Ta kí hiệu tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là
X∗ và gọi là không gian liên hợp, hay không gian đối ngẫu tôpô của X.
Rõ ràng, X∗ = L(X,R) là một không gian vec-tơ con của không gian đối ngẫu đại số X# =L(X,R). Kết quả sau được suy ra từ Định lí 2.17: Hệ quả 3.1. Nếu X được trang bị bởi tôpô lồi địa phương mạnh nhất thì
X∗ =X#. Nói cách khác, mọi siêu phẳng trong X đều đóng.
Mệnh đề 3.3.
a) Siêu phẳng để một tập có điểm trong về một phía thì đóng.
b) H+(f;α), H−(f;α) là đóng khi và chỉ khi f liên tục.
Chứng minh.
a) Sử dụng Mệnh đề 3.1 kết hợp với Bổ đề 1.3.
b) Hiển nhiên ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần. Chú ý rằng, vì
f 6= 0 nên∅ 6= X\H−(f;α). Do đó nếuH−(f;α)đóng thìH(f;α)để một tập có phần trong khác rỗng về một phía nên đóng, hay f liên tục.
3.2 Định lí Tách
Định lí 3.4 (Định lí Tách). Cho hai tập lồi rời nhau A và B trong X. Nếu một trong hai điều kiện dưới đây thoả mãn thì có một siêu phẳng đóng tách thực sự A và B:
a) intA∪intB 6= ∅,
b) X là không gian Hausdorff, hữu hạn chiều.
Chứng minh. Theo Định lí 1.18, tồn tại siêu phẳng H(f;α) tách thực sự
A và B. Trong trường hợpa)tính đóng của H(f;α) được suy ra từ Mệnh đề 3.3 còn trong trường hợp b) khẳng định này nhận được từ tính chất: Mọi siêu phẳng trong không gian hữu hạn chiều, Hausdorff đều đóng.
Cho tập lồi C ⊆ X và một điểm x0 ∈ C. H(f;α) được gọi là siêu phẳng tựa của C tại x0, nếu nó chứa x0 và để C về một phía. Lúc đó, ta nói x0 là điểm tựa của C trên siêu phẳng H(f;α)và f là phiếm hàm tựa
của C tại x0. Nếu hơn nữa, C ⊆ H−(f;α), thì f được gọi là một vec-tơ pháp tuyến của C tại x0. Ta kí hiệu NC(x0) là tập hợp tất cả các vec-tơ pháp tuyến liên tục của C tại x0:
NC(x0) := {f ∈ X∗ | f(c−x0)≤ 0, ∀c ∈ C}.
Hệ quả 3.2. Cho tập lồi C và x0 ∈C.
a) NC(x0) là nón lồi chứa gốc trong X∗.
b) Nếu intC 6=∅ và x0 ∈∂C, thì NC(x0)6= {0}.
Từ kết quả này ta thường gọi NC(x0)lànón pháp tuyến củaC tạix0.
Chứng minh. Khẳng định a) có thể được kiểm chứng trực tiếp. Để chứng minh khẳng định b) chỉ cần sử dụng Định lí Tách cho intC và x0.
Hệ quả 3.3. Cho M là tập affine và C là tập lồi mở khác rỗng sao cho
C∩M =∅. Lúc đó tồn tại siêu phẳng đóng chứa M và không cắt C.
Chứng minh. Theo Định lí Tách tồn tại phiếm hàmf ∈ X∗\{0}thoả mãn
f(m)≤ f(c), ∀m∈ M, c ∈C.
Vì M là tập affine nên tồn tại α ∈ R sao cho (xem Bài tập 1.17):
f(m) =α ≤ f(c), ∀m ∈M, c ∈C.
Lúc đó siêu phẳng H(f;α) chứa M và để C về một phía. Nhưng vì
C = coreC nên, theo Bổ đề 1.3, siêu phẳng này không cắt C.
Hệ quả 3.4. Cho V là không gian con và C là tập lồi mở trong X sao cho C ∩V 6= ∅. Với mọi g ∈V∗ thoả mãn
64 3.2. Định lí Tách
tồn tại f ∈ X∗ sao cho
f|V =g và f(c)≥ 0, ∀c ∈ C.
