Hệ quả 5.3. Cho T là không gian tôpô compact và f(t, x) : T ×Rn →R
là hàm nửa liên tục trên theo biến t, lồi và liên tục theo biến x. Kí hiệu ft(x), f(x) và T(x0) tương tự như ở Định lí 5.11. Lúc đó, với mọi
y∗ ∈ ∂f(x0) tồn tại t1, t2, . . . , tk ∈ T(x0) với k ≤ n+ 1 sao cho
y∗ = k X j=1 αjyj∗ với yj∗ ∈ ∂ftj(x0) và αj ≥0 thoả mãn k X j=1 αj = 1. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh D := [ t∈T(x0) ∂ft(x0)là tập compact, từ đó nhận được kết luận của hệ quả bằng cách áp dụng Mệnh đề 2.27 và Định lí Carathéodory.
Từ chứng minh của Bổ đề 5.2 tồn tại δ > 0 sao cho f(t, x0 +v) < f(x0) + 1 với mọi t∈ T và v ∈ B(0;δ). Do đó
f(t, x0+v)−f(t, x0)<1, ∀t∈ T(x0), v ∈ B(0;δ).
Từ đây suy ra ∂ft(x0) ⊆ B0(0;1
δ), với mọi t ∈ T(x0). Vậy D là tập bị chặn. Để chứng minh D đóng ta lấy dãy(ξi)⊆ D sao choξi →ξ và chứng minh ξ ∈ D. Giả sử ξi ∈ ∂fti(x0) và, không giảm tính tổng quát, giả thiết
ti →t0 ∈ T. Lập luận tương tự Định lí 5.11 ta nhận đượct0 ∈T(x0). Hơn nữa, với mọi y ∈ Rn ta có
hy−x0, ξi= lim
i→∞hy−x0, ξii ≤ lim sup
i→∞ (f(ti, y)−f(ti, x0)) ≤f(t0, y)−f(t0, x0).
Vậy ξ ∈∂ft0(x0)⊆ D.
5.4 Các định lí giá trị trung bình
Cho phiếm hàm f trênX. Ta nói x0 ∈ X làđiểm cực tiểu địa phương
của f trên X nếu tồn tại lân cận gốc V sao cho
còn nếu
f(x0)≤ f(x), ∀x ∈ X, (5.16) thì ta nóix0 là điểm cực tiểu toàn cục của f. Rõ ràng, một điểm cực tiểu toàn cục cũng là cực tiểu địa phương. Trong trường hợp hàm f lồi thì hai khái niệm này trùng nhau. Thật vậy, giả sử (5.15) thoả mãn. Với mọi
x∈ X ta chọn λ >0 đủ nhỏ sao cho λ(x−x0)∈ V. Lúc đó
f(x0)≤ f(x0+λ(x−x0)) ≤ λf(x) + (1−λ)f(x0),
suy ra f(x0)≤f(x). Vậy (5.16) cũng thoả mãn. Kết quả dưới đây cho ta một đặc trưng của điểm cực tiểu của hàm lồi:
Mệnh đề 5.12. x0 là điểm cực tiểu của hàm lồi f trên X khi và chỉ khi
0∈ ∂f(x0).
Chứng minh.
x0 là điểm cực tiểu ⇔ f(x)−f(x0)≥ 0, ∀x∈ X ⇔0∈ ∂f(x0).
Với mỗi cặp x, y ∈ X ta thiết lập hàm:
gx,y(t) := f(x+t(y −x)), t∈ [0,1]. (5.17) Dễ thấy rằng hàmf là lồi trên X khi và chỉ khi, với mọi x, y ∈ X, gx,y lồi trên [0,1]. Vì vậy, nhiều kết quả thu được trên hàm một biến lồi có thể mở rộng cho hàm lồi tổng quát.
Bài tập 5.1. Choglà hàm lồi trênR. Chứng minh rằng với mọit∈domg
ta có ∂g(t) = [−g0(t;−1), g0(t; 1)].
Dưới đây là một số kết quả trên hàm số một biến thực.
Bổ đề 5.3. Hàm khả vi g : [a, b] −→ R là lồi khi và chỉ khi g0 là hàm không giảm trên [a, b]. Từ đó, nếu g khả vi cấp hai thì g lồi khi và chỉ khi
132 5.4. Các định lí giá trị trung bình
Chứng minh. Giả sử g lồi. Với mọi a≤ x < t < t0 < y ≤ b ta có
m(t) := g(t)−g(x) t−x ≤ g(t0)−g(t) t0−t ≤ g(y)−g(t0) y−t0 =: n(t0). Suy ra g0(x) = lim t→x+m(t)≤ lim
t0→y−n(t0) = g0(y). Vậy g0 là hàm không giảm. Ngược lại, nếu g0 không giảm và a ≤ t1 < t2 < t3 ≤ b thì theo Định lí Lagrange tồn tại c1 ∈ (t1, t2) và c2 ∈(t2, t3) sao cho
g(t2)−g(t1)
t2−t1 =g0(c1)≤ g0(c2) = g(t3)−g(t2)
t3−t2 .
