Các tính chất tôpô của tập lồi

Mệnh đề 2.24. Cho p là một phiếm hàm trên X.

a) p là nửa chuẩn nếu và chỉ nếu p là hàm cỡ của một tập lồi, cân đối, hấp thụ.

b) p là chuẩn nếu và chỉ nếu p là hàm cỡ của một tập lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa đường thẳng nào.

Từ Định lí 2.16 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vec-tơ X hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ V0 (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất nhận mọi tập V ∈ V0

làm lân cận gốc). Kết hợp với Mệnh đề 2.23 và Mệnh đề 2.24 ta có thể khẳng định thêm rằng τ hoàn toàn được xác định bởi một họ P0 các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất sao cho mọi nửa chuẩn

p ∈ P0 đều liên tục). Đặc biệt, mọi chuẩn đều hoàn toàn được xác định bởi một tập C lồi, cân đối, hấp thụ và bị chặn (lúc đó, với chuẩn này,

B(0; 1)⊆ C ⊆ B0(0; 1)).

2.7 Các tính chất tôpô của tập lồi

Cho C là tập lồi trong X. Ta vẫn kí hiệu intC là phần trong của C.

Ngoài ra, ta gọi phần trong tương đối của C là phần trong của tập này theo tôpô cảm sinh trong affC. Cụ thể,

riC := {x ∈C | tồn tại lân cận gốc V : (x+V)∩affC ⊆ C}.

Định lí 2.25. Cho C là tập lồi khác rỗng trong X. Lúc đó,

a) intC, C là các tập lồi.

b) Nếu x ∈intC và y ∈ C thì [x, y)⊆ intC.

c) Nếu intC 6=∅ thì C = intC, intC = int(C), coreC = intC.

Chứng minh.

a) Nếu x, y ∈ intC, thì tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C

vày+V ⊆ C. Do đó, với mọiλ ∈ (0,1) ta có λx+ (1−λ)y+V ⊆ C, nên λx+ (1−λ)y ∈ intC. Vậy intC lồi. Bây giờ lấy x,¯ y¯ ∈ C và λ ∈ (0,1). Với mọi lân cận gốc lồi V, tồn tại x ∈ (¯x+V)∩C và y ∈ (¯y +V)∩C, lúc đó λx+ (1−λ)y ∈ (λx¯+ (1−λ)¯y+V)∩C. Vậy λx¯+ (1−λ)¯y ∈C, suy ra C là tập lồi.

b) Ta chứng minh w = µx+ (1 − µ)y ∈ intC, với mọi µ ∈ (0,1]. Đặt λ = µ2 và z = λx + (1 − λ)y. Vì x ∈ intC nên tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C. Lại vì y ∈ C nên y ∈ C + λ

1−λV, do đó z ∈ λx+ (1 − λ)(C + λ 1−λV) = λ(x +V) + (1− λ)C ⊆ C. Để ý rằng w = tx+ (1−t)z với t = λ 1−λ, ta có w+tV ⊆ t(x+V) + (1−t)z ⊆ C. Vậy w ∈ intC.

c) Khẳng định C = intC suy ra trực tiếp từ b). Giả sửc ∈ intC. Với

mọi w ∈ int(C) tồn tại ε > 0 đủ bé sao cho y = w+ε(w− c) ∈ C. Vì w ∈ [c, y) nên theo b) w ∈ intC, suy ra int(C) = intC. Việc chứng minh

coreC = intC được tiến hành tương tự.

d)Không mất tính tổng quát giả thiết0∈C. NếudimC = dimX = n

thì intC 6= ∅. Thật vậy, lúc đó tồn tại hệ hệ độc lập tuyến tính

{c1, c2, . . . , cn} ⊆ C. Vì tôpô trên X trùng với tôpô Euclide nhận

{c1, c2, . . . , cn}làm hệ trực chuẩn nên ta có thể kiểm chứng đượcintC 6= ∅. Vậy, nếu dimC < ∞ thìriC là phần trong của C với tôpô cảm sinh trên affC, nên khác rỗng. Sử dụngc)ta nhận được các khẳng định còn lại.

Trong không gian tôpô ta luôn có bao hàm thức A∩B ⊆ A ∩ B.

Mệnh đề dưới đây mô tả một trường hợp trong đó dấu đẳng thức xảy ra: Mệnh đề 2.26. Nếu A và B là hai tập lồi sao cho (intA)∩B 6=∅ thì

54 2.7. Các tính chất tôpô của tập lồi

Chứng minh. Hiển nhiên ta chỉ cần chứng minh bao hàm thức “⊇”. Giả sử x0 ∈ (intA)∩B. Tức là x0 ∈ B và tồn tại lân cận gốc lồi, mở U sao cho x0+U ⊆ A. Lấy x¯ ∈A∩B ta chứng minh x¯ ∈A∩B. Thật vậy, với

mọi lân cận gốc lồi V ta chọn số nguyên dương n đủ lớn sao cho

x0−x¯ ∈ n+ 1 2 V. Đặt W = ³1 nU ´ ∩³n+ 1 2n V ´ . Do x¯ ∈ B tồn tại b ∈ B ∩ (¯x +W). Đặt c = n n+ 1b + 1 n+ 1x0. Ta có c ∈ B. Mặt khác, c ∈ n n+ 1(¯x+W) + 1 n+ 1x0 = n n+ 1x¯+ 1 n+ 1(x0+nW) ⊆ n n+ 1x¯+ 1 n+ 1(x0+U)⊆ n n+ 1A+ 1 n+ 1intA ⊆ A. Ngoài ra c ∈ x¯+ 1 n+ 1(x0−x¯) + n n+ 1W ⊆ x¯+ 1 2V + 1 2V = ¯x+V. Vậy (¯x+V)∩(A∩B)6= ∅ với mọi lân cận gốc lồi V nên x¯∈ A∩B.

Cho A ⊆ X, ta gọi bao lồi đóng của A, kí hiệu coA, là tập lồi đóng

bé nhất chứa A. Từ Định lí 2.25 ta thấy coA = coA. Tuy nhiên chú ý

rằng nói chung ta chỉ có bao hàm thức co(A)⊆coA.

Mệnh đề 2.27. Nếu A ⊆ X là một tập compact và tồn tại số nguyên dương n sao cho, mọi phần tử x ∈coA đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của không quá n phần tử thuộc A, thì coA là tập compact.

Chứng minh. Dễ thấy ánh xạ ϕ từ không gian tôpô tích Rn×Xn vào X,

xác định bởi ϕ(λ1, . . . , λn, x1, . . . , xn) = Pni=1λixi là liên tục. Mặt khác tập K = {(λ1, λ2, . . . , λn)∈ [0,1]n | Pni=1λi = 1}là compact trong Rn. Vì vậy coA =ϕ(K ×An) cũng là tập compact trong X.

Từ mệnh đề trên ta lập tức nhận được hệ quả sau:

Hệ quả 2.8. Nếu C1, C2, . . . , Cn ⊆ X là các tập lồi compact, thì

co(C1∪C2∪ · · · ∪Cn)

cũng là tập compact.

Kết hợp Mệnh đề 2.27 với Định lí Carathéodory ta có:

Hệ quả 2.9. Nếu X hữu hạn chiều và A compact thì coA cũng compact.

Mệnh đề 2.28. Bao lồi, bao lồi đóng của một tập bị chặn (hoàn toàn bị chặn) trong không gian lồi địa phương là bị chặn (hoàn toàn bị chặn).

Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh tính hoàn toàn bị chặn, tính bị chặn được dành cho độc giả. Giả sử A là tập hoàn toàn bị chặn trong X. Cho U là một lân cận gốc mà, không mất tính tổng quát, có thể giả thiết là lồi. Giả sử B ={b1, b2, . . . , bm} là tập sao cho A ⊆ B+ 1

2U. Lúc đó, coA ⊆ co³B + 1 2U ´ = coB+ 1 2U.

Nhưng theo Hệ quả 2.8, coB là tập compact, do đó hoàn toàn bị chặn (Bài tập 2.3), nên tồn tại tập hữu hạn C = {c1, c2, . . . , ck} ⊆ X sao cho coB ⊆ C+ 1

2U. Suy ra coA ⊆ C+U. Vậy coA hoàn toàn bị chặn. Theo Bài tập 2.4, coA cũng hoàn toàn bị chặn.

Mệnh đề 2.29. Nếu A ⊆ X là tập mà coA compact thì ext(co(A)) ⊆ A¯. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh, với mọi x ∈ ext(co(A)) và lân cận gốc lồi, cân đối, đóng V thì x ∈ A+V. Do A hoàn toàn bị chặn nên tồn tại

{x1, x2, . . . , xk} ⊆ A sao cho A ⊆ ∪k

i=1{xi+V}. Lúc đó Ki := co((xi +

V)∩A)⊆ coA là các tập lồi compact, hơn nữa Ki ⊆ xi+V và coA = co³ k [ i=1 Ki´= co³ k [ i=1 Ki´.

56 2.7. Các tính chất tôpô của tập lồi

Đẳng thức cuối cùng là do Hệ quả 2.8. Vì x ∈ ext(co(A)) nên, theo Bài tập 1.8.c, tồn tại Kj 3 x, suy ra x ∈xj +V ⊆ A+V.

Mệnh đề 2.30. NếuC là tập lồi compact không chứa gốc trong một không gian lồi địa phương Hausdorff, thì

KC := [

t≥0

tC

là một nón lồi đóng.

Chứng minh. Rõ ràngKC là một nón lồi. Để chứng minh tính đóng ta lấy dãy bất kì (tλcλ)λ∈I ⊆ KC (tλ ≥ 0, cλ ∈ C) hội tụ về x ∈ X. Không mất tính tổng quát, giả thiết (cλ)hội tụ về một điểmc ∈ C. Ta sẽ chứng minh

(tλ) bị chặn. Do C đóng và không chứa gốc, tồn tại lân cận gốc lồi, mở U

sao cho U ∩C = ∅. U là tập hấp thụ nên tồn tại n > 0 đủ lớn để nU là một lân cận của x. Lúc đó tồn tại λ0 sao cho tλcλ ∈ nU, với mọi λ Â λ0. Vì cλ 6∈ U và U lồi chứa gốc, nên từ đây suy ra tλ ≤ n với mọi λ Â λ0. Vậy (tλ)bị chặn, nên tồn tại dãy con (tλµ)hội tụ về một số t≥ 0. Lúc đó

tλµcλµ →tc. Tức là x =tc ∈ KC. Vậy KC đóng.

Bài tập 2.6. Tìm ví dụ (trong R2) chứng tỏ khẳng định trong Mệnh đề 2.30 không còn đúng nếu tập C chứa gốc.

Mệnh đề 2.31. Với mọi hệ hữu hạn véc-tơ x1, x2, . . . , xm ∈ X, tập hợp

K :=n

m

X

i=1

λixi ¯¯¯λi ≥ 0o

là một nón lồi đóng, và được gọi là nón đa diện sinh bởi các xi.

Chứng minh. Rõ ràng, K là một nón lồi. Với mỗi tập con độc lập tuyến tính N ={xi1, xi2, . . . , xip} ⊆M :={x1, x2, . . . , xm}, ta đặt KN := n p X j=1 µijxij ¯ ¯ ¯µij ≥ 0o= [ λ≥0 λco(N).

Theo Định lí 1.10, K là hợp (hữu hạn) của các nón KN như thế. Mặt khác, vì co(N) là tập compact không chứa gốc nên, theo Mệnh đề 2.30,

KN là nón lồi đóng. Vậy K là tập đóng.