Bài giảng Phương pháp tính

NỘI DUNG MƠN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn Chương 1: Số gần sai số Chương 2: Tính giá trị đa thức Chương 3: Phép nội suy áp dụng GV: LÊ THỊ THU Chương 4: Giải gần phương trình phi tuyến KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Chương 5: Giải gần hệ phương trình tuyến tính Chương 6: Giải gần phương trình vi phân thường Chƣơng 0: Nhập mơn p Phƣơng pháp tính gì? PPT nhánh ngành Toán học ứng dụng, nghiên cứu phƣơng pháp giải thuật để giải cách gần phƣơng trình, tốn xấp xỉ toán tối ƣu CHƯƠNG NHẬP MƠN p Đặc trƣng phƣơng pháp tính Ø Chính xác Ø Thiết thực Ø Tốc độ (số vịng lặp) Chƣơng 0: Nhập môn p Chƣơng 0: Nhập môn p Các lĩnh vực nghiên cứu môn học ü Tính giá trị hàm: ü Phép nội suy, ngoại suy Hữu hạn ü Tính gần đạo hàm, tích phân xác định Vi phân Đại số ü Giải gần phƣơng trình phi tuyến Phi tuyến Tuyến tính ü Giải gần hệ phƣơng trình đại số tuyến tính Phức tạp Đơn giản ü Giải gần phƣơng trình vi phân thƣờng, phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng Định hƣớng chung PPT Bài tốn gốc Vơ hạn Bài tốn gần Bài 1.1: Sai số tuyệt đối sai số tƣơng đối CHƯƠNG p Ta nói a số gần a*, a không sai khác a* nhiều p Giả sử đại lƣợng có giá trị xác a*, giá trị gần a Khi đó: P Đại lƣợng r:= |a – a*| đƣợc gọi sai số thật a SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Do a* => r P Đại lƣợng thõa mãn: đƣợc gọi sai số tuyệt đối a => nhỏ tốt P Sai số tƣơng đối: a= Da a Bài 1.1: Sai số tuyệt đối sai số tƣơng đối p Bài 1.2: Sai số thu gọn Ví dụ 1: Giả sử a* = e (» 2,718281828 ); a = 2, 71 p Một số thập phân a có dạng tổng qt: • Nếu • Nếu ã Nu s = +Ơ ị a l s thp phân vô hạn Do 2,71 < a* < 2,72 = 2,71 + 0,01 = a + 0,01 Þ lấy Mặt khác, 2, 71 < a* < 2, 719 = 2, 71 + 0, 009 = a + 0, 009 Þ lấy p F Nhận xét: Sai số tƣơng đối quan trọng phản ánh độ xác phép đo, phép đo xác phép đo hay khơng Ví dụ 2: Đo độ dài vật A=1m, B=10m với sai số tuyệt 0,1 0,1 đối 0,1m; sai số tƣơng đối lần lƣợt a = = 10%, b = = 1% 10 => phép đo vật B xác phép đo vật A 10 lần, sai số tuyệt đối Quy tắc thu gọn: ü Giả sửa = p p -1 10 p -1 + + j 10 j + + Ta giữ lại đến số hạng thứ j Gọi phần bỏ a= Trong j ü ìï =í ïỵ p 10 p + p -1 10 p -1 + , 0£ j + 1, 0,5.10 j < Trong trƣờng hợp + j p- s p Nếu chẵn Þ j = ü Nếu lẻ Þ j +1 = Ví dụ: 1) a = 1, 23567 » 1, 2357 » 1, 236 » 1, 24 » 1, » 2) b = 1, 2354 » 1, 235 » 1, 24 » 1, » 3) c = 1, 2452 » 1, 245 » 1, 24 » 1, » Đặt 10 j p Mọi số Ga thỏa mãn a - a £ Ga đƣợc gọi sai số thu gọn a Nhận xét: