hay nói cách khác, tồn tại x ∈X sao cho fij(x) = 0 với mọi j 6= s nhưng
fis(x)6= 0. Lúc đó
µλisfis(x) =fλ(x)→f(x) =⇒ µλis →µis := f(x)
fis(x) ≥ 0. Điều này đúng với mọi s nên fλ w
∗
−→ µi1fi1 +µi2fi2 +· · · + µipfip. Vậy
f = µi1fi1 +µi2fi2 +· · ·+µipfip ∈ KN.
3.5 Cặp đối ngẫu tổng quát
Cho X và Y là hai không gian vec-tơ và h·,·i : X × Y → R là một
dạng song tuyến tính, tách được theo từng biến. Nghĩa là
hx, λy1+µy2i= λhx, y1i+µhx, y2i, ∀x ∈ X, y1, y2 ∈ Y, λ, µ∈ R;
hλx1+µx2, yi= λhx1, yi+µhx2, yi, ∀x1, x2 ∈ X, y ∈ Y, λ, µ∈ R;
∀x0 ∈ X \ {0},∃y ∈Y : hx0, yi 6= 0; ∀y0 ∈ Y \ {0},∃x∈ X : hx, y0i 6= 0.
Lúc đó, mỗi y ∈ Y cố định sẽ xác định một phiếm hàm tuyến tính trên X theo quy tắc:
x ∈X −→ y(x) = hx, yi ∈ R,
và mỗi x∈ X cũng xác định một phiếm hàm tuyến tính trên Y bởi
y ∈ Y −→x(y) =hx, yi ∈ R.
Như vậy có thể xem X là một không gian vec-tơ những phiếm hàm tuyến tính trên Y, hay X ≤ Y#. Tương tự, Y ≤ X#. Ta sẽ kí hiệu tôpô tuyến tính yếu nhất trên X bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm y ∈Y bởi
σ(X, Y) và tôpô tuyến tính yếu nhất trên Y bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm x∈ X bởi σ(Y, X).
Định lí 3.16. σ(X, Y)là tôpô lồi địa phương Hausdorff trên X. Hơn nữa, không gian liên hợp của (X, σ(X, Y)) cũng chính là Y.
Chứng minh. Dễ thấy σ(X, Y) nhận họ sau làm cơ sở lân cận gốc V =n m \ i=1 V(yi;ε)| m∈ N∗; ε >0; yi ∈ Y, 1≤ i≤ mo,
nên là tôpô lồi địa phương. Từ định nghĩa ta có (X, σ(X, Y))∗ ⊇ Y. Để chứng minh bao hàm thức ngược lại ta lấy tùy ý f ∈ (X, σ(X, Y))∗ và chứng minh f ∈ Y. Kết luận là hiển nhiên nếu f = 0. Nếu f 6= 0, thì
V(f; 1)là σ(X, Y)−lân cận gốc. Do đó, tồn tạiy1, y2, . . . , ym ∈ Y vàε >0 sao cho m \ i=1 V(yi;ε) ⊆ V(f; 1). Từ đây suy ra m \ i=1
Keryi ⊆ Kerf. Theo Bổ
đề 3.2, f là tổ hợp tuyến tính của các yi, nên f ∈Y.
Từ định nghĩa tôpô yếu trênX, tôpô yếu* trên X∗ và Định lí 3.16 ta có ngay kết quả quan trọng sau:
Hệ quả 3.11. Giả sử (X, τ) là một không gian lồi địa phương Hausdorff với không gian liên hợpX∗. Lúc đó với dạng song tuyến tínhhx, fi :=f(x)
trên X ×X∗ ta có σ(X, X∗) = τw, σ(X∗, X) = τw∗. Đặc biệt, (X, τw)∗ =
X∗ và (X∗, τw∗)∗ =X.
Do tính đối xứng giữa các không gian X và X∗, được thể hiện qua hệ quả trên, từ nay trở về sau ta sẽ kí hiệu các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là x∗ ∈ X∗ và viết hx, x∗i thay cho x∗(x).
Hệ quả 3.12. Một tập lồi D ⊆ X∗ là đóng yếu* khi và chỉ khi, với mọi
y∗ ∈X∗\D, tồn tại x∈ X sao cho hx, y∗i > sup
x∗∈D
hx, x∗i.
Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên nếu để ý rằng, với
ε =hx, y∗i − sup
x∗∈Dhx, x∗i> 0
thì(y∗+V(x;ε))∩D = ∅. Để chứng minh điều kiện cần ta lấyy∗ ∈ X∗\D.
Do D lồi và τw∗−đóng nên, theo Định lí 3.6, tồn tại x ∈ X = (X∗, τw∗)∗