CHƯƠNG 2 : SƠ HĨC TREĐN 9
3. Sự chia hêt tređn tp sơ nguyeđn
3.1 Định nghĩa
• Cho a, b là hai sơ nguyeđn . Ta nĩi raỉng a chia hêt b (hoaịc a là ước cụa b, hoaịc
b chia hêt cho a, hoaịc b là bi cụa a), ký hiu a | b nêu toăn tái mt sơ nguyeđn c
sao cho b = ac.
• Rõ ràng là a | 0 với mĩi sơ nguyeđn a, và 0 | a khi và chư khi a = 0
3.2 Tính chât ( a, b, c, d là các sơ nguyeđn)
thì a = ± b. ) Nêu a | b và b | c thì a | c
) Nêu a | b và a | c thì a | b + c
7) | d thì ac | bd
i = 1, 2, …, n thì a | (bi, mi là các sơ nguyeđn) 1) ± a | a và ±1 | a. 2) Nêu a | 1 thì a = ± 1 3) Nêu a | b và b | a 4 5) Nêu a | b thì a | bc 6 Nêu a | b và c
8) Nêu a | b thì an | bn ( n là sơ tự nhieđn)
∀ ∑ = n 1 i i ib m 9) Nêu a | bi ,
Chứng minh: Vic chứng minh chư là sự kieơm tra đơn giạn từ định nghĩa.
3.3 Định lí ( phép chia Euclide)
Cho a, b là hai sơ nguyeđn với b ≠ 0. Khi đĩ toăn tái duy nhât mt caịp sơ nguyeđn q, r sao cho a = b q + r với 0 ≤ r < |b| .
(q gĩi là thương và r gĩi là dư cu
a h c o
û p ép hia a ch b)
Chứng minh:
• Sự toăn tái. Đaịt S = {n∈9
r ; với r ≥ 0. Maịt khác, vì k = max S neđn k+ 1
: n|b| ≤ a} ⊂ 9, khi đĩ S khác ∅ vì – |a| ∈ S .
S bị chaịn tređn neđn cĩ phaăn tử lớn nhât k. Do k |b | ≤ a neđn a = k | b | +
∉ S, tức là, (k+1) | b | > a. Từ đĩ suy ra k Nêu > thì k | b | = qb, và từ những đieău đã trình bày ở ùi 0 ≤ r < | b |. . Khi đĩ ta cĩ r – = b(q’– q). Vì | r – r’| < | b | neđn | b || q’– q | < | b | hay | q’ - q | < 1. Từ đĩ q’ = q 3 | b | + | b | > k | b | + r hay r < | b |. đaịt q = ⎨⎧ k ⎩− k khi b<0 tređn ta có a = bq + r vơ khi b 0
• Sự duy nhât. Giạ sử a = bq + r ; a = bq’+ r’ với 0 ≤ r, r' < | b |
r’
và r = r' .
.4 Ước chung lớn nhât (ƯCLN)
• Sơ nguyeđn c được gĩi là ước chung cụa n sơ nguyeđn a , a , ..., a nêu c là ước • Sơ nguyeđn c được gĩi là ước chung lớn nhât cụa n sơ nguyeđn a1, a2, ..., an khi
3.5 Định líù
1 2 n
cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n.
và chư khi d là ước chung cụa a1,...,an và nêu c là ước chung bât kỳ cụa a1,...,an thì c là ước d.
• NHN XÉT:
a) Nêu d1 và d2 là các ước chung lớn nhât cụa a1, a2, ..., an thì d1 = ±d2 .
Người ta thường viêt (a1, a2, ..., an ) đeơ chư ước chung lớn nhât khođng ađm cụa n sô nguyeđn a1, a2, ..., an .
b) Rõ ràng raỉng ƯCLN cụa 0 và b là b.
Chư
aịt I = {y : y =
ùng minh :
Nêu a1 = a2 = ... = an = 0 thì rõ ràng (a1, a2, ..., an ) = 0. Giạ sử a1, a2, ..., an khođng đoăng thời baỉng khođng.
∈9 ∑n = x a , x Đ ∈ 9 , i =1,2,…,n} và J = {| y | : y ∈ 1 i i i i I}– {0}. 1 i i ia x I. Ta sẽ chứn n . Tht vy, với mi i ta có ai = qi + ri ; 0 ≤ ri < | d |. Suy ra
J. Từ đĩ suy ra d là ước chung cụa ,...,a . Maịt khác nêu c là ước chung bât kỳ cụa a ,...,a thì c là ước cụa
Vì a1, a2, ..., an khođng đoăng thời baỉng 0 neđn I ≠ {0} và từ đĩ J ≠ ∅. Do J bị haịn dưới, neđn J cĩ sơ nhỏ nhât. Giạ sử | d | = min J với d = n ∈
c ∑
=
g minh d là ước chung lớn nhât cụa a1,..., a d
ri = ai – dqi = (–x1qi )a1 +...+ (– xi–1qi )ai –1 + (1– xi qi )ai +...+(– xnqi )an.
Từ đĩ ri ∈ I với mĩi i = 1, 2, …, n. Ta phại có ri = 0 vì nêu khođng thì ri ∈ J và đieău này mađu thuaơn với | d | là sơ nhỏ nhât cụa
∑ = n 1 i i ia x a1 n 1 n
tức là c là ước cụa d. Vy d là ƯCLN cụa a1,..., an .