Sau thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên lƣợng Ga < 10 j => Chứng minh???? = 0,5.10 j : ü Thu gọn số a bỏ số chữ số bên phải a để đƣợc số ngắn gọn gần với a 10 10 p- s < 0,5.10 j j j Ví dụ: a = 12,345 Þ a = 1.101 + 2.100 + 3.10-1 + 4.10-2 + 5.10-3 p 10 p + có phần lẻ gồm m chữ số Bài 1.2: Sai số thu gọn Bài 1.2: Sai số thu gọn p số nguyên j 11 12 Bài 1.3: Chữ số (chữ số đáng tin) Bài 1.3: Chữ số 13 Bài 1.3: Chữ số 14 Bài 1.4: Sai số tính tốn p 15 Trong tính tốn ta thƣờng gặp loại sai số sau: P Sai số giả thiết: Do lí tƣởng hóa, mơ hình hóa tốn thực tế Sai số không trừ đƣợc P Sai số phương pháp: Do phƣơng pháp giải gần nên tính tốn ln có sai số phƣơng pháp đem lại Mỗi phƣơng pháp có sai số đặc trƣng P Sai số số liệu: xuất đo đạc việc cung cấp giá trị đầu vào khơng xác P Sai số tính tốn: xuất làm trịn thơng số q trình tính tốn 16 Bài 1.4: Sai số tính tốn Bài 1.4: Sai số tính tốn p Bài tốn thuận sai số: tốn tìm sai số kết biết sai số số liệu ban đầu p Giả sử cần tìm hàm y = f ( x1 , x2 , , xn ) Gọi xi* , yi* xi , yi , i = 1, n giá trị gần đối số số Giả sử hàm f khả vi liên tục Khi n y - y * = f ( x1 , , xn ) - f ( x1* , , xn* ) = å f i ' xi - xi* i =1 Ø Ø Sai số tuyệt đối: Sai số tƣơng đối: n Dy = å i =1 y= ¶f Dxi ¶xi Dy n ¶ ln f Dxi =å y i =1 ¶xi 17 Bài 1.4: Sai số tính tốn 18 Bài 1.4: Sai số tính tốn 19 20 BÀI TẬP CHƢƠNG I CHƯƠNG TÍNH GIÁ TRỊ ĐA THỨC 21 Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng p 22 Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức p Phương pháp: Phân tích P(x) dƣới dạng Bài tốn: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát P( x) = a0 x n + a1x n-1 + + an-1x + an (a0 ¹ 0) Tính giá trị đa thức x = c, tức cần tính P(c), với c giá trị cho trƣớc 23 24 Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng p Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng Ví dụ 1: Cho P( x) = x - x + x3 - x - Áp dụng sơ đồ Horner Horner, tính P(-2) Input ai, c, n Giải: Lập sơ đồ Horner: P=0 i = 0,1,2, ,n P = P*c + p Ví dụ 2: Cho Print P Tính P(-2) Đ/s: P(-2) = -23 Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng p Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát + an-1x + an (a0 ¹ 0) ü Xác định bn: ü Xác định bn-1 Ta có (*) Xác định P(y+c), với y biến mới, c giá trị cho trƣớc Trong đó, Pn-1(x) đa thức bậc n-1 Phương pháp: Giả sử Mặt khác P( y + c) = y(b0 y n-1 + b1 y n- + P( y + c) = b0 y n + b1 y n-1 + 26 Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng Sơ đồ Horner tổng quát