Chứng minh. Nếu g = 0 thì chỉ việc đặt f = 0, vì vậy có thể giả thiết
g 6= 0. Lúc đó, do V ∩ C là tập lồi mở trong V nên, theo Bổ đề 1.3,
g(c) > 0 với mọi c ∈ C ∩V. Tức là C không có điểm chung với không gian con M = {v ∈ V | g(v) = 0}. Theo Hệ quả 3.3, tồn tại siêu phẳng đóng chứa M và không cắt C. Vì M chứa 0 nên siêu phẳng này có dạng
H(f0; 0) với f0 ∈ X∗. Lấy c0 ∈ C ∩ V. Vì c0 6∈ H(f0; 0) nên f0(c0) 6= 0. Mặt khác, g(c0)>0. Ta xác định hàm
f(x) = g(c0)
f0(c0)f0(x), x ∈X.
Lúc đó f ∈ X∗ và là mở rộng của g. Thật vậy, với mọi v ∈ V ta có
g(v− gg((cv)
0)c0) = 0 nên v− gg((cv)
0)c0 ∈M ⊆H(f0; 0) =H(f; 0). Suy ra
f(v) = g(v)
g(c0)f(c0) =g(v).
Cuối cùng để ý rằngH(f; 0)không cắt C vàf(c0) = g(c0)> 0vớic0 ∈C,
ta suy ra f(c)>0 với mọi c ∈C.
Ta nói hai tậpA vàBlàtách mạnh được nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f và các số γ > β sao cho A ⊆ H−(f;β) và B ⊆ H+(f;γ) (hoặc ngược lại). Nói cách khác, infa∈Af(a) > supb∈B f(b). Lúc đó, nếu có α ∈(β, γ) ta cũng nói siêu phẳng H(f;α) tách mạnh A và B.
Định lí 3.5. Hai tập lồi khác rỗng A và B tách mạnh được khi và chỉ khi
06∈ A−B.
Chứng minh. Nếu f tách mạnh A và B thì tồn tại số dương α sao cho
f(a−b) =f(a)−f(b)≥α với mọia∈ A,b∈ B. Suy raA−B ⊆ H+(f;α). Mà H+(f;α) đóng, không chứa gốc nên 06∈ A−B. Để chứng minh điều
kiện đủ ta nhận xét C = A−B là tập lồi, đóng không chứa gốc. Do đó tồn tại lân cận gốc lồiV sao choV ∩C = ∅. Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục tách C và V:
f(v)≤ α ≤ f(c), ∀v ∈V, c∈ C.
Vì 0 ∈ V nên α ≥ 0. Mặt khác, theo Bổ đề 1.3, siêu phẳng H(f;α) không chứa 0 nên α > 0. Với mọi a ∈ A, b ∈ B ta có a− b ∈ C nên
f(a)−f(b)≥ α. Vậy f tách mạnh A và B. H(f;β) H(f;γ) B A Hình 3.1.f tách mạnh A và B
Định lí 3.6 (Định lí Tách mạnh). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong X sao cho A đóng và B compact. Lúc đó, tồn tại một siêu phẳng đóng tách mạnh A và B.
Chứng minh. Vì A−B là tập đóng không chứa gốc.
Dưới đây là một số hệ quả quan trọng của Định lí Tách mạnh: Hệ quả 3.5. Mọi tập con lồi đóng khác X đều có thể biểu diễn dưới dạng giao của các nửa không gian đóng.
66 3.2. Định lí Tách
Chứng minh. Giả sử C là tập con lồi đóng, khác X. Với mỗi x 6∈C, theo
Định lí Tách mạnh, tồn tại f ∈ X∗ sao cho f(x) > α = sup
c∈Cf(c). Tức là nửa không gian đóng Hx := H−(f;α) chứa C và không chứa x. Rõ ràng,
giao của tất cả các nửa không gian Hx, với x∈ X \C, bằng đúng C.
Hệ quả 3.6. Cho M là một không gian con của X và x0 ∈ X \M. Lúc đó, tồn tại f ∈ X∗ sao cho
f(x0) = 1 và f(m) = 0 với mọi m∈ M.
Chứng minh. Sử dụng Định lí Tách mạnh, tồn tại g ∈ X∗ sao cho
g(x0)> α = sup
m∈M
g(m).
Vì M là không gian con, nên g|M = 0 = α (xem Bài tập 1.17). Bây giờ đặt f = 1
g(x0)g ta có f(x0) = 1 và f|M = 0.
