Cho A và B là hai tập con của X. Một phiếm hàm tuyến tính khác
không f được gọi là tách A và B nếu
f(a)≤ f(b) (hoặc f(a)≥f(b)), ∀a ∈A, b ∈ B.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tồn tại một số α ∈ R sao cho
f(a)≤ α ≤ f(b), ∀a ∈A, b ∈ B.
Lúc đó, ta cũng nói siêu phẳng H(f;α) :=f−1(α) = {x∈ X | f(x) = α}
tách A và B. Trường hợp B là tập một điểm: B = {x0}, ta nói đơn giản siêu phẳng H(f;α)tách A và x0. Nói chung, siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất.
H(f;α)
Hình 1.10. Siêu phẳng tách hai tập hợp
Có một cách diễn đạt khác: Ta nói siêu phẳngH(f;α) để tập A ⊆X
về một phía nếu A là tập con của một trong hai nửa không gian sau:
H+(f;α) := {x∈ X | f(x)≥ α}; H−(f;α) := {x∈ X | f(x)≤ α}.
Như vậy, siêu phẳngH(f;α)tách hai tập A vàB khi và chỉ khi nó để hai tập này về hai phía khác nhau. Tức làA ⊆ H−(f;α) và B ⊆ H+(f;α).
Chú ý rằng nếu f(a) = f(b) = α với mọi a ∈ A và b ∈ B thì, theo định nghĩa,H(f;α)cũng được gọi là tách A vàB. Ta sẽ nói H(f;α)tách
26 1.8. Định lí tách trong không gian vec-tơ
thực sự A và B nếu điều đó không xảy ra, tức là A vàB không cùng nằm trên một siêu phẳng, hay ta có đồng thời hai bất đẳng thức:
sup{f(a), a ∈A} ≤inf{f(b), b ∈ B}; inf{f(a), a ∈ A}< sup{f(b), b ∈B}
(hoặc ngược lại). Để thấy rõ hơn điều này chúng ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.1. Trong R2 cho các điểm O(0; 0), M(1; 1), N(2; 2), P(3; 3),
Q(4; 4) và gọi A, B, C lần lượt là các đoạn thẳng ON, MP, P Q. Lúc đó
siêu phẳng x−y = 0 (ở đây f(x, y) =x−y và α = 0) tách A và B, đồng
thời tách A và C. Rõ ràng các phép tách này là không thực sự. Ta có thể tách thực sự A và C chẳng hạn bởi phiếm hàm g(x, y) =x+y. Tuy nhiên có thể thấy rằng không tồn tại một siêu phẳng tách thực sự A và B.
Bổ đề 1.3. Giả sử siêu phẳng H(f;α) để tập hợp A về một phía. Khi đó
H(f;α)∩coreA =∅.
Chứng minh. Vìf 6= 0nên tồn tại x0sao chof(x0) = 1. Giả sử chẳng hạn
A ⊆ H−(f;α). Nếua∈ coreAthì tồn tại ε >0sao choa+εx0 ∈A, từ đó
suy ra f(a) +ε =f(a+εx0)≤ α. Do đó f(a)< α nên a 6∈H(f;α). Nhận xét 1.1. Từ mệnh đề này ta thấy một phiếm hàm khác không thì không thể nhận giá trị hằng trên một tập đặc. Từ đó suy ra nếu một siêu phẳng tách hai tập mà một trong chúng là đặc thì phép tách là thực sự. Định lí 1.17. Cho C là một tập lồi và x0 ∈ X \C. Nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn:
a) coreC 6= ∅,
b) X là không gian hữu hạn chiều, thì có một siêu phẳng tách thực sự C và x0.
Chứng minh.
a) Không mất tính tổng quát có thể giả thiết 0∈ coreC. Đặt M := span{x0} và g : M → R xác định bởi g(λx0) := λ với mọi λ ∈ R. Lúc đó g ∈ M#, hơn nữa, do pC(x0) ≥ 1 nên g(m) ≤ pC(m) với mọi m ∈ M. Áp dụng Định lí Hahn-Banach tồn tại f ∈ X# sao cho f|M = g và
f(x)≤pC(x)với mọi x ∈X. Rõ ràngf(x0) = 1. Mặt khác, với mọic ∈ C
ta có f(c) ≤ pC(c) ≤ 1 = f(x0). Nên f tách C và x0. Phép tách này là thực sự vì C đặc.
b)Cũng giả thiết 0∈ C. Giả sửdimX = n. Nếu dimC = nthì ta trở về trường hợpa)(Bài tập 1.1). Nếu dimC < nvà x0 6∈ spanC thì tồn tại siêu phẳng chứaC và không chứax0, nên đó chính là siêu phẳng cần tìm. Cuối cùng, nếudimC < nvà x0 ∈ spanC =: Y thì do C là tập đặc trong
Y nên theo a) tồn tại g ∈ Y# tách thực sự C với x0. Mở rộng g ta nhận được phiếm hàm f ∈ X# cũng tách thực sự C và x0.
Định lí 1.18 (Định lí Tách cơ bản). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau. Nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn:
a) coreA∪coreB 6=∅,
b) X là không gian hữu hạn chiều, thì có một siêu phẳng tách thực sự A và B.
Chứng minh. Tập C = A−B lồi và không chứa gốc, ngoài ra nếu a) thoả mãn thì C đặc. Vì vậy áp dụng Định lí 1.17 tồn tại f ∈X# tách thực sự
C và 0. Rõ ràng f cũng tách thực sự A và B.
Định lí 1.19. Giả sử (Ci)1≤i≤m là các tập lồi, có lõi khác rỗng và Cm+1
là tập lồi khác rỗng sao cho
m\+1
i=1
28 1.8. Định lí tách trong không gian vec-tơ
Lúc đó tồn tại các phiếm hàm tuyến tính fi, 1 ≤ i ≤ m+ 1, không đồng thời bằng không, sao cho f1+f2+· · ·+fm+1 = 0 và
f1(x1) +f2(x2) +· · ·+fm+1(xm+1)≤ 0, ∀xi ∈Ci. (1.1)
Chứng minh. Dễ thấy rằng với Y = Xm ta có Y# = (X#)m. Mặt khác, nếu đặt
C =C1×C2× · · · ×Cm; L := {(x, x,· · · , x)∈Y | x ∈Cm+1},
thì C là tập lồi trong Y có lõi khác rỗng, L là tập con lồi của Y và
C∩L= ∅. Theo Định lí 1.18 tồn tại F = (f1, f2, . . . , fm)∈ Y#\ {0} tách
C và L, tức là:
f1(x1) +f2(x2) +· · ·+fm(xm)≤ (f1+f2+· · ·+fm)(xm+1); ∀xi ∈Ci.
Vậy {fi}1≤i≤m+1, vớifm+1 =−(f1+f2+· · ·+fm), là họ hàm phải tìm. Đôi lúc người ta còn sử dụng khái niệm tách chặt. Cụ thể nếu kí hiệu
H0−(f;α) := {x∈ X | f(x)< α}; H0+(f;α) := {x∈ X | f(x)> α},
thì siêu phẳng H(f;α) gọi là tách chặt A và B nếu A ⊆ H0−(f;α) và
B ⊆H0+(f;α) (hoặc ngược lại). Dễ thấy hai tập tách chặt được thì cũng tách thực sự được và rời nhau. Tuy nhiên hai tập tách thực sự được không nhất thiết rời nhau và hai tập lồi, rời nhau có thể không tách chặt được. Nhận xét 1.2. Định lí tách đóng một vai trò đặc biệt trong giải tích lồi, đến nỗi hầu như trong tất cả các kết quả quan trọng và đẹp đẽ nhất của giải tích lồi đều thấy thấp thoáng đằng sau là bóng dáng của định lí này. Và quả thật, ít có một lĩnh vực nào của khoa học nói chung và toán học nói riêng lại phụ thuộc nhiều như vậy vào chỉ một định lí của nó.
Bài tập
1.3. Tìm một tậpA không lồi trongRthoả mãn tính chất:
∀x, y∈A: x+y 2 ∈A. 1.4. Chứng minh linA⊆affA với mọi tập conA củaX.
1.5. Cho A và B là hai tập lồi rời nhau. Chứng minh rằng với mọi x ∈ X ta có co(A∪ {x})∩B =∅ hoặcco(B∪ {x})∩A=∅.
1.6. Chứng minh rằng nếu V là tập lồi trong không gian định chuẩn X thỏa mãn
V∩S(x;r) =∅, thì hoặcV ⊆B(x;r), hoặcV∩B0(x;r) =∅. Trong đó,S(x;r),B(x;r),
B0(x;r) lần lượt là mặt cầu, hình cầu mở, hình cầu đóng tâmx, bán kính r.
1.7. Trong X =C[0,1], không gian vec-tơ các hàm liên tục trên [0,1], ta kí hiệu K
là tập các hàm không âm. Chứng minhK là nón lồi chứa gốc trong X. Hãy xác định
affK,coreK và quan hệ 6K.
1.8. Cho C là tập lồi trong X. Chứng minh:
a) NếuC là tập affine và dimC≥1 thìext(C) =∅;
b) ¯x∈ext(C) nếu và chỉ nếu, với mọi v∈X,x¯±v∈C suy ra v= 0;
c) NếuD⊆C thìext(C)∩coD= ext(C)∩D;
d) NếuC là nón thì 0∈ext(C) khi và chỉ khi C∩(−C) ={0};
e) Nếuf ∈X# vàE={x¯∈C |f(¯x) = min
x∈Cf(x)} 6=∅ thìE làC-cực biên; f) Với mọi tập lồi D⊆C, C\D là tập C-bán cực biên. Đặc biệt, giao của C và một nửa không gian bất kì là tậpC-bán cực biên;
g) Mọi tập con củaext(C)đều làC-cực biên;
h) Mọi tập affine,C-bán cực biên cũng là tậpC-cực biên.
1.9. Cho tập hợp {a1, a2, . . . , am} ⊆Rn, vớim≥n+ 2. Chứng minh rằng tồn tại các sốλi ∈Rkhông đồng thời bằng không sao cho
m X i=1 λiai = 0, m X i=1 λi = 0.
1.10. Giả sử (Ci)1≤i≤m ⊆ Rn (m ≥n+ 1) là họ các tập lồi sao cho giao của mọi họ conn+ 1tập đều khác rỗng. Chứng minh giao của họ khác rỗng (Định lí Helly).
1.11. Chứng minh nếu A lồi thì core(coreA) = coreA, còn với tập hợp sau đây thì
30 1.8. Định lí tách trong không gian vec-tơ
1.12. Cho Alà tập lồi và x0 ∈core(A). Chứng minh core(A) = [
x∈A
[x0, x).
1.13. Trong không gian các ma trận thực vuông cấpn(n≥1) ta kí hiệuC là tập các ma trận nửa xác định dương. Chứng minhClà nón lồi trongX. Hãy xác địnhcore(C).
1.14. Chứng minhXlà không gian hữu hạn chiều khi và chỉ khi, với mọi tập lồiC ⊆X
ta có lin(linC)) = linC.
1.15. Cho hai tập lồiA vàB sao cho coreA6=∅. Chứng minh rằng phiếm hàmf tách
A vàB khi và chỉ khi nó táchcoreA vàB.
1.16. Chứng minh rằng nếu siêu phẳngH(f;α)tách hai tậpAvàB mà một trong hai tập là nón, thìH(f; 0) cũng tách chúng (tức là siêu phẳng tách đi qua gốc).
1.17. Chứng minh rằng nếu phiếm hàm f ∈ X# bị chặn trên (hoặc dưới) trên một không gian conV thì đồng nhất bằng không trênV. Suy ra, nếuf bị chặn trên (hoặc dưới) trên một tập affine thìf nhận giá trị không đổi trên tập đó.
