Chú ý: co ¯f không nhất thiết là hàm đóng và do đó nói chung co ¯f 6= cof.
Mệnh đề 4.11. Một hàm lồi, đóng, không chính thường thì không nhận giá trị hữu hạn nào.
Chứng minh. Vì f không chính thường nên hoặc f ≡ +∞, hoặc tồn tại
x0 để f(x0) = −∞. Ta chỉ xét trường hợp sau. Lúc đó, với mọi x ∈ X
mà f(x) < +∞ ta chứng minh f(x) = −∞. Vì f(x) < +∞ nên tồn tại điểm (x, γ) ∈ epif. Với mỗi n ∈ N∗ ta có (x0,−n2) ∈ epif, mà epif lồi nên (1 nx0+ (1− 1 n)x,−n2 n + (1− 1 n)γ)∈epif, tức là f(1 nx0+ (1− 1 n)x)≤ −n+ (1− 1
n)γ. Cho n → ∞ với chú ý rằng f nửa liên tục dưới ta nhận được f(x) =−∞.
Mệnh đề 4.12.
a) f đóng khi và chỉ khi f = ¯f;
b) Nếu f lồi thì f¯lồi và do đó cof = ¯f;
c) Nếu f1, f2 đóng thì f1+f2 đóng;
d) Cận trên của một họ hàm đóng (lồi đóng) là đóng (lồi đóng).
Chứng minh.
a) f đóng ⇐⇒epif đóng ⇐⇒epif = epif = epi ¯f ⇐⇒ f = ¯f. b)f lồi =⇒epif lồi =⇒epi ¯f = epif lồi =⇒f¯lồi =⇒cof = ¯f. Cuối cùng, khẳng định c)được suy ra từ định nghĩa hàm đóng còn d) nhận được từ đẳng thức (4.3).
4.4 Hàm lồi liên tục
Một hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận gốc lồi, cân đối V = Vx0 và hằng số K = Kx0 > 0 sao cho
f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập mở U ⊆ X nếu nó Lipschitz địa phương tại mọi điểm thuộc U. Chú ý rằng khi X là không gian định chuẩn ta nhận được định nghĩa hàm Lipschitz thông thường bằng cách chọn Vx0 là hình cầu đơn vị.
Định lí 4.13. Cho f lồi chính thường, các phát biểu sau là tương đương.
a) f liên tục tại một điểm x¯ ∈X;
b) f bị chặn trên trong một tập lồi mở khác rỗng nào đó;
c) int(epif)6=∅;
d) int(domf)6= ∅ và f Lipschitz địa phương trên int(domf);
e) int(domf)6=∅ và f liên tục tại mọi điểm thuộc int(domf).
Chứng minh.
(a ⇒b) Nếu f liên tục tại x¯ thì f sẽ bị chặn trên bởi f(¯x) + 1 trong một lân cận lồi mở U của x.¯
(b ⇔ c) Nếu f bị chặn trên bởi γ trong một tập lồi mở U, thì U ×
(γ,+∞)⊆epif. Vì vậy int(epif)=6 ∅. Ngược lại, nếu (x0, γ)∈int(epif) thì tồn tại tập lồi mởU 3x0 và số ε >0sao choU×(γ−ε, γ+ε)⊆ epif, suy ra f bị chặn trên bởi γ trên U.
(d ⇒e) và (e ⇒a) là hiển nhiên.
(b ⇒ d) Giả sử f bị chặn trên bởi γ trong một tập lồi mở U. Lấy
u∈ U, tồn tại lân cận gốc lồi, cân đối W sao cho u+ 2W ⊆U.
Với mỗix0 ∈ int(domf)tồn tạiε >0đểx1 := x0+ε(x0−u)∈domf. Lúc đó, vớiλ = ε/(1 +ε), x0 = (1−λ)x1+λu nên với mọix ∈x0+ 2λW
ta cóf(x)≤ γ0 := (1−λ)f(x1) +λγ. Nghĩa là f bị chặn trên bởi γ0 trên
x0 + 2V với V =λW.
Lấy tùy ýx, x0 ∈x0+V. NếupV(x−x0)>0thì đặt x00 := x+ x−x0 pV(x−x0)
100 4.4. Hàm lồi liên tục x = pV(x−x0) 1+pV(x−x0)x00+ 1 1+pV(x−x0)x0, nên f(x)≤ pV(x−x0) 1+pV(x−x0)γ0+ 1 1+pV(x−x0)f(x0), suy ra f(x)−f(x0)≤ pV(x−x 0) 1 +pV(x−x0)(γ0−f(x 0)) ≤ pV(x−x0)(γ0−f(x0)). (4.4) Chú ý rằng, nếux0 ∈ x0+V thìz := 2x0−x0cũng thuộcx0+V vàx0 = x02+z. Áp dụng tính lồi của f ta có f(x0) ≥ 2f(x0)− f(z) ≥ 2f(x0)−γ0, nên
γ0−f(x0)≤2(γ0−f(x0). Điều này cùng với (4.4) suy ra
f(x)−f(x0)≤ 2(γ0−f(x0)pV(x−x0).
Lại do V cân đối nên từ đây ta cũng có
|f(x)−f(x0)| ≤KpV(x−x0) với K = 2(γ0−f(x0).
Nếu pV(x − x0) = 0 thì, với mọi n ∈ N∗, n(x − x0) ∈ V nên xn =
x + n(x − x0) ∈ x + V ⊆ x0 + 2V và f(x) ≤ 1
1+nf(xn) + n
1+nf(x0) ≤
1
1+nγ0 + n
1+nf(x0). Cho n → +∞ ta nhận được f(x) ≤ f(x0). Tương tự,
f(x0)≤ f(x), suy ra f(x0) = f(x).
Tóm lại, trong mọi trường hợp ta luôn luôn có |f(x) − f(x0)| ≤
KpV(x − x0) với mọi x, x0 ∈ x0 + V, nên f Lipschitz địa phương tại
x0. Vì x0 được chọn tùy ý trong int(domf) nên f Lipschitz địa phương trên int(domf).
Hệ quả 4.6. Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn thì f liên tục trong tôpô tương đối của aff(domf) tại mọi điểm x ∈ri(domf).
Chứng minh. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết 0 ∈ domf. Lúc
đó, Y := aff(domf) là một không gian con của Rn. Nếu cần ta xét thu hẹp trên không gian con Y, nên có thể giả thiết Y = Rn. Lúc đó tồn tại
x0 ∈ int(domf) và với ε >0 đủ bé H := {x0±εei | 1≤ i ≤ n} ⊆ domf
({e1, e2, . . . , en} là cơ sở của Rn). Vì f lồi nên f bị chặn trên bởi M := max{f(x)| x ∈H} trên coH, là một lân cận của x0. Vậy f liên tục trên int(domf).
Hệ quả 4.7. Mọi hàm lồi f : Rn −→ R đều Lipschitz địa phương.
4.5 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affineNhắc lại rằng, một hàm affine trên X là hàm có dạng