3.4 Tôpô yếu* trên X∗
Như đã nhận xét trong Mục 3.1, X∗ là một không gian vec-tơ con của X#. Khác với trường hợp không gian định chuẩn mà ở đó X∗ cũng là không gian định chuẩn, khi X là không gian lồi địa phương thì thoạt tiên ta chỉ nhận được X∗ là một không gian vec-tơ. Sau đây chúng ta sẽ tìm cách xây dựng một tôpô lồi địa phương trên X∗.
Tương ứng với mỗi x ∈ X, ta thiết lập một phiếm hàm φx trên X∗
được xác định bởi
φx(f) := f(x), ∀f ∈ X∗.
Dễ kiểm chứng được rằng đây là một phiếm hàm tuyến tính trên X∗. Hơn nữa, ánh xạ Φ : X → (X∗)# xác định bởi Φ(x) = φx là đơn ánh tuyến tính. Như vậy, nếu đồng nhất mỗi x ∈ X với φx ta có thể xem X như một họ các phiếm hàm tuyến tính trên X∗ (tức là một không gian con của (X∗)#) và Φ gọi là ánh xạ nhúng từ X vào (X∗)#. Tôpô tuyến tính yếu nhất τw∗ trên X∗ bảo đảm sự liên tục của mọi x∈ X được gọi là tôpô yếu* trên X∗. Chú ý rằng đây là tôpô duy nhất cho đến nay trên X∗ cho nên từ yếu ở đây không có ý nghĩa lắm. Nó chỉ thực sự có ý nghĩa khi X
là không gian định chuẩn. Tương tự tôpô yếu, ta có thể thấy τw∗ là tôpô lồi địa phương, có cơ sở lân cận gốc gồm các tập có dạng
B∗ = n m \ i=1 V∗(xi;ε)| m∈ N; ε >0; xi ∈X, 1≤ i≤ mo, trong đó, V∗(x;ε) := {f ∈ X∗ | |f(x)| < ε}. Một điều thú vị là, bất luận tôpô trên X như thế nào, tôpô yếu∗ luôn là Hausdorff (Bài tập 3.2). Tương tự sự hội tụ trong tôpô yếu, ta kí hiệu fλ →w∗ f để chỉ rằng dãy suy rộng (fλ) hội tụ theo tôpô yếu* về phiếm hàmf trong X∗. Hoàn toàn tương tự Mệnh đề 3.10 ta có kết quả sau:
Mệnh đề 3.13. Cho dãy suy rộng (fλ) trong X∗. Lúc đó,
ChoV ⊆ X là một tập khác rỗng, ta gọi đối cực củaV là tập hợp sau
V◦ := {f ∈ X∗ | f(x)≤1, ∀x ∈V}. (3.1) Nếu W ⊆ X∗ thì W◦ = {x ∈ X | f(x) ≤ 1, ∀f ∈ W} là tập đối cực của
W. Với V ⊆ X, tập V◦◦ = (V◦)◦ được gọi là song đối cực của V. Bổ đề dưới đây mô tả một vài tính chất cơ bản của tập đối cực:
Bổ đề 3.1.
a) V◦ là tập lồi, đóng yếu*, chứa gốc trong X∗;
b) Nếu V cân đối thì V◦ cũng vậy;
c) Nếu V ⊇ U 6= ∅ thì V◦ ⊆ U◦.
Chứng minh. Trước tiên chú ý rằng V◦ = \
x∈V
{f ∈ X∗ | f(x) ≤ 1}. Từ đó ta có ngay a) và c). Do V◦ lồi, chứa gốc nên để chứng minh b) chỉ cần chứng minh−V◦ = V◦. Nhưng điều này là hiển nhiên nếu V cân đối.
Cũng cần lưu ý rằng, khi V cân đối ta có
V◦ = {f ∈ X∗ | |f(x)| ≤ 1; ∀x∈ V}.
Định lí 3.14 (Alaoglu). Nếu V là một lân cận gốc trong X thì V◦ là tập compact yếu*.
Chứng minh. Có thể giả thiết V cân đối. Vì luôn tồn tại lân cận gốc cân đối U ⊆ V và, do Bổ đề 3.1, nếu U◦ compact yếu∗ thì V◦ cũng vậy.
Với mỗi x ∈ V, ta cho tương ứng khoảng đóng Ix = [−1,1], với tôpô thông thường. Lúc đó, không gian sau với tôpô tích, là compact:
Y = Y
x∈V Ix.
Ta định nghĩa ánh xạ Φ : V◦ → Y, xác định bởi: Φ(f) = (f(x))x∈V. Rõ ràng, Φ là một đơn ánh nên sẽ là song ánh từ V◦ lên Z = Φ(V◦) ⊆ Y.
