Chứng minh. Giả sử N là phần bù đại số của M. Lúc đó dimN < ∞
nên tôpô cảm sinh trên N là tôpô Euclide. Ta chỉ cần chứng minh ánh xạ chiếu pN : X → N xác định bởi pN(m +n) = n, với mọi m ∈ M, n ∈ N, là liên tục. Đặt C = SN(0; 1) là mặt cầu đơn vị trong N. Ta có
C + M là tập đóng (xem Bài tập 2.2). Mặt khác, 0 6∈ C + M, vì vậy
tồn tại lân cận gốc lồi V trong X sao cho V ∩ (C + M) = ∅. Lúc đó
pN(V)∩C = ∅ nên pN(V) ⊆ BN(0; 1) (xem Bài tập 1.6). Do pN tuyến tính nên pN(εV) ⊆ BN(0;ε) với mọi ε > 0. Vậy pN liên tục tại gốc nên liên tục.
N
C V M
Hình 2.1. Minh hoạ chứng minh Mệnh đề 2.22
2.6 Sự liên tục của hàm cỡ - Nửa chuẩn
Trong phần còn lại của chương, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết X là một không gian lồi địa phương.
Bổ đề 2.3. Một phiếm hàm dưới tuyến tính p trên X là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại gốc.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Giả sử p liên tục tại gốc và cho dãy bất kỳ (xλ) hội tụ về x. Lúc đó xλ−x →0. Mặt khác,
−p(x−xλ)≤ p(xλ)−p(x)≤ p(xλ −x).
Suy ra p(xλ)→p(x). Vậy p liên tục trên X.
Mệnh đề 2.23. Cho C là tập lồi, hấp thụ trong X. Lúc đó pC là phiếm hàm liên tục khi và chỉ khi C là một lân cận gốc. Hơn nữa,
intC = {x∈ X | pC(x)<1}; C ={x ∈X | pC(x)≤ 1}. (2.4)
Chứng minh. Từ Định lí 1.15 ta có
0∈ p−C1(−∞,1) ⊆ C; (2.5) 0∈ εC ⊆ p−C1[0, ε]. (2.6) Nếu pC liên tục thì, do (2.5), C là lân cận gốc. Ngược lại, nếu C là lân cận gốc thì, do (2.6), pC liên tục tại gốc nên liên tục trên X. Vậy pC liên tục khi và chỉ khi C là lân cận gốc. Lúc đó,
p−C1(−∞,1) ⊆ intC; C ⊆ p−C1(−∞,1]. (2.7) Mặt khác, nếu pC(x) = 1, thì n n+ 1x∈ intC, n+ 1 n x6∈ C; ∀n∈ N ∗ và lim n→∞ n n+ 1x= limn→∞ n+ 1 n x =x,
nên x∈ ∂C. Điều này cùng với (2.7) suy ra (2.4).
Phiếm hàm p trên X được gọi là một nửa chuẩn nếu
a) p(x+y)≤ p(x) +p(y), với mọi x, y ∈ X; b) p(λx) =|λ|p(x), với mọi λ ∈ R và x∈ X.
Vậy, p là một chuẩn nếu p là nửa chuẩn và p(x) = 0 ⇐⇒ x = 0. Ta dễ dàng kiểm chứng được mệnh đề sau