Bài giảng Phương pháp tính ThS. Đậu Thế Phiệt ĐH Bách Khoa TPHCM

Bài giảng Phương pháp tính ThS. Đậu Thế Phiệt Khoa Khoa học Ứng dụng ĐH Bách Khoa TP. HCM Chương 1. Số gần đúng Chương 2. Phương trình phi tuyến Chương 3. Hệ phương trình. Chương 4. Nội suy Chương 5. Đạo hàm tích phân. Chương 6. Phương trình vi phân.

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Đậu Thế Phiệt TP HCM — 2016 Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 1/1 Số gần sai số Những khái niệm Bài toán thực tế Hình: Sai số Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 2/1 Số gần sai số Những khái niệm Những khái niệm Định nghĩa Độ sai lệch giá trị gần giá trị xác gọi sai số Định nghĩa Số a gọi số gần số xác A, kí hiệu a ≈ A (đọc a xấp xỉ A) a khác A không đáng kể dùng thay cho A tính tốn Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 3/1 Số gần sai số Những khái niệm Định nghĩa Đại lượng ∆ = |a − A| gọi sai số thật số gần a Trong thực tế, số xác A, ta ước lượng đại lượng dương ∆a bé tốt thỏa điều kiện |A − a| ∆a gọi sai số tuyệt đối số gần a Vậy sai số thực ∆a Chú ý Trong thực tế ta ký hiệu A = a ± ∆a Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 4/1 Số gần sai số Những khái niệm Ví dụ Giả sử A = π; a = 3.14 Do 3.13 = 3.14 − 0.01 < π < 3.14 + 0.01 = 3.15, nên ta chọn ∆a = 0.01 Mặt khác, 3.138 = 3.14 − 0.002 < π < 3.14 + 0.002 = 3.142, ta chọn ∆a = 0.002 Như vậy, với giá trị gần đúng, có nhiều sai số tuyệt đối khác Trong trường hợp ta chọn giá trị nhỏ chúng Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 5/1 Số gần sai số Những khái niệm Định nghĩa Sai số tương đối số gần a so với số xác A đại lượng nhỏ δ, với δa tính theo cơng thức δ= |A − a| |A| Chú ý Trong nhiều trường hợp, khơng biết A ta thay δa = ∆a |a| ∆a |a| Ví dụ Vận tốc vật thể đo v = 2.8m/s với sai số 0.5% Khi sai số tuyệt đối ∆v = 0.5%.2.8m/s = 0.014m/s Vậy sai số tương đối Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 6/1 Số gần sai số Những khái niệm Ví dụ Đo độ dài hai đoạn thẳng ta a = 10cm b = 1cm với ∆a = ∆b = 0.01cm Khi 0.01 = 0.1%, δa = 10 δb = 0.01 = 1% hay δb = 10δa Từ suy phép đo a xác phép đo b ∆a = ∆b Như vậy, độ xác phép đo thể qua sai số tương đối Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 7/1 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân Chữ số có nghĩa Mọi số thực a biểu diễn dạng thập phân hữu hạn vô hạn a = ±(αm αm−1 α1 α0 α−1 α−2 α−n ) m αk 10k =± k=−n với m, n ∈ N, m Ví dụ 0, n 1, αm = 0, αk ∈ {0, 1, 2, , 9} 324.59 = × 102 + × 101 + × 100 + × 10−1 + × 10−2 Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 8/1 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân Định nghĩa Làm tròn số thập phân a bỏ số chữ số bên phải a sau dấu chấm thập phân để số a ngắn gọn gần so với a Quy tắc Để làm tròn đến chữ số thứ k sau dấu chấm thập phân, ta xét chữ số thứ k + sau dấu chấm thập phân αk+1 Nếu αk+1 5, ta tăng αk lên đơn vị; αk+1 < ta giữ nguyên chữ số αk Sau bỏ phần đuôi từ chữ số αk+1 trở Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 9/1 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân Ví dụ Làm tròn số π = 3.1415926535 đến chữ số thứ 4,3,2 sau dấu chấm thập phân nhận số gần 3.1416; 3.142; 3.14 Đậu Thế Phiệt SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2016 10 / Hệ phương trình vi phân tk 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x(tk ) −0.4000 −0.4617 −0.5256 −0.5886 −0.6466 xk −0.4000 −0.4617 −0.5256 −0.5886 −0.6466 Công thức Runge-Kutta bậc bốn x (tk ) −0.60000 −0.6316 −0.6401 −0.6136 −0.5366 yk −0.6000 −0.6316 −0.6401 −0.6136 −0.5366 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 40 / 54 Bài toán