P( x) = a0 x n + a1x n-1 + End 25 + bn-1 y + bn (b0 ¹ 0) + bn-2 y + bn-1 ) + bn Đặt x = y + c Þ P( x) = ( x - c)(b0 y n-1 + b1 y n-2 + => Ta cần xác định hệ số bi , i = 0, n + bn-2 y + bn-1 ) + bn (2*) Từ (*) (2*) ta suy P1 ( x) = P1 ( y + c) = b0 y n-1 + b1 y n-2 + 27 Tƣơng tự, bn-i = Pi (c) + bn-2 y + bn-1 28 Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng p Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng Sơ đồ Horner tổng quát p Đạo hàm đến cấp n điểm x=c: P( y + c) = b0 y n + b1 y n -1 + + bn -1 y + bn Þ P( x) = b0 ( x - c) n + b1 ( x - c) n -1 + n + bn -1 ( x - c ) + bn = å bn -i ( x - c )i i =0 Theo công thức Taylor: n P( x) = å i =0 Þ P ( i ) (c ) ( x - c )i i! P ( i ) (c) = bn -i Û i! P (i ) (c) = i !bn-i 29 Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng p 30 Bài 2.2: Sai phân hàm số thực Ví dụ 3: Cho P( x) = x + x - x + x + Xác định P( y - 1) p Giải: Ta có c = -1 Lập sơ đồ Horner tổng quát: Tỷ sai phân: Xét hàm y=f(x) [a, b] cho trƣớc bảng giá trị xi , yi , i = 0, n ­ Tỷ sai phân cấp hàm f: f xi , xi -1 = D.hàm: ­ Tỷ sai phân cấp hàm f: P (-1) = -2; P '( -1) = 1!*11 = 11; P ''( -1) = 2!*( -11) = -22; P '''( -1) = 3!* = 0; (5) P (-1) = 5!*(-8); P (-1) = 6!* f xi +1 , xi , xi -1 = f xi +1 , xi - f xi , xi -1 , i = 1, n - xi +1 - xi -1 ­ Tỷ sai phân cấp n hàm f: P (4) (-1) = 4!*10; (6) f ( xi ) - f ( xi -1 ) , i = 1, n xi - xi -1 31 f xn , xn -1 , , x1 , x0 = f xn , xn-1 , , x1 - f xn-1 , , x1 , x0 xn - x0 32 Bài 2.2: Sai phân hàm số thực Bài 2.2: Sai phân hàm số thực p Các tính chất tỷ sai phân: ­ Tính chất tuyến tính f + g xk , , x0 = f xk , , x0 + g xk , , x0 ­ Tính chất đối xứng f xi , xi -1 = f xi -1 , xi f xi +1 , xi , xi -1 = f xi -1 , xi , xi +1 ­ Tỷ sai phân số = 34 33 Bài 2.2: Sai phân hàm số thực p Bài 2.2: Sai phân hàm số thực Sai phân Giả sử hàm f : R ® R hàm cho trƣớc điểm cách khoảng h, tức xi +1 = xi + h Khi đó: ­ Sai phân cấp hàm f: Df ( xi ) = f ( xi +1 ) - f ( xi ) = f ( xi + h) - f ( xi ) ­ Sai phân cấp hàm f: D f ( xi ) = D Df ( xi ) = Df ( xi +1 ) - Df ( xi ) = Df ( xi + h) - Df ( xi ) ­ Sai phân cấp n hàm f: D n f ( xi ) = D éëD n-1 f ( xi ) ùû = D n-1 f ( xi +1 ) - D n-1 f ( xi ) Quy ước: 35 36 Bài 2.2: Sai phân hàm số thực p Bài 2.2: Sai phân hàm số thực Các tính chất sai phân: p ­ Tính chất tuyến tính D( f + g ) = Df + Dg f xi , xi -1 = ­ Nếu c = const ÞDc = ­ Giả sử Pn(x) đa thức bậc n Khi đó: D n Pn ( x0 ) = D n Pn ( x1 ) = Liên hệ tỷ sai phân sai phân trƣờng hợp điểm cách khoảng h: f ( xi ) - f ( xi -1 ) Df ( xi -1 ) Df ( xi -1 ) = = xi - xi -1 h 1!h f xi +1 , xi , xi -1 = = const D m Pn ( x) = "m > n f xi +1 , xi - f xi , xi -1 Df ( xi ) - Df ( xi -1 ) D f ( xi -1 ) = = xi +1 - xi -1 2h 2!h f xk , xk -1 , , x1 , x0 = D k f ( x0 ) k !h k 37 38 BÀI TẬP CHƢƠNG II Bài 2.2: Sai phân hàm số thực p Ứng dụng sai phân tính giá trị đa thức p Bài 1: Cho P( x) = x5 + x3 - x + Xác định: p Bài 2: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị: x y=f(x) -4 45 -1 33 Lập bảng tỷ sai phân cấp f p Bài 3: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị: x y=f(x) 39 12 Lập bảng sai phân cấp f 10 25 40 BÀI TẬP CHƢƠNG IV BÀI 6: Tìm nghiệm gần phƣơng trình - x3 +5x+2=0 khoảng (2,3) với sai số không 0,03 a) Bằng phƣơng pháp chia đôi b) Bằng phƣơng pháp dây cung c) Bằng phƣơng pháp tiếp tuyến d) Bằng phƣơng pháp lặp đơn CHƯƠNG GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BÀI 7: Tìm nghiệm gần phƣơng trình sinx – x +1/2=0 với sai số không 0.02: b) Bằng phƣơng pháp dây cung c) Bằng phƣơng pháp tiếp tuyến Giải gần hpt đại số tuyến tính Trong thực tế, nhiều toán kinh tế, kỹ thuật, sinh thái quy việc giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính(đstt): AX = B Trong đó: ỉ b1 ỉ a11 a12 a1n ổ x1 ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ a a a ç b2 ÷ ç 2n ữ ỗ x2 ữ = B A = ỗ 21 22 ữ X =ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ a a a ữ ỗb ữ ỗ ữ nn ứ ố n1 n2 è nø è xn ø 134 Giải gần hpt đại số tuyến tính p p Nếu det(A)¹0 hệ có nghiệm p Phƣơng pháp giải thuộc hai nhóm: o Trực tiếp (giải đúng): Cramer, Gauss, Cholesky… o Lặp (gần đúng) : Jacobi, Seidel, Gauss-Seidel Bài 5.1 Phƣơng pháp Cramer xi = æ a11 ç a21 Ai = ç ç çç è an1 det( Ai ) det( A) a1i -1 b1 a1i +1 a1n ÷ a2 i -1 b2 a2 i +1 a2 n ÷ ÷ ÷ an i -1 bn an i +1 ann ÷ø 5.1 Phƣơng pháp Cramer Ví dụ 1: Giải hệ sau phƣơng pháp Cramer: ì2 x1 + x2 - x3 = ï í x1 - x2 + x3 = ï3x - x + x = -1 ỵ Giải: Ta có: det( A) 1 2 det( A1 ) 10 Thay cột thứ i A B để có Ai det( A3 ) Trong đó: A: Ma trận hệ số Ai: Ma trận có đƣợc từ A cách thay cột i B x1 det( A1 ) det( A) 10 10 1; x2 det( A2 ) det( A) 30 10 1 1 2 3; x3 10 20 det( A3 ) det( A) 20 10 5.1 Phƣơng pháp Cramer Bài 5.2 Phƣơng pháp Gauss Ví dụ 2: Tìm nghiệm hệ phƣơng trình sau phƣơng pháp Cramer: ìx + x + x = Nội dung phương pháp: Gồm trình: Quá trình thuận: Biến đổi ma trận A ma trận tam giác trên: ï í2 x + x - x = ïx + 3x + 3x = ỵ Nhận xét: üNếu xem q trình tính tốn khơng có sai số quy trịn phương pháp Cramer phương pháp giải üViệc giải hệ gồm n phương trình phương pháp Cramer cần phải tính n+1 định thức cấp n, định thức cấp n cần: n!-1 phép số lượng phép tính cộng, (n-1)n! phép nhân Khi n lớn lớn khó thực thực tế p A( n ) æ a12(1) a1(1)n ỗ ữ a2(2)n ữ ỗ ; = ỗ ữ ỗỗ ữ ữứ ố => H tng ng vi ổ b1(1) ỗ (2) ữ b (n) B =ỗ ữ ỗ ữ çç ( n ) ÷÷ è bn ø (1) ìx1 + a12 x + + a1(1n) x n = b1(1) ï x + + a (22n) x n = b (22 ) ï í ï ï x n = b (nn ) ỵ Quá trình nghịch: Giải hệ từ dƣới lên để tính xn, xn-1, … x1 5.2 Phƣơng pháp Gauss 5.2 Phƣơng pháp Gauss ì2 x1 + x2 - x3 = Ví dụ : Sử dụng phƣơng pháp Gauss giải hệ sau: ïí x1 - x2 + x3 = ï3 x - x + x = -1 ỵ Giải: Biến đổi ma trận mở rộng: 1 1 2 1 1/ 1/ / 3/ 5/ 1/ 7/ 5/ 11/ x1 => Hệ tƣơng đƣơng: x2 x2 x3 x3 x3 1/ 0 1/ 5/3 10 / 1/ 1/ 5/3 0 3/ 1/ Từ phƣơng trình thứ 3, ta có: x3 = Từ phƣơng trình thứ 2, ta có: x2 =-1/3+5/3x3 = Từ phƣơng trình thứ 1, ta có: x1 =3/2-1/2x2+1/2x3 = Vậy nghiệm hệ là: x1 = 1; x2 = 3; x3 = 5.2 Dùng phƣơng pháp Gauss tính định thức Bài tập: Sử dụng pp Gauss giải hệ phƣơng trình: b) 1 ì ï x1 + x2 - x3 = ï ï x2 - x3 = í 3 ï x3 = ï ï î x1 x1 x1 Quá trình nghịch: Giải hệ: 3/ 1/ 20 / 5.2 Phƣơng pháp Gauss ì2 x1 + x2 - x3 = ï a ) í x1 - x2 + x3 = ï3x - x + x = -1 ỵ Ø x2 x3 x2 3x2 p Bài tốn: Tính det(A), với x3 3x3 ổ a11 a12 a1n ỗ ữ ỗ a 21 a 22 a 2n ữ A=ỗ ữ ỗ ữ ỗ a a a ữ nn ø è n1 n2 Phương pháp: Biến đổi ma trận A ma trận tam giác: Nhận xét: Khối lượng phép tính pp Gauss Þ Ít nhiều so với pp Cramer 4n 9n 7n ? Dùng pp Gauss không, bước k, phn t akk =0??? ổ a11(0) ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ố a12(0) (1) a22 a13(0) (1) a23 a3(2) n ö a1(0) n (1) ÷ a2 n ÷ ÷Þ a3(2) n ÷ ÷ ( n -1) ÷ ann ø (1) det A = a11(0) a22 ( n-1) ann 5.2 Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo p Bài toán: n Cho ma trận A: n ỉ a11 a 12 a1n ữ ỗ ỗ a 21 a 22 a 2n ữ A=ỗ ữ ữ ỗ ỗ a a a ÷ è n1 n2 nn ø 5.2 Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo p Kí hiệu A-1= (xij): cần phải tìm xij ? p Ta có: Tìm ma trận nghịch đảo A-1 A Nghĩa cần tìm A-1 , cho A.A-1 =I, với I l ma trn n v cp n: ổ n ỗ a1k xk1 ỗ k =1 ỗ n ồa x = ỗỗ k =1 k k ỗ ỗ n ỗ a x ỗ nk k1 ố k =1 ổ1 0 ỗ ữ ỗ ữ I =ỗ ữ ç ÷ ç 0 1÷ è ø Lưu ý: Mọi ma trận không suy biến tồn ma trận nghịch đảo 5.2 Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo Xét cột thứ j ma trận A.A-1 I Ta có hệ: ìa11x1 j + a12 x2 j + + a1n xnj = ï ïa21x1 j + a22 x2 j + + a2 n xnj = ïï í ïa j1 x1 j + a j x2 j + + a jn xnj = ï ï ïỵan1 x1 j + an x2 j + + ann xnj = æ a11 a12 a1n ổỗ x1 j ỗ ữ Hay ỗ a21 