Trên không gian vec-tơ X có thể có nhiều tôpô lồi địa phương khác nhau. Ta gọitôpô lồi địa phương mạnh nhất trên X là tôpôτ0 sinh bởi họ
V0 gồm tất cả các tập lồi, cân đối, hấp thụ trong X. Sở dĩ có tên gọi như vậy vì với mọi tôpô lồi địa phương τ trên X, ta có τ ⊆ τ0.
Định lí 2.17. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất τ0 trên X là Hausdorff. Trong tôpô ấy ta có
a) Mọi tập lồi, hấp thụ đều là lân cận gốc;
b) Nếu C là tập con lồi của X, thì coreC = intC;
c)Cho Y là một không gian lồi địa phương. Lúc đó, mọi ánh xạ tuyến tính từ X vào Y đều liên tục.
Chứng minh.
a) Vì mọi tập lồi, hấp thụ đều chứa một tập V ∈ V0.
b)Nếu x0 ∈coreC thìC−x0 hấp thụ và lồi, nên cũng là lân cận gốc, do đó x0 ∈ intC.
c)Vì ảnh ngược của một tập lồi, hấp thụ qua ánh xạ tuyến tính cũng là một tập lồi, hấp thụ.
Định lí 2.18. Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì trong X chỉ có một tôpô lồi địa phương Hausdorff duy nhất. Đó chính là tôpô Euclide thông thường.
Chứng minh. Giả sử dimX = n và {e1, . . . , en} là một cơ sở trực chuẩn, theo tôpô Euclide, của X. Kí hiệu τE là tôpô Euclide và τ là một tôpô lồi địa phương Hausdorff nào đó trên X. Với mỗi τ−lân cận lồi của gốc V, tồn tại ε >0 sao cho {±εei | 1≤ i≤ n} ⊆V. Do V lồi nên
V ⊇ co{±εe1,±εe2, . . . ,±εen} ⊇ ε
46 2.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất
với B(0; 1) là τE−hình cầu đơn vị. Vậy τ ⊆ τE. Từ đó suy ra toán tử đồng nhất I : (X, τE) → (X, τ) là song ánh liên tục và τE−mặt cầu đơn vị S(0; 1), với tư cách là ảnh liên tục của một tập compact, là tập
τ−compact. Vì τ Hausdorff nên S(0; 1) là τ−đóng. Mặt khác 06∈S(0; 1), nên tồn tại τ−lân cận gốc lồi U sao cho U ∩S(0; 1) = ∅. Dễ chứng minh được rằng U ⊆B(0; 1) (xem Bài tập 1.6). Vậy τ = τE.
Từ định lí trên ta thấy tôpô Euclide cũng là tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên không gian hữu hạn chiều. Khẳng định sau là hiển nhiên Hệ quả 2.6. Trong Rn với tôpô Euclide ta có
a) Nếu C ⊆ Rn là tập lồi thì intC = coreC;
b) Mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn vào một không gian lồi địa phương đều liên tục.
Hệ quả 2.7. Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian lồi địa phương Hausdorff đều đóng.
Chứng minh. Cho (X, τ) là không gian lồi địa phương Hausdorff và M
là không gian con hữu hạn chiều của X. Giả sử (xλ)λ∈I là dãy trong
M, hội tụ về x ∈ X. Ta sẽ chứng minh x ∈ M, từ đó suy ra M đóng. Giả sử ngược lại, x 6∈ M. Lúc đó N = M + span{x} 6= M. Theo Định
lí 2.18, tôpô cảm sinh củaτ lênN là tôpô Euclide, và không mất tính tổng quát có thể giả thiết N có cơ sở trực chuẩn {e1, e2, . . . , en, en+1}, trong đó
{e1, e2, . . . , en} ⊆M và x = n+1 X i=1 tiei, với tn+1 6= 0. Do xλ ∈M nên kxλ−xk2 =kxλ− n X i=1 tieik2+t2 n+1 ≥ t2 n+1 >0, ∀λ.
Mâu thuẫn với giả thiết xλ →x. Vậy x∈ M.
Sử dụng kết quả trên ta đưa ra được định lí sau, mô tả một đặc trưng nữa của không gian hữu hạn chiều:
Định lí 2.19. Một không gian lồi địa phương Hausdorff X là hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu trong X tồn tại một lân cận gốc hoàn toàn bị chặn.
Bổ đề 2.2. Cho A là tập bị chặn và V là một không gian con đóng của
X. Nếu A ⊆ V +λA với |λ| < 1 thì A ⊆V.
Chứng minh. Ta có A ⊆ V +λA⊆ V +λV +λ2A =V +λ2A. Tương tự, A ⊆ V +λnA, với mọi n∈ N. Vì A bị chặn nên với U là lân cận gốc tồn tạin đủ lớn để λnA ⊆U. Do đó
A ⊆ V +U, với mọi lân cận gốc U.
Suy ra (xem Bài tập 2.2) A ⊆ V =V.
Chứng minh Định lí 2.19. Rõ ràng, ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Giả sử U là lân cận gốc hoàn toàn bị chặn trong X. Lúc đó, tồn tại tập hữu hạn B ={b1, b2, . . . , bm} ⊆X sao cho
U ⊆ B+ 1 2U. Đặt V = span(B) ta có U ⊆ V + 1
2U. Vì V đóng nên U ⊆ V. Suy ra
X =V, là không gian hữu hạn chiều.