biên tuyến tính cấp Đặt vấn đề Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình vi phân thường đòi hỏi điều kiện cho thời điểm ban đầu Đối với phương trình vi phân bậc hai, ta cần giá trị y (x0 ) y (x0 ) Tuy nhiên, nhiều toán thực tế cho thấy điều kiện hàm cần tìm cho nhiều thời điểm khác Vấn đề dẫn tới việc tìm nghiệm gần dạng toán thứ hai gọi toán biên PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 41 / 54 Bài tốn biên tuyến tính cấp Đặt vấn đề Introduction A common problem in civil engineering concerns the deflection of a beam of rectangular cross section subject to uniform loading while the ends of the beam are supported so that they undergo no deflection Xét toán S S w(x) l x Suppose that l, q, E, S, and I represent, respectively, the length of the beam, the intensity of the uniform load, the modulus of elasticity, the stress at the endpoints, and the central moment of inertia The differential equation approximating the physical situation is of the form S qx d2w (x) = w(x) + (x − l), dx EI 2EI where w(x) is the deflection a distance x from theVI left beam PHƯƠNG TRÌNH PHÂNend of the Ngày thángSince 12 năm no 2016deflection 42 / 54 Bài toán biên tuyến tính cấp Đặt vấn đề Trong phần xét tốn biên phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai với điều kiện biên cho điểm có dạng p(x)y (x) + q(x)y (x) + r (x)y (x) = f (x), y (a) = α, y (b) = β a < x < b, với phương pháp sai phân hữu hạn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 43 / 54 Bài tốn biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn Chọn số tự nhiên n > Chia đoạn [a, b] thành n đoạn điểm chia x0 = a, xk = x0 + kh, k = 1, 2, , n − 1, xn = b với b−a h= n Tại nút xk , k = 1, 2, , n − bên đoạn [a, b] sử dụng cơng thức sai phân hướng tâm, ta có y (xk ) ≈ y (xk+1 ) − y (xk−1 ) yk+1 − yk−1 = 2h 2h PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 44 / 54 Bài tốn biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn y (xk+1 ) − 2y (xk ) + y (xk−1 ) h2 yk+1 − 2yk + yk−1 = h2 y (xk ) ≈ Thay vào phương trình cho ta pk yk+1 − 2yk + yk−1 yk+1 − yk−1 + rk yk = fk , + qk h 2h ∀k = 1, 2, , n − với pk = p(xk ), qk = q(xk ), rk = r (xk ) fk = f (xk ) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 45 / 54 Bài toán biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Từ điều kiện biên y0 = α, yn = β sau biến đổi ta thu hệ phương trình  yn = β  y0 = α, pk qk qk 2pk pk − yk−1 + rk − yk + + yk+1 = fk  h 2h h h 2h ∀k = 1, 2, , n − Đây hệ phương trình đại số tuyến tính cấp n − : AY = B với A ma trận  2p1 p1 q1 r − + 2  2h  p2 hq2 h 2p p2 q2  − r2 − +  2 A= h 2h h h 2h   2pn−1 0 rn−1 − h2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016         46 / 54 Bài toán biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Y = [y1 , y2 , , yn−1 ]T     B=    q1 p1 − α h 2h f2 fn−2 pn−1 qn−1 fn−1 − + β h2 2h f1 − PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN         Ngày tháng 12 năm 2016 47 / 54 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ma trận đường chéo Ma trận A ma trận đường chéo Để giải hệ phương trình ta dùng phương pháp phân rã LU   a11 a12 0  a21 a22 a23 0     a32 a33 0    A=     0 an−1,n−1 an−1,n  0 an,n−1 ann PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày tháng 12 năm 2016 48 / 54 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ma trận đường chéo Khi phân rã Doolittle cho ta  0  21  L=  32  0  u11 u12  u22 u23  U =  0 u33  0    ,   unn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN       Ngày tháng 12 năm 2016 49 / 54 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ví dụ Ví dụ Xét tốn biên  π  y − y − 2y = cos x, 0