a22 a2 n ữ ỗ x2 j ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ a a a ữ ỗ x nn ứ ố nj ố n1 n ì0 Với eij = í ỵ1 (i ¹ j ) (i = j ) n åa x åa x k =1 1k k 2k k n åa k =1 nk xk xkn ÷ k =1 ÷ ỉ n ữ ỗ a2 k xkn ữ ữữ ỗ I = = k =1 ữ ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ è 0 ø n å ank xkn ÷÷ k =1 ø n åa 1k 5.2 Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo p ỉ e1 j ữ ỗ ữ ữ ỗ e2 j ữ ữ=ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗố enj ữứ ứ æ a11 a12 a1n ö æ x11 x12 x1n ỗ ữ ỗ ữ a21 a22 a2 n ữ ỗ x21 x22 x2n ữ -1 ỗ = A A = ỗ ữ ỗ ữ ỗỗ ữữ ỗ ữ ố an1 an ann ø è xn1 xn2 xnn ø Nội dung phƣơng pháp là: Giải hệ có dạng: ỉ a11 a12 a1n ổỗ x1 j ỗ ữ ỗ a21 a22 a2 n ữ ỗ x2 j ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ a a a ữ ỗ x nn ứ ố nj è n1 n ì0 ỵ1 Với eij = í ổ e1 j ữ ỗ ữ ữ ỗ e2 j ữ ữ=ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗố enj ữứ ứ (i j ) (i = j ) Để tìm phần tử cột thứ j ma trận A-1 5.2 Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo p Cụ thể: Giải hệ: 5.2 Dùng phƣơng pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo p ìa11x11 + a12 x21 + a13x31 + + a1n xn1 = ï ïïa21x11 + a22 x21 + a23x31 + + a2 n xn1 = ía31x11 + a32 x21 + a33x31 + + a3n xn1 = ï ï ïỵan1 x11 + an x21 + an3 x31 + + ann xn1 = Để tìm đƣợc phần tử cột ma trận A-1 Bài 5.3 Phƣơng pháp phần tử trội Với PP Gauss đƣợc trình bày trên: n Phƣơng pháp Gauss PP giải Thực tế, xảy sai số quy tròn Hơn nữa, tính tốn máy tính gần Sai số lớn phần tử akk » n Không thực đƣợc bƣớc k, phần tử akk=0 n Ý tƣởng phƣơng pháp chọn hệ số aij hệ số có trị tuyệt đối lớn (phần tử trội) Chẳng hạn phần tử apq Khi đó, dịng thứ p đƣợc gọi dịng trội Giải hệ: Để tìm phần trử cột ma trận A-1 Tổng quát: n Giải hệ AXj = Ij để tìm phần tử cột j A-1 Với Xj cột thứ j A-1, Ij cột thứ j I n Có thể giải hệ phƣơng pháp Gauss Ở có chung ma trận hệ số A n p 5.3 Phƣơng pháp phần tử trội Nội dung phương pháp: p Thực phép khử ẩn với dòng trội cho cột thứ q sau trừ khử apq lại phần tử khác p Bỏ cột q dòng p ta ma trận vng cấp n-1 p Tiếp tục q trình với ma trận cấp n-1 vừa thu Bài 5.4 Phƣơng pháp Cholesky (căn bậc hai) 5.3 Phƣơng pháp phần tử trội Nhận xét: p Nếu det A ¹ phƣơng pháp phần tử trội áp dụng đƣợc p Phƣơng pháp phần tử trội ƣu việt phƣơng pháp Gauss chia cho phần tử akk( k -1) » p Giải hệ PT tuyến tính: AX = B, A ma trận đối xứng p Nội dung phương pháp: n Quá trình thuận: Giả sử biến đổi đƣợc ma trận A thành tích ma trận vng cấp n : A = S T S đó: Bài tập: Giải hệ sau phƣơng pháp phần tử trội: ì x1 + x2 + x3 = ï í x1 + 3x2 + x3 = ï x + 2x + x = 3 ỵ ỉ s11 ç S =ç ç ç è0 ĐS: (-3,2,2) 5.4 Phƣơng pháp Cholesky Nhân S T với a1 j a11 ( j > 1) i -1 sii = aii - å ski2 (1 < i £ n) k -1 i -1 sij = aij - å ski skj k =1 sii (i < j ) sij = (i > j ) Nhƣ vậy, việc giải hệ Ax=B đƣợc chuyển việc giải hệ tam giác: S T y = B; Sx = y s1n ö s2 n ữữ ; ữ ữ snn ứ ổ s11 ỗ s T S = ỗ 12 ỗ ỗ ố s1n s22 0ư ÷÷ ÷ ÷ snn ø s2 n 5.4 Phƣơng pháp Cholesky đồng với phần tử A ta đƣợc: s11 = a11 ; s1 j = s12 s22 p Quá trình nghịch: n Gii h ổ s11 ỗ ỗ s12 ỗ ỗ ố s1n s22 s2 n n ổ s11 ỗ ỗ0 ç ç è0 ưỉ y1 ỉ b1 ữỗ ữ ỗ ữ ữỗ y2 ữ ỗ b2 ữ = ữỗ ữ ỗ ữ ữỗ ữ ỗ ữ snn øè yn ø è bn ø i -1 y1 = b1 ; yi = s11 bi - å ski yk k =1 sii (i > 1) Giải hệ: Sx = y , ta đƣợc s12 s22 s1n ửổ x1 ổ y1 ữ ỗ ữ s2 n ữỗ ữỗ x2 ữ = ỗ y2 ữ ữỗ ữ ỗ ữ ữỗ ữ ỗ ữ snn ứố xn ø è yn ø y xn = n ; xi = snn yi - n ås k =i +1 sii ik xk (i < n ) 5.4 Phƣơng pháp Cholesky Ví dụ : Giải hệ sau phƣơng pháp Cholesky ì2 x1 + x2 - x3 = ï í x1 - x2 + x3 = ï3 x - x + x = -1 î Giải: Phân tích A = S T S 0 ỉ2 ỉ 1 / -1/ ỗ ữ S = ỗ -3 / ữ , S = ỗỗ -5 / ữữ ỗ -7 / -10 / ữ ỗ0 ữứ ố ứ ố T Giải hệ Giải hệ Định nghĩa: Chuẩn ma trận A=(aij) số thực ||A|| thỏa điều kiện: a ||A||≥0 (với ||A||=0 Û A = 0) b || a.A||=|a|.||A||, với a số thực c ||A+B||≤||A||+||B|| d ||A.B|| ≤||A||.||B|| Thực tế thƣờng dùng chuẩn sau: j ổ -1 ữ ỗ A = ỗ1 2ữ ỗ - 4ữ ứ ố A 1, A ¥ i (Chuẩn Ơclit ) b A = ( å | aij |2 ) i, j Sx = y, nghiệm x1=1, x2= 3, x3= Ví dụ 1: Cho (Chuẩn cột) a A = max å | aij | , nghiệm y1=3/2, y2= -1/3, y3= Chuẩn ma trận chuẩn vector Tính? Chuẩn ma trận chuẩn vector c A ¥ = max å | aij | i (Chuẩn dòng) j Chuẩn ma trận chuẩn vector p Chuẩn Vector: Vector ma trận có cột nên chuẩn Vector là: n X = x1 + x2 + + xn = å xi i =1 X X Ví dụ 2: Cho vector = ¥ 2 x1 + x2 + + xn n = (å xi ) 2 i =1 = max xi i ổ1ử ỗ ữ ỗ 2ữ X =ỗ ữ ỗ ữ ỗ 3÷ è ø Tính chuẩn dịng, cột X Sự khơng ổn định hệ phƣơng trình đại số tuyến tính Giả sử nghiệm hệ AX=B tìm đƣợc X1 p Nếu thay đổi giá trị hệ số vế phải, mà nghiệm tìm đƣợc hệ sai lệnh lớn so với X1 Ta nói hệ AX=B khơng ổn định, ngƣợc lại hệ phƣơng trình gọi ổn định p Cách đơn giản để kiểm tra tính ổn định hệ thống phƣơng trình là: Giải hệ AX=B đồng thời giải hệ AX=B1 với B1 khác so bới B Nếu hai nghiệm tìm đƣợc xấp xỉ nhau, ta nói hệ ổn định, ngƣợc lại ta nói hệ khơng ổn định p Cách khác: xét hệ số Cond(A)=||A||.