72 3.4. Tôpô yếu* trên X∗
Mặt khác, dễ thấy (fλ) là hội tụ trong V◦ đến f0 khi và chỉ khi Φ(fλ) hội tụ trong Y đến Φ(f0), nên V◦ là đồng phôi với Z. Cuối cùng, ta sẽ chứng minh Z là tập đóng trong Y, từ đó kết thúc chứng minh. Lấy dãy (Φ(fλ)) ⊆ Z sao cho Φ(fλ) → y = (yx)x∈V ∈ Y. Tức là, fλ(x) → yx với mọi x ∈ V. Vì V là lân cận gốc và fλ là các phiếm hàm tuyến tính, dễ kiểm chứng được rằng tồn tạif(x) = limfλ(x)với mọi x ∈X và f ∈ X#. Để ý rằng f(x) =yx ∈ [−1,1] với mọi x ∈ V, nên f ∈ X∗. Hơn thế nữa,
f ∈ V◦ và y = Φ(f)∈ Z. Định lí được chứng minh hoàn toàn.
Hệ quả 3.10. Cho V là một lân cận gốc trong X và ϕ : V → R là một phiếm hàm liên tục trên V. Lúc đó, tập hợp dưới đây là compact yếu*:
K ={f ∈ X∗ | f(v)≤ ϕ(v), ∀v ∈ V}.
Chứng minh. Có thể kiểm tra trực tiếp tính đóng yếu* của K. Mặt khác, do ϕ liên tục, tồn tại lân cận gốc U ⊆ V và α > 0 sao cho ϕ(u)≤ α với mọi u∈ U. Rõ ràng K ⊆ αU◦, nên K compact yếu*.
Mệnh đề 3.15. Với mọi hệ hữu hạn f1, f2, . . . , fm ∈ X∗, tập hợp
H := n m X i=1 λifi ¯ ¯ ¯λi ≥ 0o
là một nón lồi đóng yếu∗ trong X∗.
Nhận xét 3.1. Đây là một kết quả tương tự với Mệnh đề 2.31 cho không gian X∗ và với tôpô yếu∗. Cần chú ý rằng nếuX là không gian định chuẩn thì áp dụng Mệnh đề 2.31 ta sẽ nhận được H là nón lồi, đóng theo tôpô chuẩn. Tuy nhiên điều đó cũng không suy raH là đóng yếu∗ như chúng ta sẽ thấy trong Nhận xét 3.2. Vậy ngay cả khi X là không gian định chuẩn thì đây không phải là một hệ quả của Mệnh đề 2.31.
Bổ đề 3.2. Nếu f1, f2, . . . , fm và g là các phiếm hàm tuyến tính trên không gian vec-tơ X sao cho
m
\
i=1
Kerfi ⊆ Kerg,
thì g là một tổ hợp tuyến tính của hệ {f1, f2, . . . , fm}.
Chứng minh. Hiển nhiên có thể giả thiết g 6= 0. Nếu m = 1 thì do Kerg
có đối chiều bằng 1 nên f1 6= 0 và Kerf1 = Kerg. Lúc đó, nếu x0 ∈ X
sao cho f1(x0) = 1 thì bằng cách đặt λ1 = g(x0) ta có g = λ1f1. Giả sử bổ đề đúng với m = k ta chứng minh cho trường hợp m = k + 1. Đặt
M = Kerfk+1, fei = fi|M và ge=g|M. Lúc đó,
k
\
i=1
Kerfei ⊆ Kerg. Theo giảe thiết quy nạp, eg = k X i=1 λifei, hay h:= g− k X i=1 λifi là phiếm hàm đồng nhất không trênM. Nói cách khác, Kerfk+1 ⊆ Kerh, suy ra h =λk+1fk+1. Bổ đề đã được chứng minh.
Chứng minh Mệnh đề 3.15. Dễ thấyH là nón lồi. Tương tự Mệnh đề 2.31 chúng ta chỉ cần chứng minh rằng, với mỗi tập con độc lập tuyến tính
N ={fi1, fi2, . . . , fip} ⊆ M := {f1, f2, . . . , fm}, nón KN := n p X j=1 µijfij ¯ ¯ ¯ µij ≥0o
là đóng yếu∗. Giả sử (fλ) là một dãy trong KN hội tụ yếu∗ về f, ta chứng minh f ∈ KN. Vì fλ ∈ KN nên có dạng
fλ =µλi1fi1 +µλi2fi2 +· · ·+µλipfip.
Do N độc lập tuyến tính nên, theo Bổ đề 3.2, với mỗi 1≤ s ≤ p ta có \
j6=s