Hệ quả 3.7. Một không gian con M là trù mật trong X khi và chỉ khi, với mọi f ∈ X∗ mà f|M = 0 thì f = 0.
Cuối cùng, ta nhận được mệnh đề sau mà có thể xem là mở rộng một phần của Hệ quả 1.1 cho không gian lồi địa phương:
Mệnh đề 3.7. Cho M là một không gian con của X. Lúc đó, với mọi
g ∈M∗ tồn tại f ∈X∗ sao cho
f|M =g.
Chứng minh. Ta chỉ cần xét trường hợp g 6= 0, tức là tồn tại x0 ∈ M sao cho g(x0) = 1. Đặt N = Kerg thì N là không gian con đóng (tương đối) trong M. Do đó N = N ∩M. Do x0 6∈ N ta có x0 6∈ N. Theo Hệ quả 3.6 tồn tại f ∈ X∗ sao cho f(x0) = 1 và f|N = 0. Với mỗi m ∈ M ta có
g(m−g(m)x0) = 0 nên m−g(m)x0 ∈ N, suy ra f(m−g(m)x0) = 0 hay
f(m) = g(m). Vậy, f|M =g.
Chứng minh. Họ E các tập C-cực biên compact là khác rỗng (vì C ∈ E), trong đó, mọi họ lồng nhau đều có giao thuộc E (Bổ đề 1.1). Vì vậy, theo Bổ đề Zorn, tồn tại B là phần tử tối tiểu của E theo quan hệ bao hàm. Ta chứng minh B = {x¯}, từ đó suy ra x¯ ∈ ext(C). Thật vậy nếu có u, v ∈ B, u 6= v thì tồn tại f ∈ X∗ sao cho f(u) < f(v). Lúc đó
A:= {x ∈B | f(x) = min
b∈B f(b)} là tập compact, khác rỗng và B-cực biên
(Bài tập 1.8.e) nên, theo Bổ đề 1.1, cũng là C-cực biên. Mặt khác, A là tập con thực sự của B, mâu thuẫn với tính tối tiểu của tập B.
Định lí 3.9 (Krein-Milman). Nếu C là tập lồi compact và A ⊆ C thì
coA =C khi và chỉ khi ext(C)⊆ A¯. Đặc biệt, C = co(ext(C)).
Chứng minh. Điều kiện đủ suy ra từ Định lí Tách mạnh, Bài tập 1.8.e, Mệnh đề 3.8 và Bổ đề 1.1; điều kiện cần được suy ra từ Mệnh đề 2.29.
3.3 Tôpô yếu trên X
Cho (X, τ) là không gian lồi địa phương. Với mỗi f ∈ X∗, tập hợp
V(f; 1) :={x ∈X | |f(x)| < 1}
là lồi cân đối hấp thụ trong X. Do đó, theo Định lí 2.16, họ
V0 := {V(f; 1)| f ∈ X∗}
sẽ xác định một tôpô lồi địa phương τw trên X. Tôpô này nhận họ sau:
V =n
m
\
i=1
V(fi;ε)| m∈ N∗; ε >0; fi ∈ X∗, 1≤ i≤ mo
làm cơ sở lân cận gốc. Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương yếu nhất trên X bảo đảm sự liên tục của tất cả các phiếm hàm f ∈ X∗. Nói riêng, τw ⊆ τ. Do đó, ta sẽ gọi τw là tôpô yếu trên X để phân biệt
68 3.3. Tôpô yếu trên X V(f; 1) H(f; 1) H(f;−1) f O
Hình 3.2. Minh hoạ tập V(f; 1) trongR2.
với tôpô mạnh là τ. Tương ứng với tôpô này ta có các khái niệm mới trên
X như tập mở yếu, đóng yếu, compact yếu, dãy hội tụ yếu, v.v... Ta sẽ kí hiệu xλ →w x¯ để chỉ rằng dãy suy rộng (xλ) hội tụ yếu đến x¯ nhằm phân biệt với kí hiệu xλ →x¯ nói rằng (xλ) hội tụ mạnh đến x.¯
Mệnh đề 3.10. Cho dãy suy rộng (xλ) trong X và x¯∈ X. Lúc đó,
xλ →w x¯⇐⇒ f(xλ)→f(¯x), ∀f ∈X∗.