||A-1|| Với ||A|| chuẩn Cond(A) lớn, hệ khơng ổn định Con(A) gần với 1, hệ ổn định p 5.5.1 Phƣơng pháp Jacobi giải hpttt Ax=b § Ma trận A đƣợc gọi có đƣờng chéo trội, phần tử nằm đƣờng chéo có trị tuyệt đối lớn tổng trị tuyệt đối phần tử hàng § Định lý: Nếu A có đƣờng chéo trội đƣa phƣơng trình Ax=b dạng x=Bx+g, với ma trận B có chuẩn nhỏ F Nếu A có đường chéo trội, ta chia hàng hệ cho phần tử nằm đường chéo hàng này, giữ ần đường chéo (có hệ số =1) vế trái, chuyển số hạng lại sang phải, ta hệ x=Bx+g với B có chuẩn nhỏ § Phương pháp Jacobi giải lặp hệ theo sơ đồ: x( k +1) = B x( k ) + g , Thông thƣờng, chọn x (0) = g (k ³ 0) Bài 5.5 Phƣơng pháp lặp giải hpttt Ax=b § Bài tốn: Tìm nghiệm hệ: Ax=b § Phƣơng pháp: Biến đổi hệ dạng tƣơng đƣợng: x = Bx+g Định lý: Nếu ||B||p 0; + >0 6.2 Phƣơng pháp sai phân giải tốn biên p Khi đó, bào tốn (7) đƣợc xấp xỉ tốn sau: y -y ì yi +1 - yi + yi -1 + pi i +1 i -1 + qi yi = f i ï 2h h ï ( 1, 2,3, , 1) i n = ïï í y1 - y0 ï y0 + h = A ï ï y + yn - yn -1 = B ïỵ n h , n) b-a n pi = p( xi ), qi = q( xi ), fi = f ( xi ) yi = y ( xi ), y 'i = y '( xi ), y ''i = y ''( xi ) Ta thay gần đạo hàm công thức y -y y - yi + yi -1 y '( xi ) » y 'i = i +1 i -1 , y ''( xi ) » y ''i = i +1 h2 2h y -y y - yn-1 y0' = , yn' = n h h (7) đó, p( x), q( x), f ( x) hàm biết, xác định [a,b], , , , , A, B số biết, thỏa mãn h= p ( a £ x £ b) Nhƣ vậy, ta cần giải hệ (n+1) phƣơng trình để xác định (n+1) ẩn p Sai số: M h2 yi - y ( xi ) £ b-a 96 f (4) ( x) với M = max a £ x £b 6.2 Phƣơng pháp sai phân giải tốn biên p Ví dụ: Giải tốn ìí x y ''+ xy ' = 1, £ x £ 1, với n=4 Giải: với h = ỵ y (1) = 0, y (1, 4) = 0,0566 1, - = 0,1 ta có ìï2 xi ( yi +1 - yi + yi -1 ) + xi ( yi +1 - yi -1 )h = 2h í ïỵ y0 = y (1) = 0, y4 = y (1,4) = 0,0566 BÀI TẬP CHƢƠNG VI xy ì ïy' = , £ x £1 Bài 1: Giải tốn Cauchy í với bƣớc chia h=0,1 ïỵ y (0) = a b Hay ta có hệ Bằng phƣơng pháp Euler Bằng phƣơng pháp Euler cải tiến ì y ''+ x y = 0, £ x £ Bài 2: Giải tốn biên í ỵ y (0) = 0, y (1) = với bƣớc h=0,2 ... 17 Bài 1.4: Sai số tính tốn 18 Bài 1.4: Sai số tính tốn 19 20 BÀI TẬP CHƢƠNG I CHƯƠNG TÍNH GIÁ TRỊ ĐA THỨC 21 Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng p 22 Bài 2.1: Sơ đồ Horner áp dụng Sơ đồ Horner tính. .. = ỵ Nhận xét: üNếu xem q trình tính tốn khơng có sai số quy trịn phương pháp Cramer phương pháp giải üViệc giải hệ gồm n phương trình phương pháp Cramer cần phải tính n+1 định thức cấp n, định... chữ số Bài 1.2: Sai số thu gọn Bài 1.2: Sai số thu gọn p số nguyên j 11 12 Bài 1.3: Chữ số (chữ số đáng tin) Bài 1.3: Chữ số 13 Bài 1.3: Chữ số 14 Bài 1.4: Sai số tính tốn p 15 Trong tính tốn