Gauss
Trong suôt múc này ta giạ thiêt D là moơt mieăn nguyeđn với phaăn tử đơn vị là 1 và dùng kí hieơu D* đeơ chư taơp hợp D – {0}.
6.1 Các định nghĩa
hai phaăn tử cụa
• Cho a, b là D. Ta nói raỉng a là ước cụa b (hoaịc a chia hêt b,
ụa a, hoaịc b chia hêt cho a), kí hieơu a | b nêu toăn tái moơt phaăn tử c
lieđn kêt với nhau ∼ | b và b |
ươ khi đó a được gĩi là ||
ođng khạ nghịch và khođng lieđn kêt với b. Như vaơy các phaăn tử khạ nghịch và các hoaịc b là boơi c
∈ D sao cho b = ac.
• Nêu a ∈ D* là ước cụa đơn vị (tức là a | 1) thì a được gĩi là phaăn tử khạ nghịch cụa D.
Hai phaăn tử a, b D∈ * gĩi là , kí hieơu a b, nêu a
•
a.
• Cho a là ùc cụa b, ước thực sự cụa b, kí hieơu a b nêu a h
k
phaăn tử lieđn kêt với b khođng là ước thực sự cụa b, còn các ước khác cụa b là ước thực sự cụa b.
VÍ DÚ: Trong vành nguyeđn 9, các phaăn tử khạ nghịch là ± 1. Phaăn tử a lieđn kêt với phaăn tử b khi và chư khi a = ± b. Sô nguyeđn 8 có các ước thực sự là 2, 4
òn ±1, ±8 khođng phại làước thực sự cụa 8. ± ±
• Phaăn tử p ∈ D* được gĩi là phaăn tử nguyeđn tô nêu p khođng khạ nghịch và thỏa mãn tính chât : p | ab kéo theo p | a hoaịc p | b.
Phaăn tử p D∈ * được gĩi là phaăn tử bât khạ qui nêu p khođng khạ nghịch và
•
khođng có ước thực sự . Nói khác đi, p ∈ D* là bât khạ qui nêu p khođng khạ nghịch ø thỏa mãn tính chât : p = ab kéo theo a | 1 hoaịc b | 1.
Nêu d i gĩi là ước chung cụa các phaăn tử a1
g d
chât
va
| a với mĩi i = 1, 2, …, n thì d được
•
, a2, …, an. Phaăn tử d được gĩi là ước chung lớn nhât cụa a1 , a2, …, an nêu d là ước chung cụa a1 , a2, …, an và mĩi ước chung khác cụa a1 , a2, …, an đeău là ước cụa d. Ta cũn sử úng kí hieơu ( a1, a2, …, an) đeơ chư ước chung lớn nhât cụa a1 , a2, …, an.
NHAƠN XÉT : Hai ước chung lớn nhât cụa a1, a2, …, an là lieđn kêt.
• Các phaăn tử a1 , a 2, …, an được gĩi là nguyeđn tô cùng nhau nêu chúng nhaơn 1 làm ước chung lớn nhât.
6.2 Các tính | a và a | 0 với mĩi a D. 1) a ∈ 2) 1 | a với mĩi a ∈ D 3) Nêu a | b và b | c thì a | c. 4) Nêu a b thì a bc. | | 5) Nêu a | b và c | d thì ac | bd.
6) Nêu a | bi với mĩi i = 1, 2, …, n thì a | ∑mibi , m
= n
1 i
i ∈ D. 7) Nêu a khạ nghịch thì a | b với mĩi b ∈ D*.
8) Nêu tích a1a2 … an khạ nghịch thì từng nhađn tử cụa nó cũng khạ nghịch.
0) Hai phaăn tử lieđn kêt với nhau khi và chư khi chúng sai khác nhau moơt nhađn tử ) Hai phaăn tử khạ nghịch thì lieđn kêt.