1.18. Giả thiết thêm các tậpCi trong Định lí 1.19 thoả mãn
m
\
i=1
coreCi 6=∅.
Hãy chứng minh fm+1 6= 0.
1.19. Kí hiệu X là không gian các dãy số thực với hữu hạn số khác không, nghĩa là
X ={(xn)⊆R| ∃k∈N,∀n > k, xn= 0}.Trên X ta xét tậpC gồm các dãy có phần tử khác không cuối cùng là dương: C ={(xn)∈X | ∃k∈N, xk >0;∀n > k, xn= 0}. Chứng minh rằng
a) C lồi,affC =X nhưngcoreC=∅(xem thêm Bài tập 1.1).
b) 06∈C nhưng không tồn tại siêu phẳng táchC và0.
1.20. Cho C là một tập lồi hấp thụ trong không gian vec-tơ X và f ∈ X#. Chứng minh rằng
a) Tập hợp dưới đây là một nón lồi trongX×R:
K ={(λx, λ)|λ∈[0,+∞);x∈C};
b) TậpH ={(x, f(x))|x∈X} là một siêu phẳng trongX×R;
Không gian tôpô lồi địa phương
2.1 Không gian tôpô
Mục này nhằm giới thiệu các kiến thức cơ bản nhất của tôpô đại cương. Để giảm thiểu bề dày của giáo trình ở đây chúng tôi chủ yếu trình bày các kết quả. Độc giả có thể tham khảo các chứng minh chi tiết từ các tài liệu khá kinh điển, chẳng hạn J.L. Kelley (1955).
Cho tập hợp khác rỗngX. Một họτ ⊆ P(X)các tập con của X được gọi là một tôpô nếu nó thoả mãn các tính chất sau:
i) ∅, X ∈τ,
ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ, iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ.
Lúc đó(X, τ) (hay, đơn giản hơn, X) được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là một tập mở (theo tôpô τ) trong X. Một tôpôσ trên X được gọi làmạnh hơn τ (hay τ yếu hơn σ) nếu τ ⊆ σ. Tức
là mọi tập mở theo τ cũng mở theo σ. Rõ ràng P(X) và {∅, X} lần lượt là các tôpô mạnh nhất và yếu nhất trên X.
32 2.1. Không gian tôpô
Bây giờ cho A ⊆X, x0 ∈ X, ta nói x0
- là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈τ sao cho x0 ∈U ⊆ A,
- là một điểm ngoài của A nếu nó là điểm trong của X \A,
- là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai.
Ta gọi phần trong (biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểm trong (điểm biên) của A và kí hiệu là intA (∂A). Như vậy,
+ x0 ∈ intA ⇐⇒ ∃U ∈ τ : x0 ∈ U ⊆ A,
+ x0 ∈ ∂A⇐⇒[∀U ∈τ, x0 ∈U =⇒(U ∩A 6=∅ và U \A 6= ∅)]. Nếu x0 là điểm trong của A ta cũng nói A là một lân cận của x0. A được gọi là tập đóng nếu ∂A ⊆ A. Với A là tập bất kì, ta gọi bao đóng của A
là tập A := A∪∂A và mỗi phần tử thuộcA được gọi làđiểm dính của A.
Ta có ngay kết quả dưới đây: Mệnh đề 2.1. Cho A ⊆X,
a) A đóng khi và chỉ khi X \A mở.
b) intA mở, và là tập con mở lớn nhất của A.
c) A đóng, và là tập đóng bé nhất chứa A.
d) A mở ⇐⇒A = intA; A đóng ⇐⇒A = A.
Hệ quả 2.1.
a) ∅ và X là các tập đóng,
b) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng,
c) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.
