hàng | | | chữ số nghi ngờ (Trong trƣờng hợp ta khơng nên quy trịn phải viết số quy tròn đầy đủ ) 1.4 Nguồn gốc loại sai số Trong thực tế ta thƣờng gặp sai số (1) Sai số liệu đầu vào : Các liệu đầu vào kết phép đo kết phép tốn thực trƣớc (2) Sai số rút gọn : Xuất ta phải ngắt q trình vơ hạn, hẳng hạn tính tổng chuỗi vơ hạn cần ngắt số hạng (3) Sai số mơ hình : Xuất phải lý tƣởng hóa việc xây dựng mơ hình tốn học (4) Sai số làm trịn : Sai số làm tròn xuất phải làm việc với số vô tỷ (Chẳng hạn với số , số e) Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng §2 Các qui tắc tính sai số 2.1 Công thức: Công thức tổng quát sai số ( Cho hàm số : ) khả vi với hai biến biến x y có sai số tuyệt đối giới hạn Khi ta có sai số tuyệt đối giới hạn | Tổng quát: Cho hàm số khả vi đối giới hạn | | | ( ∑ | | sai số tƣơng đối giới hạn | | ; Cần đánh giá sai số d Vậy : +) 2.2 Cơng thức: | | | có sai số tuyệt hàm u là: | | sau áp dụng (**) ( +) +) ≈ 3,14 Lấy Hướng dẫn: Có hai biến hàm u là: ), biến Ví dụ 2.1.1 Tính V sai số ΔV, δV thể tích hình cầu Biết sai số tƣơng đối giới hạn Khi ta có sai số tuyệt đối giới hạn (**) lân cận đó, | ) ( ) | | Sai số tổng, hiệu Nếu Tổng quát : Nếu TH đặc biệt: ta có ( Nhận xét: Khi tính sai số hiệu (có thể dẫn tới ) và trƣờng hợp biến ) sai số tƣơng đối Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh ∑ | | | | | | ∑ | | | | có giá gần lớn Page 2018 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Nếu bắt buộc phải tính cần lấy số bị trừ số trừ có nhiều chữ số đáng tin để dự trữ (Chẳng hạn trừ bị triệt tiêu m chữ số bên trái kết cần lấy n chữ số đáng tin số bị trừ số trừ phải có m+n chữ số đáng tin) Ví dụ 2.2.1 Tính hiệu sau với chữ số đáng tin Đáp số : √ √ √ √ Cần kết chữ số đáng tin nên cần lấy số trừ bị trừ chữ số đáng tin Kết : Sai số tích, thương 2.3 Cơng thức: (1) Nếu (2) Nếu Đặc biệt ∑ ( ) ; | | ; | | ; | | δu = δx ; Δu = |u|.δu Ví dụ 2.3.1 Cho biết đại lƣợng E đƣợc tính theo cơng thức : Biết đại lƣợng đo đƣợc với sai số tƣơng đối giới hạn là: Hãy tính sai số tƣơng đối giới hạn E E sai số tuyệt đối giới hạn E Nếu biết : bao nhiêu? Giải Có Có : ( ) Hãy xác định giá trị u Ví dụ 2.3.2 Cho hàm số sai số tuyệt đối giới hạn , sai số tƣơng đối giới hạn Biết chữ số có nghĩa chữ số đáng tin Giải - Tính | : Có Lại có: | | | | | | | Có Vậy | | | | Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh - Tính u: - ( Tính δu : ) | | Page 10 2018 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng ( ) Có Đổi cận ( ) ∫ => Sai số mắc phải ( ) ∫ | | / ( ) / ∫ ( ( /| , với h = ) / ) (**) Ý nghĩa hình học: Diện tích hình thang cong ̂ đƣợc tính xấp xỉ diện tích hình thang cong a ̂ b, cung cong y = f(x) đƣợc thay cung parabol y = P2(x) qua ba điểm A, C, B (Sai số hiệu phần gạch chéo) TH2: Chia đoạn ,  )| áp dụng (**) ( ) ∫ Sai số mắc phải là: ( )( - thành n đoạn (n chẵn) với n+1 nút nội suy cách : Đổi biến số ,( -| , | ∫ ) | ( ( ) ∫ , với đoạn , - ( ) h= ) Ta có: ( ) ∫ ( , = -| )- ( )( )| Ví dụ 2.3.1 Tính gần tích phân sau theo cơng thức Simson cách chia [0,5;1,5] thành đoạn : Giải Có ( ) ∫ , Bảng giá trị (Chọn đơn vị đo góc Radian; ): ; Lặp: x y= Theo ( ( ) công thức )- ( ) Simson ,( ( ) ( ) : ) ∫ ( Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh ( ) ,( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) )- ( ) ) Page 59 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Ví dụ 2.3.2: Cho ( ) ∫ Giải Áp dụng công thức hình thang ( ) , - ( )| | Để đạt độ xác Vậy cần chia đoạn , Ta có bảng giá trị: ( ( ) Vậy ∫ | ( ) Với sai số : ( ) , ( | ( - 2| ) |3 ( ) ( ) Vậy cần chia , ( ) Ta có ( , => ) ( ) / | Nếu dùng cơng thức Simson => ) ), ( ) ( ) ( ) / ( ( ) với - thành 10 đoạn ( So sánh với giá trị đúng: Chú ý: Tính gần giá trị ( ) với độ xác √ ( ) /| ) ( ) ( - thành đoạn (n = 2) với ( ) / | ( ) ) ( ) ( ) ) Ví dụ 2.3.3 Dùng cơng thức hình thang tổng qt cơng thức Simson tính gần tích phân sau: I = ∫ , với n = 10 So sánh với kết tính cơng thức Newton-Leibnitz Giải ( ) Có Ta có bảng giá trị: ( ) ( ) ( ) - Áp dụng cơng thức hình thang: - ( ) Áp dụng cơng thức Simson: Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh ( ) / ( ) ( ) ( ) / ( ) Page 60 ( ) 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng ,( - ) , ( ( ) Áp dụng công thức Newton-Leibnitz: ( ) ( ( )- )- )| Ví dụ 2.3.4: Dƣới tác dụng lực ⃗ hƣớng dọc theo trục x, chất điểm chuyển động dọc theo trục x từ đến Hãy tính cơng thức hình thang tổng qt công thức Simson công A lực ⃗ Biết bảng giá trị modul lực ⃗ : x F Giải - - 1,5 0,5 0,75 (A) 0,5 (B) 1,5 0,75 (C) 1,5 (D) 2,5 2,75 (E) Cơng A lực ⃗ đƣợc tính theo cơng thức : Áp dụng cơng thức hình thang / Áp dụng công thức Simson ,( ,( ) ) ( ( Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh : 4,5 (F) ( ) ∫ 3,5 6,75 (X) 10 , / : ) ) ( ( )- )- Page 61 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Bài tập tự luyện chương Bài 5.1 Tính tích phân sau theo cơng thức hình thang cách chia đoạn lấy tích phân thành đoạn nhau: (1) ∫ (2) ∫ ( ) Bài 5.2 Tìm ( ) Bài 5.3 Tính gần (3) ∫ từ bảng sau: ∫ theo cơng thức hình thang Simson tổng qt cần ] thành đoạn để đạt đƣợc độ xác 10-4 chia [ ( ) Hƣớng dẫn: Xem Ví dụ trang 60 Bài 5.4 Vận tốc ôtô (chạy đƣờng thẳng) thời điểm khác đƣợc cho bảng sau : Thời gian x (phút) Vận tốc v(x) (km/h) Dùng cơng thức Simson tổng qt, tính gần qng đƣờng ôtô đƣợc khoảng thời gian ĐS : ( ) ∫ Bài 5.5 Biết bảng giá trị hàm nhƣ sau : x Tính gần đạo hàm hàm số Bài 5.6 Cho hàm số điểm ( ) xác định bảng sau: Áp dụng cơng thức Simpson tổng qt, tính gần tích phân ∫ ( ) Bài 5.7 Vận tốc V (tính km/h) ca nơ chạy đƣờng thẳng thời điểm x khác (tính giờ) đƣợc cho bảng sau: ( ) ( ) ( ) Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 62 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng 2018 Biết qng đƣờng S ca nô đƣợc khoảng thời gian , - đƣợc