Cho họ hàm fα : X −→R, α ∈I. Ta gọi cận trên và cận dưới của họ hàm này lần lượt là các hàm _ α∈I fα = sup α∈I fα, ^ α∈I fα = inf α∈Ifα cho bởi: _ α∈I fα(x) = (sup α∈I fα)(x) := sup α∈I fα(x); ^ α∈I fα(x) = (inf α∈Ifα)(x) := inf α∈Ifα(x). Dễ kiểm chứng được rằng: epi³sup α∈I fα ´ = \ α∈I epifα. (4.3)
Hệ quả 4.4. Cận trên (dưới) của một họ hàm lồi (lõm) là lồi (lõm).
Chú ý rằng nếu f và g là các hàm lồi thì f ∧g nói chung không lồi. Để có được hàm lồi ta phải sử dụng hàm co(f ∧g). Kết quả sau mô tả cấu trúc hàm này khi f và g là thuần nhất dương:
Mệnh đề 4.8. Nếu f, g là các hàm lồi, thuần nhất dương, chính thường và f(0) = g(0) = 0 thì co (f ∧g) =f ⊕g.
Chứng minh. Do f ∧g thuần nhất dương nên h := co(f ∧g) là hàm lồi, thuần nhất dương. Với mọi x ∈X ta có (f ⊕g)(x)≤ f(x) +g(0) = f(x). Tương tự (f ⊕ g)(x) ≤ g(x) nên f ⊕ g ≤ f ∧ g. Nhưng f ⊕ g lồi nên
f ⊕g ≤ h. Ngược lại, với mọi x, u∈ X ta có
f(u) +g(x−u)≥ h(u) +h(x−u)≥h(x). Vì vậy f ⊕g ≥h.
4.3 Hàm nửa liên tục dưới
Một hàm f :X −→R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu lim inf
x→x0 f(x)≥f(x0).
Nói cách khác, với mọi γ < f(x0) tồn tại lân cận gốc V sao cho
f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x ∈X. Mệnh đề 4.9. Cho f : X −→R, ba phát biểu sau là tương đương
a) f nửa liên tục dưới;
b) C(f;α) đóng, với mọi α ∈ R;
c) epif là tập đóng trong X ×R.
Chứng minh.
(a ⇒ b) Cho (xλ) là dãy trong C(f;α) hội tụ về x. Lúc đó, f(x) ≤
lim inff(xλ)≤ α nên x ∈C(f;α).
(b ⇒ c) Lấy (x, γ) 6∈ epif, ta có f(x) > β > γ suy ra x 6∈ C(f;β). Vì C(f;β) đóng tồn tại lân cận U của x sao cho U ∩C(f;β) = ∅, tức là
V ∩epif = ∅ với V = U ×(−∞, β) là một lân cận của (x, γ). Vậy epif
đóng.
(c ⇒a)Cho x0 ∈ X và γ < f(x0)ta có(x0, γ)6∈ epif. Doepif đóng, tồn tại lân cận gốcV và số dươngεsao cho[(x0+V)×(γ−ε, γ+ε)]∩epif =
∅. Do định nghĩa của tập epif từ đây suy raf(x)> γ với mọi x ∈x0+V. Điều này kết thúc chứng minh.
Từ kết quả này một hàm nửa liên tục dưới còn được gọi làhàm đóng. Hệ quả 4.5. Một hàm lồi, đóng thì cũng đóng theo tôpô yếu.
Chứng minh. Vì mọi tập mức dưới của hàm là lồi đóng nên đóng yếu. Cho f :X −→ R. Ta gọi bao đóng của f là hàm f¯:= fepif. Tức là:
¯
f(x) := inf{γ ∈ R | (x, γ)∈ epif}, x ∈X
và bao lồi đóng của f là hàm cof := cof. Kết quả sau là hiển nhiên: Mệnh đề 4.10. f¯(cof)là hàm đóng(lồi đóng)lớn nhất trong số các hàm đóng (lồi đóng) non hơn f. Hơn nữa, epi ¯f = epif; epi(cof) = co(epif).