Cho không gian vec-tơ thực X. Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X nếu các ánh xạ + và · liên tục, với tôpô
τ trên X, tôpô thông thường trên R còn X ×X và R×X được trang bị bởi tôpô tích. Tức là:
+ Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x+y, tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U +V ⊆ W.
+ Với mọi λ ∈ R, x∈ X và mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0 và lân cận V của x sao cho µV ⊆ W với mọi µ∈(λ−ε, λ+ε).
38 2.2. Không gian vec-tơ tôpô
Lúc đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một
không gian vec-tơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính. Bổ đề 2.1. Trong không gian vec-tơ tôpô X,
phép tịnh tiến: Ta(x) := a+x, phép vị tự: ϕα(x) := αx,
với a∈ X, α ∈ R\ {0}, là các phép đồng phôi từ X lên X.
Chứng minh. Vì đó là các song ánh liên tục vàT−1
a = T−a,ϕ−1
α = ϕα−1.
Hệ quả 2.4. Cho a∈ X, α ∈ R\ {0}. Ta có
a) V là lân cận gốc ⇐⇒ V +a là lân cận của a,
b) V là lân cận của a ⇐⇒ αV là lân cận của αa.
Từ hệ quả này ta thấy, cấu trúc tôpô của không gian hoàn toàn được xác định bởi họ các lân cận gốc. Vì họ lân cận của một điểm bất kì nhận được từ họ này qua một phép tịnh tiến.
Hệ quả 2.5. Cho xλ →X x¯, yλ →X y¯, tλ →R t¯, x0 ∈ X, t0 ∈ R. Lúc đó:
a) x0+xλ →x0+ ¯x, xλ +yλ →x¯+ ¯y,
b) t0xλ →t0x¯, tλxλ →¯tx¯.
Mệnh đề 2.12. Nếu V là lân cận gốc trong không gian vec-tơ tôpô thì
a) V là tập hấp thụ,
b) Tồn tại lân cận gốc cân đối U sao cho U +U ⊆ V.
Chứng minh. Để khỏi nhầm lẫn, trong chứng minh này, ta kí hiệu θ là vec-tơ gốc trong X.
a) Với mỗi x ∈X, vì 0.x = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại ε > 0 và lân cận U của x sao cho λU ⊆ V với mọi λ ∈ (−ε, ε). Suy ra λx ∈ V
b) Vì θ +θ = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại các lân cận gốc U1,
U2 sao cho U1+U2 ⊆ V. Vì 0.θ = θ nên với lân cận gốc U0 := U1∩U2 tồn tạiε >0 và lân cận gốc W sao cho λW ⊆U0 với mọi λ ∈ (−ε, ε). Đặt
U := [
|λ|<ε λW
ta có U là lân cận cân đối của gốc và U +U ⊆ V. Định lí 2.13. Cho X là một không gian vec-tơ.
a) Nếu τ là tôpô tuyến tính thì tồn tại cơ sở lân cận gốc V thoả mãn
i) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ V,
ii) αV ∈ V với mọi α 6= 0 và V ∈ V,
iii) Với mọi V ∈ V tồn tại U ∈ V sao cho U +U ⊆ V,
iv) Với mọi V1, V2 ∈ V, tồn tại V ∈ V sao cho V ⊆ V1∩V2.
b) Ngược lại, nếu V ⊆ P(X)là họ thoả mãn các điều kiện (i−iv), thì tồn tại tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc. Cụ thể,
τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ V, x+V ⊆ U}.
Chứng minh. Để chứng minh a) ta chọn V là tập tất cả các lân cận gốc cân đối, từ đó sử dụng Mệnh đề 2.12 ta suy ra các điều kiện(i−iv) thoả mãn. Để chứng minh b) ta chỉ ra rằng τ đã cho là một tôpô tuyến tính nhận V làm cơ sở lân cận gốc. Việc kiểm tra τ là một tôpô không có gì khó khăn. Tiếp theo ta sẽ chứng minh các tậpW ∈ V đều là lân cận gốc. Thật vậy,
0∈U := [ 0≤λ<1
λW ⊆ W.
Ngoài ra, với mọix∈ U ta có x∈ λW, vớiλ ∈[0,1), do đó x+V ⊆ U với
V = (1−λ)W ∈ V. Vậy U ∈ τ và W là lân cận gốc. Cuối cùng, với mọi tập mở U 3 0 theo định nghĩa tồn tạiV ∈ V sao cho V = 0 +V ⊆ U, nên
40 2.2. Không gian vec-tơ tôpô
V là cơ sở lân cận gốc. Ta còn chứng minh τ là một tôpô tuyến tính. Với mọi a, b ∈X và tập mở W 3 a+b. Tồn tại V ∈ V sao cho a+b+V ⊆W. Gọi U ∈ V là tập sao cho U +U ⊆ V ta có (a+U) + (b+U) ⊆ W. Vậy + là ánh xạ liên tục. Với mọi λ ∈R, x ∈X và lân cận W của λx, tồn tại U ∈ V sao cho λx+U ⊆ W. Gọi V1 ∈ V là tập thoả mãn V1 +V1 ⊆ U. Do V1 hấp thụ tồn tại ε >0 sao cho tx ∈ V1 với mọi t∈ (−ε, ε). Đặt
V = 1
|λ|+εV1 ∈ V.
Với mọi µ∈ (λ−ε, λ+ε) ta có
µ(x+V) =λx+ (µ−λ)x+µV ⊆ λx+V1+V1 ⊆ W.
Vậy · là ánh xạ liên tục và τ là tôpô tuyến tính trên X.
Mệnh đề 2.14. Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc, thì τ là tách được khi và chỉ khi
\
V∈V
V ={0}. (2.2)
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Để chứng minh điều kiện đủ ta lấy a, b ∈ X với a 6= b. Do (2.2) tồn tại lân cận gốc V 63 b−a. Gọi U là lân cận gốc cân đối sao cho U +U ⊆ V, ta sẽ có U +U 63 b−a. Suy ra
(a+U)∩(b+U) =∅.
Một tập con A của X được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận gốc V, tồn tại số dương α sao cho
A ⊆ αV.
Tập A được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi lân cận gốc U tồn tại tập hữu hạn B ={b1, b2, . . . , bk} ⊆ X sao cho
A ⊆ B+U =
k
[
i=1
Bài tập 2.2. Cho không gian vec-tơ tôpôX,V là cơ sở lân cận gốc, Avà
B là hai tập con của X. Chứng minh các khẳng định sau: a) x+A=x+A với mọix∈X; b) A= \ U∈V (A+U); c) NếuA≤X thì A≤X; d) NếuB mở thì A+B cũng mở;
e)NếuAcompact,B mở vàA⊆B thì tồn tạiU ∈ V sao choA+U ⊆B;
f)NếuA compact và B đóng thìA+B đóng;
g) NếuA vàB compact thì A+B compact.
Bài tập 2.3. Chứng minh mọi tập compact trong không gian vec-tơ tôpô đều hoàn toàn bị chặn, mọi tập hoàn toàn bị chặn đều bị chặn. Từ đó suy ra mọi tập hữu hạn đều hoàn toàn bị chặn và bị chặn.
Bài tập 2.4. Chứng minh bao đóng của một tập bị chặn (hoàn toàn bi chặn) là bị chặn (hoàn toàn bị chặn), hợp hữu hạn hoặc tổng hữu hạn các tập bị chặn (hoàn toàn bị chặn) là bị chặn (hoàn toàn bị chặn).
Cho F là một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vec-tơ tôpô X
và Y. Theo định nghĩa của ánh xạ liên tục trong Mục 2.1, F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận V của F(x) tồn tại lân cận U
của x sao cho F(U)⊆ V hay, theo Định lí 2.6, với mọi dãy xλ → x ta có
F(xλ) → F(x). Ánh xạ F được gọi là liên tục (trên X) nếu nó liên tục tại mọi điểm. Thực ra, cũng như trong không gian định chuẩn, muốn cho ánh xạ tuyến tính F liên tục chỉ cần nó liên tục tại một điểm x0 nào đó. Quả vậy, nếu F liên tục tại x0 thì với mọi dãy (xλ) hội tụ đến x ∈ X ta có xλ−x+x0 →x0 nên
F(xλ)−F(x) +F(x0) = F(xλ−x+x0)→F(x0).
Suy ra F(xλ)→F(x). Vậy F liên tục trên X.
Một ánh xạ F ∈L(X, Y)được gọi là bị chặn nếu nó biến mọi tập bị chặn trong X thành tập bị chặn trong Y. Mối liên hệ giữa tính liên tục và tính bị chặn của ánh xạ tuyến tính được thể hiện qua định lí sau: