Ánh xạ f được gọi là K−lồi nếu epiKf là tập con lồi của X×Y và được gọi là K−lõm nếu nó là (−K)−lồi.
Mệnh đề 4.23. Ánh xạ f : X →Y là K−lồi khi và chỉ khi
f(λx1+(1−λ)x2) 6K λf(x1)+(1−λ)f(x2),∀x1, x2 ∈X, λ ∈ (0,1). (4.9)
Chứng minh. Giả sử f là K−lồi. Với mọi x1, x2 ∈ X và λ ∈ (0,1) ta có
λ(x1, f(x1)) + (1− λ)(x2, f(x2)) ∈ epiKf. Nói cách khác, f(λx1 + (1−
λ)x2) 6K λf(x1) + (1−λ)f(x2). Ngược lại, giả sử (4.9) thoả mãn. Với mọi (x1, y1), (x2, y2)∈epiKf, λ ∈ (0,1) ta có f(λx1+ (1−λ)x2) 6K λf(x1) + (1 − λ)f(x2) 6K λy1 + (1 − λ)y2. Vì vậy λ(x1, y1) + (1 − λ)(x2, y2) = (λx1+ (1−λ)x2, λy1+ (1−λ)y2)∈ epiKf. Vậy f là K−lồi.
Đặc biệt, mọi ánh xạ tuyến tính từ X vào Y đều K−lồi.
Mệnh đề 4.24. Nếu f : X −→Y là K−lồi thì tập hợp sau lồi trong Y:
G = [
x∈X
³
f(x) +K´.
Chứng minh. Từ định nghĩa của tập G ta thấy: y ∈G khi và chỉ khi tồn tạix ∈X sao cho(x, y)∈ epiKf. Do đó, Glà ảnh qua ánh xạ chiếu tuyến tính lên Y của tập lồi epiKf, nên lồi.
Mệnh đề 4.25. Giả sử f : X −→Y là K−lồi. Lúc đó,
a) Với mọi y ∈ Y tập hợp C(f;y) = {x∈ X | f(x) 6K y} lồi;
b) Với mọi y∗ ∈ K+, hàm g(x) =hf(x), y∗i lồi trên X.
Chứng minh. Vì C(f;y) = {x ∈ X | (x, y) ∈ epiKf} mà epiKf lồi nên dễ dàng chứng minh khẳng định a). Ta còn phải chứng minh b). Với mọi
x, x0 ∈ X và λ ∈ (0,1), ta có f(λx+ (1−λ)x0) 6K λf(x) + (1−λ)f(x0).
Nói cách khác, λf(x) + (1−λ)f(x0)−f(λx+ (1−λ)x0)∈ K. Vì vậy nếu y∗ ∈ K+ thì hλf(x) + (1− λ)f(x0)−f(λx + (1− λ)x0), y∗i ≥ 0, suy ra
Ta nói một hàm vec-tơf : X −→Rm là lồi nếu nó là Rm
+−lồi,lồi chặt
nếu nó là int(Rm)-lồi, lõm (lõm chặt) nếu −f là lồi (lồi chặt).
Hệ quả 4.13. Hàm vec-tơ f là lồi (lõm, lồi chặt, lõm chặt) khi và chỉ khi tất cả các hàm thành phần fi : X →R đều lồi (lõm, lồi chặt, lõm chặt).
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh cho trường hợp lồi. Điều kiện cần là do
fi(x) = hf(x), eii với ei ∈Rm
+ là vec-tơ đơn vị thứ i. Để chứng minh điều
kiện đủ ta giả thiết các hàmfi lồi. Lúc đó, với mọix1, x2 ∈ X vàλ∈ (0,1) ta có fi(λx1 + (1−λ)x2) ≤ λfi(x1) + (1− λ)fi(x2), 1 ≤ i ≤ n, suy ra f(λx1+ (1−λ)x2)≤ λf(x1) + (1−λ)f(x2). Vậy f lồi.
Ta cũng gọif : X −→Rm làhàm affine nếu cácfi đều là hàm affine.
Bài tập
Nếu không nói gì thêm,X được hiểu là không gian lồi địa phương.
4.4. Cho hàm lồi f :X →Rvà hàm lồi không giảmϕ:R→(−∞,+∞]. Chứng minh
ϕ◦f là hàm lồi. Từ đó suy ra các hàmex2
,e|x| là lồi trênR.
4.5. Cho hàm f : [a, b] −→ R lồi. Chứng minh rằng, với mọi x, y ∈ [a, b] sao cho
a+b=x+y, ta có f(x) +f(y)≤f(a) +f(b).
4.6. [Bất đẳng thức Hadamard] Chứng minh rằng nếuf : [a, b]→Rlồi thì:
f ³a+b 2 ´ ≤ 1 b−a Z b a f(x) dx≤ f(a) +f(b) 2 .
4.7. Cho C là một tập con đóng của không gian định chuẩn X. Chứng minh hàm
khoảng cáchdC là lồi khi và chỉ khi C lồi.
4.8. Chứng minh hàm f :X →Rlồi khi và chỉ khif +g tựa lồi, với mọi g∈X#.
4.9. Chứng minh lại Hệ quả 3.9 bằng cách chỉ ra rằng hàmk · k là đóng yếu.
4.10. Tìm một hàmf trên R2 sao cho hàm sau không bằngcof:
114 Bài tập.
4.11. Cho C là tập con khác rỗng củaX. Chứng minh rằng δC =δC; coδC =δcoC; coδC =δcoC.
4.12. Cho H là không gian Hilbert thực, A :H → H là một ánh xạ tuyến tính liên tục, tự liên hợp (nghĩa là hAu, vi = hu, Avi với mọi u, v ∈ H), b ∈ H và c là một số thực. Xét dạng toàn phương:
f(x) := 1
2hx, Axi+hb, xi+c, x∈H.
Chứng minh f lồi khi và chỉ khiA nửa xác định dương (tức là hx, Axi ≥0, ∀x∈H).
4.13. Cho hàm f :X→R. Chứng minh:
a) Nếuf lồi, bị chặn trên bởi một hàm affine thìf là hàm affine.
b) Nếuf lõm và cof chính thường thìf cũng là hàm affine.
4.14. Chứng minh A(f) =A(cof),L(f) =L(cof).
4.15. Chứng minh đẳng thức (4.3).
4.16. Chứng minh rằng một hàm lồibị chặn trên trên một tậpx0+V, vớiV cân đối, thì cũng bị chặn dưới trên tập đó.
4.17. Cho V là lân cận gốc lồi trong X. Chứng minhpV =σV◦.
4.18. Cho C là tập lồi khác rỗng trong không gian định chuẩnX. Chứng minh rằng
dC(x) = max
x∗∈B∗{hx, x∗i −σC(x∗)}.
4.19. Tìm hai tập lồiC1,C2 trongR2,C1∩C2 6=∅mà khẳng địnhc)của Mệnh đề 4.17 không đúng.
4.20. Chứng minh f∗= (cof)∗ = (cof)∗ =f∗∗∗.
4.21. Hãy xác định các hàm cof,f∗ vàf∗∗ vớif cho bởi
a) f(x) =e−x2,x∈R;
b) f(x) = arctan(x),x∈R.
4.22. Chứng minh các phép toán đơn giản sau:
a) (λf)∗(x∗) =λf∗¡x∗ λ ¢ vớiλ >0; b) (f+α)∗(x∗) =f∗(x∗)−α với α∈R; c) f∗ a(x∗) =f∗(x∗) +ha, x∗i,trong đó fa(x) =f(x−a) vớiacố định.
Dưới vi phân