Vậy, theo Bổ đề 4.4, g lồi.
Bổ đề 5.4. Cho hàm lồi g : [a, b]→ R (a < b). Tồn tại c∈ (a, b) sao cho
g(b)−g(a)∈ (b−a)∂g(c).
Chứng minh. Theo Hệ quả 4.7, g liên tục trên [a, b]. Đặt
h(t) =g(t) + t−a
b−a(g(a)−g(b)), t ∈ [a, b].
Lúc đó, h cũng là hàm lồi, liên tục trên [a, b] mà h(a) = h(b) nên nhận một điểm c ∈ (a, b) làm điểm cực tiểu. Suy ra 0 ∈ ∂h(c). Mặt khác, áp dụng Định lí 5.7 và Định lí Moreau-Rockafellar, ta có
∂h(c) =∂g(c) + g(a)−g(b)
b−a .
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập một số định lí giá trị trung bình cho các phiếm hàm trên không gian lồi địa phương.
Định lí 5.13. Cho f : X −→ R là phiếm hàm trên không gian lồi địa phương X, khả vi Gâteaux trên tập mở U ⊆ X. Với mọi x, y ∈ X, x 6= y
sao cho [x, y] ⊆ U tồn tại z ∈(x, y) sao cho
Bổ đề 5.5. Với f, U, x và y được cho trong Định lí 5.13, hàm gx,y xác định bởi (5.17) cũng có đạo hàm trên [0,1] và
gx,y0 (t) = hy −x, fG0(x+t(y−x))i, ∀t ∈[0,1] (5.18) Chứng minh. g0x,y(t) = lim h→0 gx,y(t+h)−gx,y(t) h = lim h→0 f(x+t(y −x) +h(y−x))−f(x+t(y −x)) h = hy −x, f0 G(x+t(y −x))i.
Chứng minh Định lí 5.13. Áp dụng Định lí Lagrange cho hàm gx,y, trên đoạn [0,1], tồn tại t0 ∈(0,1) sao cho
gx,y(1)−gx,y(0) =g0x,y(t0),
tức là
f(y)−f(x) = hy −x, fG0(z)i,
với z =x+t0(y −x)∈(x, y).
Định lí 5.14. Cho f là hàm lồi trên X, liên tục trên một tập lồi, mở
U ⊆ X. Với mọi x, y ∈U (x=6 y), tồn tại z ∈(x, y) sao cho
f(y)−f(x)∈ hy−x, ∂f(z)i,
ở đây hy−x, ∂f(z)i kí hiệu cho tập hợp {hy −x, x∗i |x∗ ∈ ∂f(z)}.
Nhận xét 5.2. Đây là một mở rộng của Định lí 5.13. Để minh họa ta xét hàm f(x) = |x| trên đoạn [−1,2] (Hình 5.2). Lúc này Định lí 5.13 không sử dụng được vì hàm f không khả vi trên (−1,2). Tuy nhiên Định lí 5.14 vẫn còn đúng. Thật vậy, tại 0 ∈ (−1,2) ta có 13 ∈ ∂f(0) nên
134 5.4. Các định lí giá trị trung bình 2 −1 1 2 Hình 5.2. Minh hoạ Định lí 5.14
Bổ đề 5.6. Với f, x, y được cho trong Định lí 5.14, hàm gx,y được xác định bởi (5.17) là lồi, liên tục trên đoạn [0,1] và
∂gx,y(t) =hy−x, ∂f(x+t(y −x))i, ∀t∈ (0,1).
Chứng minh. Trước tiên chú ý rằng vế phải là một tập lồi, compact trong
R nên là một khoảng đóng. Mặt khác, g0 x,y(t; 1) = lim λ→0+ f(x+t(y−x) +λ(y−x))−f(x+t(y−x)) λ = f0(x+t(y −x);y−x) = max x∗∈∂f(x+t(y−x))hy−x, x∗i = maxhy −x, ∂f(x+t(y−x))i. g0x,y(t;−1) = lim λ→0+ f(x+t(y −x)−λ(y−x))−f(x+t(y −x)) λ =f0(x+t(y−x);x−y) = max x∗∈∂f(x+t(y−x))hx−y, x∗i =−minhy−x, ∂f(x+t(y −x))i.
Vì vậy (xem Bài tập 5.1):
∂gx,y(t) = [−g0
x,y(t;−1), g0
Chứng minh Định lí 5.14. Áp dụng Bổ đề 5.4 cho hàmgx,y trên đoạn[0,1], tồn tại c ∈(0,1) sao cho
f(y)−f(x) =gx,y(1)−gx,y(0)∈ ∂gx,y(c) =hy −x, ∂f(z)i,
với z =x+c(y −x)∈ (x, y).
5.5 Tính đơn điệu của dưới vi phân và gradientCho X và Y là hai tập hợp. Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y, kí hiệu