tính theo cơng thức: S=∫ ( ) Dùng cơng thức Simson tổng qt, tính gần qng đƣờng S ca nô đƣợc khoảng thời gian từ 0h đến 1,6h Bài 5.8 Biết quãng đƣờng S (tính mét) thời điểm x khác (tính giây) chất điểm A cho bảng giá trị sau: ( ) a) Tìm đa thức nội suy Newton tiến hàm S(x) điểm b) Biết v(x) = S’(x) Tính gần vận tốc v chất điểm A thời điểm x = 0,4 giây Bài 5.9 Cho tích phân ∫ a) Áp dụng cơng thức hình thang tính gần tích phân I cách chia [0;1] thành đoạn b) Tính sai số kết nhận đƣợc Bài 5.10 Cho tích phân ∫ a) Áp dụng cơng thức hình thang tổng qt để tính gần tích phân I, để kết đạt độ xác 10-3 cần chia đoạn [1;2] thành đoạn nhau? b) Tính gần tích phân Bài 5.11 Biết quãng đƣờng S (tính mét) thời điểm x khác (tính giây) chất điểm A cho bảng giá trị sau: ( ( )( ) ) a) Tìm đa thức nội suy Newton tiến hàm S(x) nút ( ) Tính gần vận tốc v chất điểm A thời điểm x = giây b) Biết ( ) Bài 5.12 Cho hàm số y = f(x) xác định bảng sau: Áp dụng công thức Simpson tổng quát, tính gần tích phân Bài 5.13 Cho tích phân ∫ ∫ ( ) a) Áp dụng cơng thức hình thang tổng qt để tính gần tích phân I, để kết đạt độ xác 10-3 cần chia đoạn [1;2] thành đoạn nhau? b) Tính gần tích phân Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 63 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Chương Giải gần phương trình vi phân thường §1 Đặt vấn đề Bài tốn (Bài tốn Cơsi PTVP cấp 1) 1.1 ( ) PTVP : Tìm nghiệm ( ) ( ) , với , ( số thực cho; ( ) - thoả mãn : ( ) ) hàm số biết hai biến x, y (Điều kiện (*) gọi điều kiện ban đầu tốn Cơsi) Bài tốn (Bài tốn Cơsi hệ PTVP cấp 1) 1.2 Tìm véctơ nghiệm { thoả mãn điều kiện ban đầu: ( ) ( ) ( ) số biết biến hệ : ( ) { { ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( cho ; hàm , - ̅̅̅̅̅ hàm ) Bài toán (Bài tốn Cơsi PTVP cấp n): 1.3 ( ) PTVP cấp n: Tìm nghiệm ( ( ( ( ) ) ( ( ; ( ) )) với , -, thoả mãn: { ( ( ) ( ( ) ( ) )( ) ) hàm số biết với n+1 biến ( ) PT(I) PT(III) cho PP giải Bài toán Bài tốn 3: Có thể tìm nghiệm ( ) điểm chia dƣới dạng bảng số Tức tìm giá trị xấp xỉ nghiệm đoạn , - với khoảng cách h biết §2 Các phương pháp giải Bài toán Bài toán: Giải gần PT: biết ( Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh ) , ( -, thỏa ( ) /) , với khoảng cách h Page 64 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ môn Tốn tin ứng dụng Phương pháp Ơle : 2.1 Cơng thức Ơle : Các giá trị : nhƣ sau: ( ( ) ( {  ) nghiệm ) ( ( ) đƣợc xác định xấp xỉ ̅̅̅̅̅ ) Ngƣời ta chứng minh đƣợc: sai số PP Ơle điểm xk : | ( )| Công thức Ơle cải tiến : ( ) Các giá trị ( ( { (Với M số dƣơng không phụ thuộc h) đƣợc tính để hiệu chỉnh dần giá trị ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( theo công thức sau: ) ( ) ) ) ( ( ) Lặp (*) dừng trùng đến mức đòi hỏi, hay phép Diễn giải (*) hiệu chỉnh : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) sau tính xong hiệu chỉnh ( ) ( ( ) ( ) ( ( )  ) ( ) /1 ) ) ̅̅̅̅̅) /1 ( ) đạt độ xác cho ( ) /1 … … ; nhƣ hiệu chỉnh ) Sai số PP Ơle cải tiến điểm /1 ; ( ( ( ) ( ) : /1 /1 nhƣ sau: ; … | ( )| (Với M số dƣơng không phụ thuộc h) Chú ý: Thực tế trình lặp (*) dừng lại hai giá trị gần liên tiếp trùng đến mức địi hỏi Khi lấy 2.2 ̅̅̅ với ̅̅̅ phần chung ( ) Phương pháp Runge-Kutta (ĐỌC THÊM) ( ) ( ) ( ) Cơng thức Runge-Kutta có độ xác cấp : Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 65 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng ( ) ( ) () () ( ( ) ( ) ) Hoặc ( ) () ) ( { { Cơng thức Runge-Kutta có độ xác cấp : ( ) () { () () ( ( () () ( () () ) () () () ) () Công thức Runge-Kutta có độ xác cấp : ( ) () () () () { () ( ( ( () ) () () () () / () ) () () / ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) / ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ( / () / ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ( ) / ( )| Chú ý : Sai số PP Runge-Kutta điểm xi | (Với M số dƣơng không phụ thuộc h) Đánh giá có ý nghĩa mặt lý thuyết, việc xác định M phức tạp Trong thực hành, ngƣời ta thƣờng xác định gần sai số cách “tính hai lần”: lần đầu xác định yn với bƣớc nhảy h nhận đƣợc giá trị gần ( ), sau xác định theo cơng thức nhƣng với bƣớc nhảy nhận đƣợc giá trị gần Khi sai số đƣợc xác định : Ví dụ 2.1.1: Cho tốn Cơsi | / ( )| ( ) | / / ( )| Hãy tìm nghiệm gần PP Ơle [1;2] chọn bƣớc h = 0,1 Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 66 2018 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng ( Giải Các giá trị ) nghiệm ( ) ( ) ( { B1 : Khởi tạo { ̅̅̅̅̅ ) ( ( ) ) ( ) đƣợc xác định xấp xỉ nhƣ sau: ( ) { ( B2 (Lặp) : { ) ( ̅̅̅̅̅̅ ) ( ( ) ) Dừng sau 10 bƣớc lặp Sử dụng máy tính FX 500-MS ta có bảng giá trị xấp xỉ nghiệm ( ) PT cho nhƣ sau : Ví dụ 2.1.2 : Dùng PP Ơle cải tiến, tính đến độ xác với chữ số lẻ thập phân giống giá trị ( ) nghiệm tốn Cơsi : thỏa ( ) Chọn bƣớc So sánh với kết ( Giải Có: (  ) ( ) ( ) ( ) { Cơng thức lặp hiệu chỉnh tính Cụ thể : { ( ) ( ) ( ) Công thức Ơle cải tiến : ( ( ( ) 0( 0( Sử dụng máy tính FX 500-MS : (FIX-4) Bước1: (Khởi tạo) Bước : (Lặp) Các giá trị hiệu chỉnh ,( ) 0( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) { ( ) nhƣ sau: ( ) ) nhƣ sau ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ) ) ( ) )- ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( 0( / ) ( /1 ( /1 ( ) ) /1 ( ) /1 /1 … ( ) / xác với chữ số thập phân Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh ) ̅̅̅̅̅) ): Page 67 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng ( )  Cơng thức lặp hiệu chỉnh tính ( ( ) ) ( ) { Tính tốn tƣơng tự nhƣ hiệu chỉnh Bước : (Lặp) Các giá trị hiệu chỉnh ,( ( ( )nhƣ sau: ( ) Có : ( ( ( Bước : (Khởi tạo) { ( ) ) ( ( ) ) ) ( ) ( ) )- / ) nhƣ sau (Dừng ( ) ) ( ( ) ): ) /1 ( ) / ( ) Ví dụ 2.2 : Dùng công thức Runge-Kutta cấp (dạng 2), chọn h = 0,1 tìm [1;2] nghiệm ( ) gần phƣơng trình (ĐỌC THÊM) ( Giải Có ) Cơng thức nghiệm : Hay Bước : { ( { ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) { ( ( ( Bảng kết tính tốn ) ) ) () ( ) ( , () ) () Bước : Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh { () , ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) / ( (( () ) ) ( /- )- () ) / ( ) Page 68 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Phương pháp chuỗi Taylor : 2.3 Bước : Ta tìm dạng khai triển chuỗi Taylor ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )( Bước : Tính đạo hàm +) Có +) Có Thay ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) có : ( ): nghiệm gần ( ) ( ) ) ( )( ) ( )) ( ( ( ) ) nhƣ sau : ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) +) Tƣơng tự : Từ xác định đƣợc chuỗi Taylor (*) | đủ bé ta xấp xỉ ( ̅) ( ̅ ), Bước : Khi tức | ̅ với ( ) đa thức Taylor bậc n xác định chuỗi (*) ( ) nghiệm PT: Ví dụ 2.3.1 Biết ( ) a) Tìm nghiệm gần PT theo phƣơng pháp Taylor với b) Tính gần ( ) Giải a) Có ( ) +) Có +) Có => +) Khi b) Vậy : ( ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) / ( / ) ( ( ) )( ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( )( ) ) §3 Phương pháp giải Bài toán (Trường hợp n = 2, hệ gồm PTVP cấp 1) ( ) Bài toán 2: Tìm véctơ nghiệm (II) 3.1 Các giá trị ( ( { ) ) biết; hàm , Công thức Ơle ( ) { ( ( ) hệ : ( - thoả mãn: ( ) ) ( ( ) ) hàm số biết ) đƣợc xác định với bƣớc h nhƣ sau: ( ) Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh ( ) ( ( ) ) ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) Page 69 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Cơng thức Ơle cải tiến 3.2 Các giá trị ( { ( ) ( ) ( ) , đƣợc tính để hiệu chỉnh dần ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( Ví dụ 3.2.2: Cho hệ PT vi phân cấp : ( ) { với ( ) ( ) ) ) nhƣ sau: ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( /1 ( ) ) ( ) ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ) ( ) /1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) Chọn bƣớc h = 0,1 (1) Hãy tìm nghiệm gần phƣơng pháp Ơle [0,3;1] (2) Hãy tìm nghiệm PP Ơle cải tiến (tính đến độ xác bốn chữ số lẻ thập phân trùng nhau) ( Giải Có ) (1) Ta có ( ( ) ) ( ( ) ( ( { Bước1 : (Khởi tạo) { Bước : (Lặp) { ) ) ( ( Cụ thể : { ) ) ( ( ( ) ) ( ( ( Bảng kết tính tốn : ) ( ( ) ) ) ( ( ( ( ( ) ) ) ) (Dừng sau ) ) ) bƣớc lặp) (2) Tự giải Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 70 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng §4 Phương pháp giải Bài toán (Trường hợp n = 2, PTVP cấp 2) ( ) phƣơng trình : Bài tốn: Tìm nghiệm ( Cách giải: Đặt { ( Giải PT cho Đặt ta có hệ Có Bước1 : (Khởi tạo) thoả mãn: ( ) ( ) đƣa PT (3) hệ dạng (2) gồm hai PTVP cấp : ( ) { , thỏa mãn ( ) ) ; với ( ) ( ) , - Hãy tìm ( ) phƣơng pháp Ơle [1;1,5] chọn bƣớc h = 0,1 , { ( ( { Bước : (Lặp) Dừng sau ) với ) hàm số biết với biến Ví dụ: Cho PTVP cấp 2: nghiệm gần ( { - thỏa ( ) ) / ) ) ( ) ( ( ( ( bƣớc lặp Bảng kết tính tốn : Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh ( ) ) ) ) ( ) ) Page 71 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Bài tập tự luyện chương Bài 6.1 Cho phƣơng trình vi phân cấp hai: (2) Hãy tìm nghiệm gần chọn với ( ) ( ) ( ) PT(2) phương pháp Ơle đoạn , - Bài 6.2 Cho phƣơng trình vi phân cấp một: với Hãy tìm nghiệm gần , -, chọn ( ) ( ) phƣơng trình phương pháp Ơle đoạn Đáp số: Bài 6.3 Cho phƣơng trình vi phân cấp một: với Hãy tìm nghiệm gần [0;1], chọn ( ) ( ) phƣơng trình phương pháp Ơle đoạn ( ) phƣơng pháp Ơle đoạn , - ( ) phƣơng pháp Ơle đoạn , Bài 6.5 Hãy tìm nghiệm gần phƣơng trình sau: điều kiện ban đầu ( ) , chọn - Bài 6.4 Hãy tìm nghiệm gần phƣơng trình sau: biết Đáp số: ( ) ; chọn bƣớc Bài 6.6 Cho hệ hai phƣơng trình vi phân cấp một: ( ) { ; với điều kiện ban đầu ( ) Hãy tìm nghiệm gần HPT (II) phƣơng pháp Ơle đoạn , ( ) -, chọn bƣớc Bài 6.7 Cho hệ hai phƣơng trình vi phân cấp một: Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 72 2018 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng { với ( ) ( ) Hãy tìm giá trị gần hàm y, z điểm x = 1,25 với độ xác chữ số thập phân giống nhau, phương pháp Ơle cải tiến đoạn [1;2], chọn h = 0,25 với Bài 6.8 Cho phƣơng trình vi phân cấp : ( ) Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến đoạn [1;2] với Tính giá trị hàm y điểm đạt đến độ xác với chữ số lẻ thập phân giống Bài 6.9 Cho hệ hai phƣơng trình vi phân cấp một: { với ( ) ( ) Hãy tìm giá trị gần hàm y, z điểm x = 1,25 với độ xác chữ số thập phân giống nhau, phương pháp Ơle cải tiến đoạn [1;2], chọn h = 0,25 Bài 6.10 Cho phƣơng trình vi phân cấp một: với ( ) -, chọn h = 0,2 Hãy tính giá trị hàm y Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến đoạn , đạt đến độ xác với chữ số lẻ thập phân giống Bài 6.11 Cho phƣơng trình vi phân cấp một: với ( ) -, chọn h = 0,25 Hãy tính giá trị hàm y Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến đoạn , đạt đến độ xác với chữ số lẻ thập phân giống Bài 6.12 Cho hệ hai phƣơng trình vi phân cấp một: { với ( ) ( ) -, chọn Trên đoạn , Áp dụng phương pháp Ơle cải tiến, tính đến độ xác chữ số thập phân giống giá trị hàm y z điểm Bài 6.13 Tìm nghiệm gần PT Bài 6.3 theo phương pháp chuỗi Tay-lor với Bài 6.14 Tìm nghiệm gần PT Bài 6.2 theo phương pháp chuỗi Tay-lor với Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh Page 73 ... : Cứ nhƣ ta thu đƣợc: , ( ) -( ( ) , ( ) ) , ( - , - ( ) -( - ) ( ) , Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh ( ) , ) , -( , - ( ) ( ) , ) -( -( , - , )( )( , -( -( -( ) ) )( ( ) (1) ) ) ) Page... Biết Lấy giá trị gần Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh 3.1416 Page 12 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh 2018 Page 13 Học viện... Biết chữ số có nghĩa chữ số đáng tin Giải - Tính | : Có Lại có: | | | | | | | Có Vậy | | | | Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh - Tính u: - ( Tính δu : ) | | Page 10 Học viện Nông nghiệp