Giả sử(X, τX),(Y, τY)là hai không gian lồi địa phương. Lúc đó, không gian X ×Y với tôpô tích cũng là không gian lồi địa phương, cụ thể ta có kết quả sau:
48 2.5. Không gian tích - Phần bù tôpô
Định lí 2.20. Tích của hai không gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y
là không gian lồi địa phương (Hausdorff) X ×Y.
Chứng minh. Kí hiệu τ là tôpô tích trên X ×Y. Trước hết ta sẽ chứng minh τ là một tôpô tuyến tính, tương thích với các phép toán đại số:
+ : (X ×Y)×(X ×Y)−→X ×Y,
((x1, y1),(x2, y2))7−→ (x1+x2, y1+y2);
· : R×(X ×Y)−→X ×Y,
(λ,(x, y))7−→ (λx, λy).
Thật vậy, nếuU là mộtτ−lân cận của(x1+x2, y1+y2)thì tồn tạiτX−lân cận V của x1 +x2 và τY−lân cận W của y1 + y2 sao cho V × W ⊆ U. Do các phép + trong X và Y liên tục, tồn tại các τX−lân cận V1 3 x1,
V2 3x2 và các τY−lân cận W1 3 y1, W2 3 y2 sao cho
V1+V2 ⊆ V; W1+W2 ⊆ W.
Lúc đó, Vi×Wi là một τ−lân cận của (xi, yi), i= 1,2, hơn nữa,
V1×W1+V2×W2 ⊆ V ×W ⊆ U.
Tương tự, nếu U là một τ−lân cận của (λx, λy) thì tồn tại τX−lân cận
V của λx và τY−lân cận W của λy sao cho V ×W ⊆ U. Do các phép ·
trong X và Y liên tục, tồn tại số ε > 0, τX−lân cận V0 3 x và τY−lân cận W0 3y sao cho với mọi t∈ (λ−ε, λ+ε) ta có
tV0 ⊆V; tW0 ⊆ W.
Lúc đó, V0×W0 là một τ−lân cận của (x, y) mà
t(V0×W0) = (tV0)×(tW0)⊆ V ×W ⊆U.
Về tính lồi địa phương chỉ cần chú ý rằng, nếu VX và VY là các cơ sở lân cận gốc lồi của X và Y, thì VX × VY cũng là một cơ sở lân cận gốc lồi của X×Y. Cuối cùng, tính Hausdorff được suy ra từ định nghĩa tôpô tích.
Liên quan đến ánh xạ tuyến tính trên không gian tích ta có kết quả dưới đây mà việc chứng minh nó được dành cho bạn đọc:
Mệnh đề 2.21. Nếu Z là một không gian lồi địa phương thì mọi ánh xạ
A∈ L(X×Y, Z) đều có dạng A(x, y) =A1(x) +A2(y), với A1 ∈ L(X, Z)
và A2 ∈L(Y, Z) là các ánh xạ được xác định bởi
A1(x) = A(x,0); A2(y) =A(0, y).
Hơn nữa, A ∈ L(X ×Y, Z) khi và chỉ khi A1 ∈ L(X, Z) và A2 ∈ L(Y, Z).
Bây giờ giả sử M ≤ X và N là phần bù đại số của M (tức là,
M +N = X và M ∩N = {0}). Lúc đó, với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất một cặp m∈ M và n∈ N sao cho x= m+n.
Với tôpô cảm sinh, M và N cũng là các không gian lồi địa phương và do đó ta có không gian lồi địa phương M ×N. Xét ánh xạ
ϕ: M ×N −→X
(m, n)7−→m+n.
Dễ thấy rằngϕ là một song ánh tuyến tính liên tục. Nếuϕ−1 cũng là một ánh xạ liên tục thì M vàN được gọi là phần bù tôpô của nhau và kí hiệu
X =M ⊕N.
Mệnh đề 2.22. Giả sử X là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff,
M là không gian con đóng của X và codimM <∞. Lúc đó mọi phần bù đại số của M đều là phần bù tôpô.