3.6 Trường hợp không gian định chuẩn
Trong mục này, ta luôn giả thiết X là một không gian định chuẩn và
X∗ là không gian liên hợp của nó. Lúc đóX∗ cũng là một không gian định chuẩn, hơn nữa là không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi
kx∗k= sup{|hx, x∗i| : kxk ≤1}, x∗ ∈ X∗.
Đến lượt nó, X∗ cũng có không gian liên hợp gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ mà ta kí hiệu là X∗∗, với chuẩn
kx∗∗k= sup{|hx∗, x∗∗i| : kx∗k ≤1}, x∗∗ ∈X∗∗.
Chú ý rằng trên X∗ tồn tại đồng thời ba tôpô, đó là tôpô sinh bởi chuẩn mà ta gọi là tôpô mạnh, tôpô yếu σ(X∗, X∗∗) vàtôpô yếu* σ(X∗, X). Các tôpô đó theo thứ tự là yếu dần, trong đó tôpô chuẩn (mạnh nhất) và tôpô yếu∗ (yếu nhất) là thường được sử dụng.
Bây giờ với mỗi phần tử x ∈X, phiếm hàm tuyến tính tương ứng φx
đã xét trong Mục 3.4 là liên tục theo tôpô σ(X∗, X) nên cũng liên tục theo tôpô chuẩn. Tức là φx ∈ X∗∗. Mặt khác, chuẩn của φx trong X∗∗
được xác định bởi (xem Hệ quả 1.2):
kφxk = sup{|hx∗, φxi|: kx∗k ≤1}= sup{|hx, x∗i| : kx∗k ≤1} =kxk.
Như vậy, ánh xạ Φ : X → X∗∗, với Φ(x) = φx, là một phép nhúng đẳng cự từ X vào X∗∗. Do đó, có thể đồng nhất X với không gian con Φ(X) của X∗∗. Với quan điểm như vậy, từ nay về sau ta luôn xem X là không gian con của không gian X∗∗. Để đơn giản, từ đây đến cuối chương ta kí hiệu B, B∗ và B∗∗ lần lượt là hình cầu đơn vị đóng trong X, X∗ và X∗∗. Cũng kí hiệu tương tự đối với các mặt cầu đơn vị S, S∗ và S∗∗. Chúng ta cũng sẽ kí hiệu τw∗ =σ(X∗, X) và τw∗∗ = σ(X∗∗, X∗).
Chứng minh. Suy ra từ Định lí Alaoglu với chú ý rằng B∗ = B◦.
Nhận xét 3.2. Từ định lí này ta suy ra mọi hình cầu đóng trong X∗ đều compact yếu∗. Điều này làm cho chúng ta dễ ngộ nhận mọi tập lồi, đóng bị chặn (theo chuẩn) trongX∗ cũng compact yếu∗. Sự thật thì những tập lồi đóng (thậm chí bị chặn) trongX∗ không nhất thiết đóng yếu∗nên càng không thể compact yếu∗. Điều đó được thể hiện qua ví dụ sau:
Ví dụ 3.1. Xét không gian c0 các dãy số thực hội tụ về 0, ta có c∗
0 = l1, trong đó l1 là không gian các dãy khả tổng tuyệt đối. Ta gọi C ⊆ l1 là tập hợp các dãy không âm có tổng bằng 1. Rõ ràng C là một tập lồi, đóng và bị chặn trong l1. Trong C ta chọn dãy (ξk)k với ξk là dãy có mọi thành phần đều bằng không, ngoại trừ thành phần thứk bằng 1. Rõ ràng,
ξk −→w∗ 0 nhưng 06∈ C. Vậy, C không đóng yếu∗.
Mệnh đề 3.18. B trù mật trong B∗∗ đối với tôpô τw∗∗.
Chứng minh. Thật vậy, nếu ngược lại thì tồn tại y∗∗ ∈B∗∗ mà y∗∗ không thuộc vàoτw∗∗−bao đóng củaB. Do đó, theo Hệ quả 3.12, tồn tạix∗ ∈ X∗
sao chohx∗, y∗∗i>sup
x∈Bhx∗, xi. Nhưng điều này là không thể vì vế phải của bất đẳng thức đúng bằng kx∗k còn vế trái không vượt quá kx∗k. Mệnh đề đã được chứng minh.
Không gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu X = X∗∗ (hay ánh xạ nhúng Φlà một song ánh từ X lênX∗∗, điều này xảy ra khi và chỉ khi B = B∗∗). Vì X∗∗ là không gian Banach, nên một không gian phản xạ phải là không gian Banach. Kết quả dưới đây cho chúng ta thấy khi nào một không gian Banach sẽ là phản xạ.
Định lí 3.19. Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu.
78 3.6. Trường hợp không gian định chuẩn
Chứng minh. Trước tiên ta có nhận xét rằng τw chính là tôpô cảm sinh trên X củaτw∗∗. Vì vậy, nếuX phản xạ, thìB = B∗∗là tập τw∗∗−compact (Định lí 3.17) nên τw−compact.
Ngược lại, nếu B là τw−compact thì cũng τw∗∗−compact, và do đó, là τw∗∗−đóng. Điều này cùng với Mệnh đề 3.18 suy ra B =B∗∗ nên X là không gian phản xạ.
Hiển nhiên, từ định lí này ta suy ra mọi hình cầu đóng B0(x0;r)trong không gian phản xạ đều compact yếu. Hơn nữa, ta còn có khẳng định sau Hệ quả 3.13. Trong không gian phản xạ mọi tập lồi, đóng, bị chặn là compact yếu.
Chứng minh. Thật vậy, theo Mệnh đề 3.12, mọi tập lồi, đóng, bị chặn đều là tập con đóng yếu của một hình cầu đóng nên compact yếu.
Đối chiếu kết quả này với Nhận xét 3.2 ta thấy có sự khác biệt giữa tôpô yếu và tôpô yếu∗. Từ Định lí 3.19 ta cũng nhận được kết quả sau: Hệ quả 3.14. Trong một không gian phản xạ mọi dãy bị chặn đều tồn tại dãy con hội tụ yếu.
Hệ quả 3.15. Cho C là tập lồi đóng, khác rỗng trong không gian Banach phản xạ X. Với mọi x∈ X, tồn tại c0 ∈C sao cho
kx−c0k = dC(x).
Chứng minh. Giả sử (cn) là dãy trong C sao cho kx − cnk → dC(x). Do (cn) là dãy bị chặn nên theo hệ quả trên, tồn tại dãy con (cnk) hội tụ yếu về c0 ∈ C (vì C lồi, đóng nên đóng yếu). Từ Hệ quả 3.9 ta có
kx−c0k ≤ lim
Bài tập 3.1. Cho X là không gian Banach. Chứng minh:
a) Bao đóng yếu của S bằngB; b) Bao đóng yếu∗ củaS∗ bằngB∗;
c) Mọi tập đóng trongX cũng là tập đóng theo tôpô chuẩn trongX∗∗;
d) B là đóng theo tôpôτw∗∗ khi và chỉ khi X phản xạ.
Phần cuối của mục này chúng ta dành để nói về một lớp không gian Banach phản xạ đặc biệt. Đó là không gian lồi đều. Chuẩn k · k trên X
được gọi là lồi đều nếu với mọi ² >0, tồn tại δ >0 sao cho
∀x, y ∈ B0(0; 1), ³kx−yk> ε⇒ ° ° °x+y 2 ° ° °< 1−δ´. (3.2) Về mặt hình học, định nghĩa này cho ta thấy sự cong đều của mặt cầu đơn vị trongX: Mọi đoạn thẳng có độ dài lớn hơnε, nằm trong hình cầu
đơn vị đều có trung điểm nằm cách mặt cầu một khoảng lớn hơnδ. Chẳng
hạn trong Rn, chuẩn Euclide là lồi đều, nhưng k · k1 và k · kmax thì không. Chúng ta dễ dàng lí giải được điều đó khi quan sát các hình cầu đơn vị của chúng.
Định lí 3.20. Mọi không gian Banach lồi đều là phản xạ.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh B∗∗ =B hay đơn giản hơn S∗∗ ⊆B. Lấy
tuỳ ý x∗∗ ∈ S∗∗, số dương ε và giả sử δ là số dương thoả mãn (3.2). Vì
kx∗∗k = 1 tồn tại x∗ ∈ S∗ sao cho hx∗, x∗∗i > 1−δ. Tương tự, tồn tại
x ∈ S sao cho hx∗, xi > 1− δ. Ta sẽ chứng minh x∗∗ ∈ x+εB∗∗. Thật vậy, nếu ngược lại thì tập hợp sau là một τw∗∗−lân cận của x∗∗:
U ={z∗∗ ∈ X∗∗ | hx∗, z∗∗i>1−δ} \(x+εB∗∗),
bởi vì x+εB∗∗ là τw∗∗−compact. Theo Mệnh đề 3.18 tồn tại x0 ∈B∩U. Ta có x, x0 ∈ B mà ° ° °x+x0 2 ° ° °≥ hx∗, x+x 0 2 i>1−δ,