12) Nêu p là bât khạ qui thì các ước cụa p hoaịc là khạ nghịch hoaịc là lieđn kêt với p. hạ qui.
b
9) Quan heơ lieđn kêt là moơt quan heơ tương đương. 1
khạ nghịch. 11
13) Mĩi phaăn tử nguyeđn tô đeău bât k
14) < b > ⊂ < a > ⇔ a | b (< b > là ideal sinh bởi b) 15) < b > = < a > ⇔ a ∼
16) < b > = D ⇔ b | 1
Từ tính chât 1) đe ân 9) là deê dàng suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh từ 10) đên 0) Giạ sử a ~ b, tức là a | b và b | a, suy ra b = am và a = bn, từ đó b = bmn, suy û b = am với m là khạ a chúng. hi đó, aa–1 = 1 = bb–1, suy ra a = b b–1a và b = aa–1b, tức là a | b và b | a, hay a ~
û nghịch thì b phại khạ nghịch, gĩi b–1 là nghịch đạo cụa b, hi đó ta có a = pb–1, tức là a | p và p | a, hay a p.
3)Giạ sử p = ab, suy ra p | ab. Vì p là nguyeđn tô neđn p | a hoaịc p | b. Nêu p | a u = 1, suy ra b |1. Tương tự nêu p | b thì a | 1.
16). 1
ra mn = 1, vaơy m và n là khạ nghịch. Ngược lái, giạ sư nghịch, khi đó ta cũng có a = bm–1, tức là a | b và b | a, hay a ~ b.
11) Giạ sử a, b là khạ nghịch và gĩi a–1, b–1 laăn lượt là các nghịch đạo cụ K
b.
12) Giạ sử a là ước cụa p, tức là ta có p = ab. Vì p là bât khạ qui neđn a | 1 hoaịc b |
1. Do đó, nêu a khođng kha
k ~
1
, tức là a = pu = abu, thì b
14) Giạ sử < b > ⊂ < a >, khi đó b ∈ < a > neđn b = xa với x ∈ D nào đó, suy ra = bx = rx, tức là t < a >. Vaơy < b > ⊂
a | b. Ngược lái giạ sử a | b. Gĩi t là phaăn tử bât kì cụa < b >, khi đó ta có t
a ∈ < a >.
15) và 16) suy ra trực tiêp từ 14) với chú ý raỉng < 1 > = D.
6.3 Vành chính
• Mieăn nguyeđn D được gĩi là vành chính nêu mĩi ideal cụa D đeău là ideal chính. VÍ h chính. Thaơt vaơy giạ sử I là moơt ideal cụa 9 . Nêu I = 0} thì I = < 0 >. Nêu I ≠ {0} thì nó chứa ít nhât moơt sô nguyeđn dương (vì có a, –
yeđn bât kì trong I. Chia y cho n ta được y = nq + r, 0 DÚ: ( 9, +, •) là vàn
•
{
a∈I với a ≠ 0). Gĩi n là sô nguyeđn dương bé nhât trong I. Khi đó ta có I = n9 .
Th ơt vaơy, giạ sử y là sô ngua ≤
r < n. Vì (I ,+) là nhóm con neđn r = y – nq ∈ I. Do tính bé nhât cụa n suy ra r = 0. o ưùc ngược lái n9 ⊂ I là hieơn nhieđn.
Vaơy y = nq , tức là I ⊂ n9 . Ba hàm th
6.4 Định líù
Trong moơt vành chính D, ƯCLN d cụa n phaăn tử a1, a2, ..., an bât kì luođn luođn toăn
hứng minh: Đaịt J = < a1 ,..., an > = { x1a1 +...+ xnan ; với xi ∈ D}.Vì D là vành tái.
C
chính neđn toăn tái d∈D sao cho J = < d >, thê thì toăn tái những si ∈ D sao cho d = s1 a1 +...+ sn an
Ta có d là ước chung cụa a1 ,...,an, thaơt vaơy, vì ai = 0a1 +…+ 1ai +...+ 0an ∈ J neđn ai ∈ < d >, và do đó d | ai .
Giạ sử c là moơt ước chung cụa a1 ,...,an, tức là ai = cui với ui ∈ D. Từ đó d = s1 a1 +...+ sn an = (s1 u1 + s2 u2 +…+sn un)c .
Suy ra c | d, và do đó d là ƯCLN cụa a1, a2, ..., an
6.5 Định lí
Trong moơt vành chính D ta có
1) Nêu e là ƯCLN cụa a1, a2, ..., an thì toăn tái các xi ∈ D sao cho
e = x1 a1 +...+ xn an
) Các phaăn tử a , a , ..., a là nguyeđn tô cùng nhau khi
2 1 2 n và chư khi toăn tái các
1 1 +...+ xn n
xi ∈ D sao cho
x a a = 1.
3) Nêu c | ab mà c và a là nguyeđn tô cùng nhau thì c | b .
4) Nêu p là bât khạ qui thì với bât kì a ∈ D* ta có hoaịc p | a hoaịc p và a là guyeđn tô cùng nhau.
n
5) Khái nieơm phaăn tử bât khạ qui và khái nieơm nguyeđn tô là trùng nhau.
hứng minh :
e = dv = vs1 a1 +...+ vsn an = x1 a1 +...+ xn an, với xi = vsi.
ts + br)c, tức là c | b. ) Vì p là bât khạ qui neđn các ước cụa p hoaịc là phaăn tử khạ nghịch hoaịc là
rường ợp đaău p và a là nguyeđn tô cùng nhau. Trong trường hợp sau p | a.
guyeđn tô.
C
1) Xét ƯCLN d cụa cụa a1, a2, ..., an cụa định lí 6.4, d = s1 a1 +...+ sn an (1)
Khi đó d lieđn kêt với e, từ đó có moơt phaăn tử khạ nghịch v sao cho e = dv. Nhađn hai vê cụa (1) với v ta được:
2) Suy ra trực tiêp từ 1)
3) Theo 2) toăn tái r, s ∈ D sao cho 1 = as + cr, suy ra b = bas +bcr. Maịt khác vì c | ab neđn toăn tái t đeơ ab = ct. Do đó b = cts + bcr = (
4
lieđn kêt với p. Do đó (p, a) chư có theơ khạ nghịch hoaịc lieđn kêt với p. Trong t h
5) Ta đã có nêu p nguyeđn tô thì p bât khạ qui. Bađy giờ giạ sử p là bât khạ qui và p |
ab. Theo 4) ta có hoaịc p | a hoaịc (p, a) =1. Nhưng nêu (p, a) = 1 thì ta có do 3) p |
6.6 Vành Euclide
Moơt vành nguyeđn D được gĩi là vành Euclide nêu toăn tái moơt ánh xá g :
•
D*→ ∠ thỏa các đieău kieơn
1) g(ab) ≥ g(a) với mĩi a, b ∈ D* ; ) Với mĩi a, b∈ D và b ≠ 0 toăn tái q, r
2 ∈ D sao cho
aịc g(r) < g(b).
. Phép chia gĩi là chia hêt nêu r = 0.
6.7 Định lí
a = bq + r với r = 0 ho
Đieău kieơn 2) là đieău kieơn xác định phép chia có dư cụa phaăn tử a cho phaăn tử b ≠ 0, được gĩi là phaăn dư cụa phép chia
r
• VÍ DÚ: (9 ,+, • ) là vành Euclide, ánh xá g trong trường hợp này được xác định bởi g(n) = |n| .
ong taơp g( I* ) (ở đađy g là ánh xá trong định nghĩa 6.6, và I* = Mĩi vành Euclide đeău là vành chính
Chứng minh: Ta chứng minh mĩi ideal I cụa vành Euclide D là chính. Thaơt vaơy,
nêu I = {0 } thì I là Ideal sinh bởi 0. Giạ sử I ≠ {0} . Gĩi a là phaăn tử khác 0 cụa I ao cho g(a) bé nhât tr
s
I – {0}). Ta sẽ chư ra I = < a >. Thaơt vaơy, gĩi x là moơt phaăn tử bât kì cụa I. Vì D là vành Euclide neđn toăn tái q, r ∈ D sao cho x = aq + r với r = 0 hoaịc g(r) < g(a). Do a, x ∈ I neđn r = x – aq ∈ I. Nêu r ≠ 0 thì ta có r ∈ I* và g(r) < g(a). Nhưng đieău này trái với tính chât cụa phaăn tử a . Vaơy phại có r = 0, suy ra x = aq < a >, từ
đó a >. Bao hàm ngược lái là hieơn nhieđn. NHAƠN XÉT: Từ 6.4 và 6.7 ta thây trong vành Euclide hai phaăn tử bât kì đeău có
trong vành Euclide ta còn có theơ chư ra thuaơt tóan đeơ tìm UCLN đó. hú ý raỉng trong moơt vành chính D nêu có a = bq + r
∈
I ⊂ <
UCLN. Nhưng
Đeơ làm đieău này trước hêt ta c thì (a, b) = (b, r). Thaơt vaơy, đaịt I = <a, b> = {xa + yb, x, y
∈ D} và J = < b, r > = {xb + yr, x, y ∈ D}.
I, do đó J ⊂ I. = (a, b) = (b, r). Bađy giờ ta sẽ hai phaăn t
6.8 Thuaơt tóan tìm ƯCLN
Từ a = bq + r suy ra a J, do đó I ∈ ⊂ J. Từ r = a – bq suy ra r ∈
Vaơy I = J. Như chứng minh trong định lí 6.4 ta có d
D là vành Euclide, neđn toăn tái ánh xá g : D*→ ∠ thỏa hai đieău kieơn trong 6.6. Giạ sử a, b∈D. Nêu a, b = 0 thì (a,b) = 0, nêu a = 0, b ≠ 0 thì (a, b) = b . Ta chư còn xét cho trường hợp a, b ≠ 0. Thuaơt toán là moơt quá trình thực hieơn lieđn tiêp các phép chia:
. Bước 1: Chia a cho b a = bq0 + r0, r0 = 0 hoaịc g(r0) < g(b) Nêu r0 = 0 thì dừng. Nêu r0 ≠ 0 thì đi đên bước 2
. Bước 2: Chia b cho r0 b = r0q1 + r1, r1 = 0 hoaịc g(r1) < g(r0) . . .
sô hữu hán bước vì dãy các sô heơ giạm vođ hán. Giạ sử đên o nhaơn xét ở tređn suy ra ƯCLN cụa Nêu r1 = 0 thì dừng. Nêu r1≠ 0 , thì đi đên bước 3
. . .
. Bước n : Chia rn–1 cho rn rn–1 = rn qn+1 + rn+1, rn+1 = 0 hoaịc g(rn+1) < g(rn) Quá trình chia như vaơy phại châm dứt sau moơt
tự nhieđn g(b) > g(r0) > … > g(ri) >… ≥ 0 khođng t bước n nào đó ta có rn+1 = 0 và rn≠ 0, thì the
a và b là rn.
6.9 Vành Gauss (Vành nhađn tử hóa)
• Moơt vành nguyeđn D được gĩi là vành Gauss hay vành nhađn tử hóa nêu và chư âu moêi phaăn tử p khác 0 và khođng khạ nghịch cụa nó đeău phađn tích được thành
oơt phaăn tử khạ nghịch.
CHÚ Ý: Khi phađn tích moơt phaăn tử p thành tích các nhađn tử bât khạ qui, moơt vài ïng lũy thừa thì sẽ dăn đên dáng
ïc gĩi là thỏa đieău kieơn ƯCLN nêu hai phaăn tử bât kì cụa
n 2 1 3 2 . , an || an-1...
đeău dừng laiï, tức là toăn tái moơt chư sô m sao cho am = am+1 =. . . ne
tích những phaăn tử bât khạ qui
p = p1 p2 … pn
và sự phađn tích này là duy nhât khođng keơ đên thứ tự các nhađn tử và các nhađn tử sai khác nhau m
•
hoaịc tât cạ các nhađn tử bât khạ qui đó có theơ giông nhau. Kêt hợp các nhađn tử giông nhau lái và bieơu dieên tích cụa chúng dưới da
sau gĩi là dáng phađn tích chính taĩc p= pk1 1 pk2
2 ….pkm
m .
• VÍ DÚ: Vành sô nguyeđn 9 là vành Gauss.
• Moơt vành nguyeđn đươ nó đeău toăn tái ƯCLN.
• Moơt vành nguyeđn D được gĩi là thỏa mãn đieău kieơn dãy dừng những ước thực sự nêu mĩi dãy a1,..., a ...các phaăn tử cụa D sao cho a || a , a || a ,..
6.10 Định lí
Moơt mieăn nguyeđn là vành Gauss nêu và chư nêu nó thỏa mãn đieău kieơn ƯCLN và đieău kieơn dãy dừng các ước thực sự .
Chứng minh:
(⇒) Giạ sử D là vành Gauss.
Đieău kieơn ƯCLN: Với mĩi a, b ∈ D*, gĩi {p ,...,p } là taơp hợp tât
. 1 k cạ các phaăn tử
ât kha quy k tích cụa a và cụa b. Ta có
b û hác nhau trong sự phađn
a ∼ 1 k k 1 p pα ⋅ ⋅⋅ α với αi ≥ 0. b ∼ 1 k k 1 p pβ ⋅ ⋅⋅ β với βi ≥ 0.
Vì moêi ước cụa a đeău có dáng u. ; với 0 ≤γi ≤ αi ,và moêi ước cụa b đeău có dáng tương tự với 0 ≤γj≤ βj . Neđn
(a, b) = k 1 k 1 p pγ ⋅ ⋅⋅ γ k 1 k 1 p pλ λ ⋅ ⋅⋅ với i = Min(αi ,βi)
và c là những ước thực sự thì ta sẽ được sự phađn tích cụa a oơt tích những phaăn tử bât khạ qui baỉng cách nhađn các phađn tích tương ứng thì l(b) < l(a). êu dãy a ,a , ..., a ,... các phaăn tử cụa D sao cho a2 || a1, a3 || a2 ,... , an || an-1... ô nguyeđn dương l(a1) > l(a2) ...> l(a ) > ... 0, và đieău này dăn đên mađu thuaơn.
) Cho D là mieăn nguyeđn thỏa các đieău kieơn ƯCLN và dãy dừng các ước thực
. . . .
Baỉng cách laơp luaơn như vaơy, sau moơt sô hữu hán bước, ta sẽ tìm được moơt ước bât khạ qui cụa a, vì nêu khođng, thì dãy các ước thực sự a1,...,an ... sẽ khođng dừng, và đieău này mađu thuăn với giạ thiêt.
• Theo lí luaơn tređn thì a có ít nhât moơt ước bât khạ qui, giạ sử
λ
. Đieău kieơn dãy dừng các ước thực sự : Giạ sử a∈ D, a khác 0 và khođng khạ nghịch. Đaịt l(a) là sô các nhađn tử trong sự phađn tích a thành tích các phaăn tử bât khạ qui. Nêu a = bc, với b
thành m
cụa b và c với nhau. Suy ra raỉng l(a) = l(b) + l(c).Vì vaơy nêu b || a
N 1 2 n
khođng dừng lái thì ta sẽ có moơt dãy giạm vođ hán các s
≥
> n
(⇐
sự.
• Giạ sử a là moơt phaăn tử cụa D khác 0 và khođng khạ nghịch. Khi đó a có ít nhât moơt ước là phaăn tử bât khạ qui, thaơt vaơy
. Nêu a là bât khạ qui (đã chứng minh xong).
. Nêu a là khạ qui, tức là a có moơt ước thực sự là a1. . Nêu a1 là bât khạ qui (đã chứng minh xong).
a = p1a1 v qui
ì cũng ređn
= p2 a2 với p2 bât khạ qui
êu a2 khođng khạ nghịch thì cũng eo tređn a2 = p3 a3 với p3 bât khạ qui