ϕ(x) = hx, x∗i+α,
với x∗ ∈ X# và α ∈ R. Lúc đó, ϕ là liên tục khi và chỉ khi x∗ ∈ X∗. Kí hiệu AX là họ tất cả các hàm affine liên tục trên X.
Cho f là một hàm trên X. Ta kí hiệu
A(f) := {ϕ ∈ AX | ϕ≤ f}; L(f) := {x∗ ∈X∗ | x∗ ≤ f}.
Định lí 4.14. Giả sử f chính thường. Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi
f = sup
ϕ∈A(f)
ϕ.
f
Hình 4.5. Hàm lồi đóng chính thường là cận trên của một họ hàm affine
Chứng minh. Ta chỉ cần kiểm chứng điều kiện cần bởi mọi hàm thuộc
A(f) đều lồi đóng. Vì bất đẳng thức “≥” là hiển nhiên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức ngược lại. Cụ thể, ta chứng minh với mọi x0 ∈ X và
α < f(x0) tồn tại ϕ ∈ A(f) sao cho ϕ(x0) > α. Do epif lồi đóng và (x0, α)6∈epif, tồn tại (x∗, β)∈X∗×R tách mạnh (x0, α) và epif:
102 4.5. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine
=⇒ hx, x∗i+βγ <hx0, x∗i+βα−ε, ∀x∈ domf, γ ≥ f(x). (4.5) Cố định x ∈domf và cho γ →+∞ ta thấy β ≤ 0. Xét ba trường hợp:
i) β <0: Thay γ = f(x) và với biến đổi nhỏ ta có
f(x)> hx0 −x, x
∗i −ε
β +α =: ϕ(x), ∀x∈ domf.
Như vậy ϕ ∈ A(f), hơn nữa ϕ(x0) = −βε +α > α.
ii) x0 ∈ domf: Thay x = x0 vào (4.5) ta chứng minh được β < 0 và trở lại trường hợp i). Cũng từ đây cho thấy nếu domf 6=∅ thì A(f)6= ∅.
iii) x0 6∈ domf và β = 0: Lúc đó
hx−x0, x∗i+ε <0; ∀x∈ domf.
Chú ý rằng, do A(f)6= ∅, tồn tại hàm affine ϕ(x) = hx, x∗
1i+α1 ≤ f(x) với mọi x∈ domf. Với số nguyên dương n tùy ý ta đặt
ϕn(x) =ϕ(x) +nhx−x0, x∗i+nε.
Dễ thấy ϕn ∈ A(f). Hơn nữa, nếu chọn n đủ lớn ta có ϕn(x0)> α.
Hệ quả 4.8. Cho f : X −→R. Lúc đó,
cof = sup
ϕ∈A(f)
ϕ. (4.6)
Chứng minh. Vì cof ≤ f < +∞ nên từ Mệnh đề 4.11 suy ra cof hoặc chính thường hoặc đồng nhất bằng −∞. Nếu hàm này chính thường thì
cof = sup ϕ∈A(cof) ϕ = sup ϕ∈A(f) ϕ. Nếu cof ≡ −∞ thì A(f) = A(cof) = ∅, và (4.6) vẫn đúng.
Hệ quả 4.9. Cho f là hàm lồi, đóng, chính thường trên X. Lúc đó, tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho hàm g(x) := hx, x∗i −f(x) bị chặn trên.
Chứng minh. Từ Định lí 4.14 suy ra A(f) 6= ∅. Tức là tồn tại x∗ ∈ X∗
và α ∈ R sao cho hx, x∗i − α ≤ f(x) với mọi x. Lúc đó hàm g(x) =
hx, x∗i −f(x) bị chặn trên bởi α.
Hệ quả 4.10. Cho f là hàm chính thường. Lúc đó, f lồi, đóng, thuần nhất dương khi và chỉ khi
f = sup
x∗∈L(f)
x∗. (4.7)
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh điều kiện cần. Giả sử f lồi, đóng chính thường, thuần nhất dương (lúc đó f(0) = 0!). Ta sẽ chỉ ra rằng với mỗi
ϕ ∈ A(f) tồn tại x∗ ∈ L(f) sao cho x∗ ≥ ϕ, từ đó, kết hợp Định lí 4.14
ta có điều phải chứng minh. Thật vậy, nếu ϕ(x) =hx, x∗i+α ≤f(x) với mọi x ∈ X, thì ta cũng có hnx, x∗i+α ≤ f(nx) = nf(x) với mọi x ∈ X
vàn∈ N∗. Chia hai vế cho n và cho n→ ∞ ta nhận được hx, x∗i ≤ f(x). Nghĩa là x∗ ∈ L(f). Mặt khác α = ϕ(0) ≤ f(0) = 0 nên ϕ ≤ x∗, hệ quả được chứng minh.