Không gian tôpô X được gọi là Hausdorff, hay tách được, nếu với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ X, tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U ∩V = ∅. Như vậy, trong không gian Hausdorff tập hợp dạng {a},
Cho không gian tôpô(X, τ). Một họ B ⊆τ được gọi là một cơ sở của
τ nếu mọi tập U ∈τ đều được biểu diễn dưới dạng hợp các tập thuộc B. Kí hiệu Ux là họ tất cả các lân cận của điểm x. Một họ Vx ⊆ Ux được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi U ∈ Ux đều tồn tại V ∈ Vx sao cho
V ⊆U. Ta có kết quả sau:
Định lí 2.2. Cho B ⊆ P(X). Để tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ sở thì điều kiện cần và đủ là B thỏa mãn các tính chất sau
a) [
V∈B
V = X,
b) ∀ U, V ∈ B, ∀ x∈ U ∩V, ∃W ∈ B: x∈ W ⊆ U ∩V.
Hệ quả 2.2. Nếu B ⊆ P(X) thoả mãn
a) [
V∈B
V = X,
b) ∀ U, V ∈ B: U ∩V ∈ B,
thì tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ sở.
Cho một họ C ⊆ P(X) tùy ý. Dễ kiểm chứng được rằng họ sau đây
B := n
k
\
i=1
Ci | k ∈N; Ci ∈ C, 1≤ i≤ ko (2.1) thỏa mãn điều kiện của Hệ quả 2.2, nên sẽ là cơ sở của một tôpô τ nào đó trên X (với quy ước giao của một họ rỗng bằng X nên X ∈ B). Lúc đó, ta nóiC là tiền cơ sở của τ và τ được gọi là tôpô sinh bởi C.
Một tập được sắp thứ tự (I,Â) được gọi là tập định hướng nếu với mọi λ, µ ∈ I tồn tại γ ∈ I sao cho γ Â λ và γ Â µ. Một dãy suy rộng
trong X là một ánh xạ ϕ từ một tập được định hướng I vào X. Nếu kí hiệu xλ :=ϕ(λ) thì ta có thể nói (xλ)λ∈I là một dãy suy rộng trong X.
Giả sử (xλ)λ∈I là một dãy suy rộng, J cũng là một tập định hướng và
φ là một ánh xạ từ J vào I, với λµ := φ(µ); µ∈ J thỏa mãn:
34 2.1. Không gian tôpô
Lúc đó, ta gọi ϕ◦φ là dãy con của ϕhay (xλµ)µ∈J là dãy con của (xλ)λ∈I và kí hiệu (xλµ)µ∈J ⊆ (xλ)λ∈I.
Dãy suy rộng (xλ) trong không gian tôpô (X, τ) được gọi là hội tụ đến xnếu với mọiV ∈ Ux, tồn tại λ0 sao cho với mọi λ Â λ0 ta cóxλ ∈ V. Lúc đó, ta kí hiệu xλ → x và gọi x là giới hạn của dãy (xλ). Rõ ràng, trong không gian Hausdorff, giới hạn của một dãy suy rộng, nếu có, là duy nhất.
Mệnh đề 2.3. A đóng ⇐⇒ ¡∀(xλ)⊆ A : xλ →x=⇒x ∈A¢.
Ta gọi một phủ mở của A là một họ {Uα | α ∈Λ}các tập mở sao cho
A⊆ [
α∈Λ
Uα.
Lúc đó, nếu có họ hữu hạn H = {α1, α2, . . . , αk} ⊆Λ sao cho
A ⊆ [
α∈H Uα,
thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên.
Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi phủ mở của A
đều tồn tại phủ con hữu hạn. A được gọi là tập compact địa phương nếu với mọi a ∈ A tồn tại lân cận U của a sao cho U ∩A là tập compact. Nếu bản thân X là tập compact (compact địa phương) thì nó được gọi là
không gian compact (compact địa phương).
Định lí 2.4. A compact ⇐⇒ ∀(xλ)⊆ A,∃(xλµ)⊆(xλ) : xλµ →a ∈A.
Một tập con A củaX được gọi làkhông liên thông nếu tồn tại các tập mở U, V sao cho U∩A vàV ∩A khác rỗng,U∩V ∩A =∅ vàU∪V ⊇ A.