Chứng minh. Giả sử xλ →w x. Cố định¯ f ∈ X∗ và lấy tùy ý ε > 0 ta có
W = ¯x+V(f;ε)là một τw−lân cận của x, nên tồn tại¯ µ sao cho, với mọi
λ Â µ, xλ ∈ W, hay |f(xλ)−f(¯x)| < ε. Vậy f(xλ)→f(¯x). Ngược lại, giả sử f(xλ) → f(¯x) với mọi f ∈ X∗. Lấy τw−lân cận W của x, lúc đó tồn¯ tại các fi ∈ X∗ và ε > 0 sao cho x¯+
m
\
i=1
V(fi;ε)⊆ W. Vì fi(xλ)→fi(¯x), 1≤ i≤ m, nên tồn tại µ sao cho với mọi λ Â µ ta có |fi(xλ)−fi(¯x)| < ε
với mọi i, hay xλ ∈ W. Suy ra xλ →w x.¯
Mệnh đề 3.11. Nếu τ là Hausdorff thì τw cũng vậy.
Chứng minh. Lấy tùy ý a 6= b. Do τ Hausdorff, {a}, {b} là các tập lồi, đóng, compact rời nhau. Theo Định lí Tách mạnh, tồn tạif ∈ X∗ vàε >0 sao cho f(a)> f(b) + 2ε > f(b). Lúc đó [a+V(f;ε)]∩[b+V(f;ε)] = ∅.
Vì tôpô yếu là yếu hơn tôpô mạnh, nên mọi tập đóng yếu (mở yếu) đều đóng (mở). Điều ngược lại không nhất thiết đúng. Tuy vậy, đối với tập lồi thì hai khái niệm đóng và đóng yếu là tương đương. Điều này được thể hiện trong kết quả sau:
Mệnh đề 3.12. Mọi tập lồi đóng trong X cũng đóng yếu.
Chứng minh. Do Hệ quả 3.5 ta chỉ cần chứng minh mọi nửa không gian đóngH−(f;α)là đóng yếu. Nhưng điều này là hiển nhiên bởif ∈X∗ nên liên tục theo tôpô yếu mà H−(f;α) = f−1(−∞, α].
Hệ quả 3.8 (Bổ đề Mazur). Giả sử X là không gian định chuẩn và (xn)
là một dãy trong X hội tụ yếu đến x¯. Lúc đó, tồn tại một dãy (yn) hội tụ
(mạnh) đến x¯ sao cho, với mỗi n, yn là tổ hợp lồi của hệ {x1, x2, . . . , xn}.
Chứng minh. Ta kí hiệu dC là hàm khoảng cách đến tập C trong không gian định chuẩn được xác định bởi:
dC(x) := inf
c∈Ckx−ck, x ∈ X.
Đặt E := co{xn | n ∈ N} và En := co{x1, . . . , xn}. Lúc đó (En) là dãy tập hợp lồi, compact tăng dần và có hợp bằng E. Nếu ρ= dE(¯x)>0, thì tồn tại f ∈ X∗\ {0} táchB(¯x;ρ) vàE. Nhưng lúc đóf(xn)6→ f(¯x), mâu thuẫn với giả thiết xn →w x. Vậy¯ ρ = 0, kéo theo ρn = dEn(¯x) → 0. Bây giờ, với mỗi n, ta chỉ cần chọn yn ∈ En sao cho kx¯−ynk =ρn.
Hệ quả 3.9. Nếu xn →w x¯ trong không gian định chuẩn X, thì
lim inf
n→∞ kxnk ≥ kx¯k.
Chứng minh. Giả sử lim inf
n→∞ kxnk < kx¯k. Nếu cần có thể chuyển qua dãy con, ta giả thiết rằng tồn tại ε > 0 sao cho kxnk+ε < kx¯k với mọi n.
Nhưng lúc đó, dãy {yn} sinh ra theo Bổ đề Mazur cũng thỏa tính chất
kynk+ε < kx¯k với mọi n nên không thể hội tụ mạnh về x. Vậy ta phải¯ có lim inf
70 3.4. Tôpô yếu* trên X∗
3.4 Tôpô yếu* trên X∗
Như đã nhận xét trong Mục 3.1, X∗ là một không gian vec-tơ con của X#. Khác với trường hợp không gian định chuẩn mà ở đó X∗ cũng là không gian định chuẩn, khi X là không gian lồi địa phương thì thoạt tiên ta chỉ nhận được X∗ là một không gian vec-tơ. Sau đây chúng ta sẽ tìm cách xây dựng một tôpô lồi địa phương trên X∗.
Tương ứng với mỗi x ∈ X, ta thiết lập một phiếm hàm φx trên X∗
được xác định bởi
φx(f) := f(x), ∀f ∈ X∗.
Dễ kiểm chứng được rằng đây là một phiếm hàm tuyến tính trên X∗. Hơn nữa, ánh xạ Φ : X → (X∗)# xác định bởi Φ(x) = φx là đơn ánh tuyến tính. Như vậy, nếu đồng nhất mỗi x ∈ X với φx ta có thể xem X như một họ các phiếm hàm tuyến tính trên X∗ (tức là một không gian con của (X∗)#) và Φ gọi là ánh xạ nhúng từ X vào (X∗)#. Tôpô tuyến tính yếu nhất τw∗ trên X∗ bảo đảm sự liên tục của mọi x∈ X được gọi là tôpô yếu* trên X∗. Chú ý rằng đây là tôpô duy nhất cho đến nay trên X∗ cho nên từ yếu ở đây không có ý nghĩa lắm. Nó chỉ thực sự có ý nghĩa khi X
là không gian định chuẩn. Tương tự tôpô yếu, ta có thể thấy τw∗ là tôpô lồi địa phương, có cơ sở lân cận gốc gồm các tập có dạng
B∗ = n m \ i=1 V∗(xi;ε)| m∈ N; ε >0; xi ∈X, 1≤ i≤ mo, trong đó, V∗(x;ε) := {f ∈ X∗ | |f(x)| < ε}. Một điều thú vị là, bất luận tôpô trên X như thế nào, tôpô yếu∗ luôn là Hausdorff (Bài tập 3.2). Tương tự sự hội tụ trong tôpô yếu, ta kí hiệu fλ →w∗ f để chỉ rằng dãy suy rộng (fλ) hội tụ theo tôpô yếu* về phiếm hàmf trong X∗. Hoàn toàn tương tự Mệnh đề 3.10 ta có kết quả sau:
Mệnh đề 3.13. Cho dãy suy rộng (fλ) trong X∗. Lúc đó,
ChoV ⊆ X là một tập khác rỗng, ta gọi đối cực củaV là tập hợp sau
V◦ := {f ∈ X∗ | f(x)≤1, ∀x ∈V}. (3.1) Nếu W ⊆ X∗ thì W◦ = {x ∈ X | f(x) ≤ 1, ∀f ∈ W} là tập đối cực của
W. Với V ⊆ X, tập V◦◦ = (V◦)◦ được gọi là song đối cực của V. Bổ đề dưới đây mô tả một vài tính chất cơ bản của tập đối cực:
Bổ đề 3.1.
a) V◦ là tập lồi, đóng yếu*, chứa gốc trong X∗;
b) Nếu V cân đối thì V◦ cũng vậy;
c) Nếu V ⊇ U 6= ∅ thì V◦ ⊆ U◦.
Chứng minh. Trước tiên chú ý rằng V◦ = \
x∈V
{f ∈ X∗ | f(x) ≤ 1}. Từ đó ta có ngay a) và c). Do V◦ lồi, chứa gốc nên để chứng minh b) chỉ cần chứng minh−V◦ = V◦. Nhưng điều này là hiển nhiên nếu V cân đối.
Cũng cần lưu ý rằng, khi V cân đối ta có
V◦ = {f ∈ X∗ | |f(x)| ≤ 1; ∀x∈ V}.
Định lí 3.14 (Alaoglu). Nếu V là một lân cận gốc trong X thì V◦ là tập compact yếu*.
Chứng minh. Có thể giả thiết V cân đối. Vì luôn tồn tại lân cận gốc cân đối U ⊆ V và, do Bổ đề 3.1, nếu U◦ compact yếu∗ thì V◦ cũng vậy.
Với mỗi x ∈ V, ta cho tương ứng khoảng đóng Ix = [−1,1], với tôpô thông thường. Lúc đó, không gian sau với tôpô tích, là compact: