CHƯƠNG 2 : SƠ HĨC TREĐN 9
6. Sơ hĩc tređn vành nguyeđ n Vành chính Vành Euclide Vành Gauss
6.1 Các định nghĩa
hai phaăn tử cụa
• Cho a, b là D. Ta nói raỉng a là ước cụa b (hoaịc a chia hêt b,
ụa a, hoaịc b chia hêt cho a), kí hiu a | b nêu toăn tái mt phaăn tử c
lieđn kêt với nhau ∼ | b và b |
ươ khi đĩ a được gĩi là ||
ođng khạ nghịch và khođng lieđn kêt với b. Như vy các phaăn tử khạ nghịch và các hoaịc b là bi c
∈ D sao cho b = ac.
• Nêu a ∈ D* là ước cụa đơn vị (tức là a | 1) thì a được gĩi là phaăn tử khạ
nghịch cụa D.
Hai phaăn tử a, b D∈ * gĩi là , kí hiu a b, nêu a
•
a.
• Cho a là ùc cụa b, ước thực sự cụa b, kí hiu a b nêu a
h k
phaăn tử lieđn kêt với b khođng là ước thực sự cụa b, cịn các ước khác cụa b là ước thực sự cụa b.
VÍ DÚ: Trong vành nguyeđn 9, các phaăn tử khạ nghịch là ± 1. Phaăn tử a lieđn kêt với phaăn tử b khi và chư khi a = ± b. Sô nguyeđn 8 cĩ các ước thực sự là 2, 4
òn ±1, ±8 khođng phại là ước thực sự cụa 8. ± ±
• Phaăn tử p ∈ D* được gĩi là phaăn tử nguyeđn tơ nêu p khođng khạ nghịch và thỏa mãn tính chât : p | ab kéo theo p | a hoaịc p | b.
Phaăn tử p D∈ * được gĩi là phaăn tử bât khạ qui nêu p khođng khạ nghịch và
•
khođng cĩ ước thực sự . Nĩi khác đi, p ∈ D* là bât khạ qui nêu p khođng khạ nghịch ø thỏa mãn tính chât : p = ab kéo theo a | 1 hoaịc b | 1.
Nêu d i gĩi là ước chung cụa các phaăn tử a1
g d
chât
va
| a với mĩi i = 1, 2, …, n thì d được •
, a2, …, an. Phaăn tử d được gĩi là ước chung lớn nhât cụa a1 , a2, …, an nêu d là ước chung cụa a1 , a2, …, an và mĩi ước chung khác cụa a1 , a2, …, an đeău là ước cụa d. Ta cũn sử úng kí hiu ( a1, a2, …, an) đeơ chư ước chung lớn nhât cụa a1 , a2, …, an.
NHN XÉT : Hai ước chung lớn nhât cụa a1, a2, …, an là lieđn kêt.
• Các phaăn tử a1 , a 2, …, an được gĩi là nguyeđn tơ cùng nhau nêu chúng nhn 1
làm ước chung lớn nhât.
6.2 Các tính | a và a | 0 với mĩi a D. 1) a ∈ 2) 1 | a với mĩi a ∈ D 3) Nêu a | b và b | c thì a | c. 4) Nêu a b thì a bc. | | 5) Nêu a | b và c | d thì ac | bd.
6) Nêu a | bi với mĩi i = 1, 2, …, n thì a | ∑mibi , m
= n
1 i
i ∈ D.
7) Nêu a khạ nghịch thì a | b với mĩi b ∈ D*.
8) Nêu tích a1a2 … an khạ nghịch thì từng nhađn tử cụa nĩ cũng khạ nghịch.
0) Hai phaăn tử lieđn kêt với nhau khi và chư khi chúng sai khác nhau mt nhađn tử ) Hai phaăn tử khạ nghịch thì lieđn kêt.
12) Nêu p là bât khạ qui thì các ước cụa p hoaịc là khạ nghịch hoaịc là lieđn kêt với p. hạ qui.
b
9) Quan h lieđn kêt là mt quan h tương đương. 1
khạ nghịch. 11
13) Mĩi phaăn tử nguyeđn tơ đeău bât k
14) < b > ⊂ < a > ⇔ a | b (< b > là ideal sinh bởi b) 15) < b > = < a > ⇔ a ∼
16) < b > = D ⇔ b | 1
Từ tính chât 1) đe ân 9) là d dàng suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh từ 10) đên 0) Giạ sử a ~ b, tức là a | b và b | a, suy ra b = am và a = bn, từ đĩ b = bmn, suy û b = am với m là khạ a chúng. hi đĩ, aa–1 = 1 = bb–1, suy ra a = b b–1a và b = aa–1b, tức là a | b và b | a, hay a ~
û nghịch thì b phại khạ nghịch, gĩi b–1 là nghịch đạo cụa b, hi đĩ ta cĩ a = pb–1, tức là a | p và p | a, hay a p.
3) Giạ sử p = ab, suy ra p | ab. Vì p là nguyeđn tơ neđn p | a hoaịc p | b. Nêu p | a u = 1, suy ra b |1. Tương tự nêu p | b thì a | 1.
16). 1
ra mn = 1, vy m và n là khạ nghịch. Ngược lái, giạ sư nghịch, khi đĩ ta cũng cĩ a = bm–1, tức là a | b và b | a, hay a ~ b.
11) Giạ sử a, b là khạ nghịch và gĩi a–1, b–1 laăn lượt là các nghịch đạo cụ K
b.
12) Giạ sử a là ước cụa p, tức là ta cĩ p = ab. Vì p là bât khạ qui neđn a | 1 hoaịc b | 1. Do đĩ, nêu a khođng kha
k ~
1
, tức là a = pu = abu, thì b
14) Giạ sử < b > ⊂ < a >, khi đĩ b ∈ < a > neđn b = xa với x ∈ D nào đĩ, suy ra
= bx = rx, tức là t < a >. Vaơy < b > ⊂
a | b. Ngược lái giạ sử a | b. Gĩi t là phaăn tử bât kì cụa < b >, khi đĩ ta cĩ t
a ∈ < a >.
15) và 16) suy ra trực tiêp từ 14) với chú ý raỉng < 1 > = D.
6.3 Vành chính
• Mieăn nguyeđn D được gĩi là vành chính nêu mĩi ideal cụa D đeău là ideal chính.
VÍ h chính. Tht vy giạ sử I là moơt ideal cụa 9 . Nêu I =
0} thì I = < 0 >. Nêu I ≠ {0} thì nĩ chứa ít nhât mt sơ nguyeđn dương (vì cĩ a, – yeđn bât kì trong I. Chia y cho n ta được y = nq + r, 0 DÚ: ( 9, +, •) là vàn
•
{
a∈I với a ≠ 0). Gĩi n là sơ nguyeđn dương bé nhât trong I. Khi đĩ ta cĩ I = n9 .
Th ơt vy, giạ sử y là sơ ngua ≤
r < n. Vì (I ,+) là nhĩm con neđn r = y – nq ∈ I. Do tính bé nhât cụa n suy ra r = 0.
o ưùc ngược lái n9 ⊂ I là hieơn nhieđn. Vaơy y = nq , tức là I ⊂ n9 . Ba hàm th
6.4 Định líù
Trong mt vành chính D, ƯCLN d cụa n phaăn tử a1, a2, ..., an bât kì luođn luođn toăn
hứng minh: Đaịt J = < a1 ,..., an > = { x1a1 +...+ xnan ; với xi ∈ D}.Vì D là vành
tái.
C
chính neđn toăn tái d∈D sao cho J = < d >, thê thì toăn tái những si ∈ D sao cho
d = s1 a1 +...+ sn an
Ta cĩ d là ước chung cụa a1 ,...,an, tht vy, vì ai = 0a1 +…+ 1ai +...+ 0an ∈ J neđn ai ∈ < d >, và do đĩ d | ai .
Giạ sử c là mt ước chung cụa a1 ,...,an, tức là ai = cui với ui ∈ D. Từ đĩ
d = s1 a1 +...+ sn an = (s1 u1 + s2 u2 +…+sn un)c .
Suy ra c | d, và do đĩ d là ƯCLN cụa a1, a2, ..., an
6.5 Định lí
Trong mt vành chính D ta cĩ
1) Nêu e là ƯCLN cụa a1, a2, ..., an thì toăn tái các xi ∈ D sao cho
e = x1 a1 +...+ xn an
) Các phaăn tử a , a , ..., a là nguyeđn tơ cùng nhau khi
2 1 2 n và chư khi toăn tái các
1 1 +...+ xn n
xi ∈ D sao cho
x a a = 1.
3) Nêu c | ab mà c và a là nguyeđn tơ cùng nhau thì c | b .
4) Nêu p là bât khạ qui thì với bât kì a ∈ D* ta có hoaịc p | a hoaịc p và a là guyeđn tơ cùng nhau.
n
5) Khái nim phaăn tử bât khạ qui và khái nim nguyeđn tơ là trùng nhau.
hứng minh :
e = dv = vs1 a1 +...+ vsn an = x1 a1 +...+ xn an, với xi = vsi.
ts + br)c, tức là c | b. ) Vì p là bât khạ qui neđn các ước cụa p hoaịc là phaăn tử khạ nghịch hoaịc là
rường ợp đaău p và a là nguyeđn tơ cùng nhau. Trong trường hợp sau p | a.
guyeđn tô.
C
1) Xét ƯCLN d cụa cụa a1, a2, ..., an cụa định lí 6.4, d = s1 a1 +...+ sn an (1)
Khi đĩ d lieđn kêt với e, từ đĩ cĩ mt phaăn tử khạ nghịch v sao cho e = dv. Nhađn hai vê cụa (1) với v ta được:
2) Suy ra trực tiêp từ 1)
3) Theo 2) toăn tái r, s ∈ D sao cho 1 = as + cr, suy ra b = bas +bcr. Maịt khác
vì c | ab neđn toăn tái t đeơ ab = ct. Do đó b = cts + bcr = ( 4
lieđn kêt với p. Do đĩ (p, a) chư cĩ theơ khạ nghịch hoaịc lieđn kêt với p. Trong t h
5) Ta đã cĩ nêu p nguyeđn tơ thì p bât khạ qui. Bađy giờ giạ sử p là bât khạ qui và p | ab. Theo 4) ta có hoaịc p | a hoaịc (p, a) =1. Nhưng nêu (p, a) = 1 thì ta cĩ do 3) p | b . Vy p là n
6.6 Vành Euclide
Mt vành nguyeđn D được gĩi là vành Euclide nêu toăn tái mt ánh xá g :
•
D*→ ∠ thỏa các đieău kieơn
1) g(ab) ≥ g(a) với mĩi a, b ∈ D* ; ) Với mĩi a, b∈ D và b ≠ 0 toăn tái q, r
2 ∈ D sao cho
aịc g(r) < g(b).
. Phép chia gĩi là chia hêt nêu r = 0.
6.7 Định lí
a = bq + r với r = 0 ho
Đieău kin 2) là đieău kin xác định phép chia cĩ dư cụa phaăn tử a cho phaăn tử b ≠ 0, được gĩi là phaăn dư cụa phép chia
r
• VÍ DÚ: (9 ,+, • ) là vành Euclide, ánh xá g trong trường hợp này được xác định
bởi g(n) = |n| .
ong taơp g( I* ) (ở đađy g là ánh xá trong định nghĩa 6.6, và I* = Mĩi vành Euclide đeău là vành chính
Chứng minh: Ta chứng minh mĩi ideal I cụa vành Euclide D là chính. Tht vy,
nêu I = {0 } thì I là Ideal sinh bởi 0. Giạ sử I ≠ {0} . Gĩi a là phaăn tử khác 0 cụa I ao cho g(a) bé nhât tr
s
I – {0}). Ta sẽ chư ra I = < a >. Tht vy, gĩi x là mt phaăn tử bât kì cụa I. Vì D là vành Euclide neđn toăn tái q, r ∈ D sao cho x = aq + r với r = 0 hoaịc g(r) < g(a). Do
a, x ∈ I neđn r = x – aq ∈ I. Nêu r ≠ 0 thì ta cĩ r ∈ I* và g(r) < g(a). Nhưng đieău này trái với tính chât cụa phaăn tử a . Vy phại cĩ r = 0, suy ra x = aq < a >, từ
đĩ a >. Bao hàm ngược lái là hieơn nhieđn. NHN XÉT: Từ 6.4 và 6.7 ta thây trong vành Euclide hai phaăn tử bât kì đeău cĩ
trong vành Euclide ta cịn cĩ theơ chư ra thut tĩan đeơ tìm UCLN đĩ. hú ý raỉng trong mt vành chính D nêu cĩ a = bq + r
∈
I ⊂ <
UCLN. Nhưng
Đeơ làm đieău này trước hêt ta c thì (a, b) = (b, r). Tht vy, đaịt I = <a, b> = {xa + yb, x, y
∈ D} và J = < b, r > = {xb + yr, x, y ∈ D}.
I, do đĩ J ⊂ I. = (a, b) = (b, r). Bađy giờ ta sẽ hai phaăn t