3.6 Heơ quạ
a) Nêu e là ước chung lớn nhât cụa a1, a2,..., an thì toăn tái x1, x2, ...,xn ∈ 9 sao cho = x1a1 + x2a2 +...+ xnan.
cho e =
1a1 + x2a2 +...+ xnan thì e là ước chung lớn nhât cụa a1, a2,..., an.
= d neđn ta cĩ đieău phại chứng minh.
n thì c là ước cụa tức là c e
b) Nêu e là ước chung cụa a1, a2,..., an và toăn tái x1, x2, ...,xn ∈ 9 sao x
Chứng minh:
a) Xét ước chung lớn nhât d cụa a1, a2,..., an trong chứng minh định lí 1.5. Vì ± e ∑ = n 1 i i ia x
b) Giạ sử c là ước chung bât kỳ cụa a1,...,a
là ước cụa e. Vy e là ƯCLN cụa a1,..., an .
3.7 Định líù
d là ước chung lớn nhât cụa a1, a2, ..., an khi và chư khi d là ước chung lớn nhât ụa (a1,...,an-1) và an .
hứng minh :
Giạ sử d = (a1 ,. . ., an), d1 = ((a1 ,. . ., an-1), an) và m = (a1 ,. . ., an-1). Vì d là ước d là ƯC cụa m và an ; nhưng d1 là ƯCLN cụa m và a neđn d là ước cụa d1. Maịt khác d1 là ƯC cụa m và an neđn d1 là ƯC cụa cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n và do d là là ƯCLN cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n neđn d1
ø ước d. Từ đĩ d1 = d. c
C
cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n neđn
n
la
3.8 Định lí
Giạ sử a, b, q, r là những sơ nguyeđn thỏa mãn h thức a = bq + r. Khi đĩ ƯCLN ụa a và b cũng là ƯCLN cụa b và r.
cũng t ƯC bât kì cụa b và r, khi đĩ vì a = bq + r neđn c
û v
c
Chứng minh: Nêu đaịt d = (a, b) thì d | a và d | b, nhưng vì r = a – bq neđn ta
có d | r và d | b. Giạ sử c là m
cũng là ƯC cua b và a, y c phại là ước cụa d. Từ đĩ d = (b, r).
3.9 Thut tốn tìm ƯCLN cụa hai sơ
Giạ sử muơn tìm ƯCLN cụa hai sơ nguyeđn a và b. Nêu a 0 thì rõ ràng ƯCL= N cụa a lăn b đeău khác 0. Thut tốn là t quá trình thực hin lieđn tiêp các phép chia:
Bước 1: Chia a cho b a = bq0 + r0 với 0 ≤ r0 < | b |. r0q1 + với 0 ≤ r1 < r0 . Nêu r1 = 0 thì dừng. Nêu r2 ≠ 0 , thì đi đên bước 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bước n : Chia rn – 1 cho rn rn–1 = rn qn+1 + rn+1 với 0 ≤ rn+1 < rn .
Quá trình chia như vy phại châm dứt sau mt sơ hữu hán bước vì dãy các sơ tự Giạ sử đên bước n ào đĩ ta cĩ r = 0 và r 0, thì theo định lí 3.8 suy ra ƯCLN cụa a và b là r .
iại: Ta saĩp xêp các phép chia lieđn tiêp như sau:
a và b là b, vì vy ta chư xét cho trường hợp cạ m
•
Nêu r0 = 0 thì dừng. Nêu r0 ≠ 0 thì đi đên bước 2
• Bước 2: Chia b cho r0 b = r1 .
•
nhieđn | b | > r0 > … > ri >… ≥ 0 khođng theơ giạm vođ hán.
n n+1 n≠ n • VÍ DÚ: Tìm ƯCLN cụa 9100 và 1848 G 4 1 12 5 9100 : 1848 : 1708 : 140 : 28 1708 140 28 0 Từ đĩ (9100, 1848) = 28.
4. Sơ nguyeđn tơ cùng nhau.
4.1 Định nghĩa
• Các sơ nguyeđn a1, a2, ..., an được gĩi là nguyeđn tơ cùng nhau nêu chúng nhn
ơ 1 làm ƯCLN. s
• Ta nĩi raỉng các sơ nguyeđn a1, a2, ..., an nguyeđn tơ cùng nhau từng đođi nêu và
chư nêu (ai, aj) = 1 với mĩi i ≠ j.
• NHN XÉT:
1) Nêu các sơ nguyeđn a1, a2, ..., a đ â au từng đođi thì chúng là đĩ
1 2 a3 n 1 2 3 n 3 n
hẳng hán a1 = 3, a2 = 10, a3 = 15. 2) Nêu (a, b) = 1 và c | b thì (a, c) = 1. Tht vy, nêu d
n nguyen to cùng nh
nguyeđn tơ cùng nhau, vì khi
(a , a , , ..., a ) = ((a , a ), a , ..., a ) = (1, a , ..., a ) = 1
Đieău ngược lái nĩi chung khođng đúng, c
∈ ∠ và (d | a, d | c)
ì (d | a, d | b), vaơy d = 1. Từ đĩ suy ra (a, c) = 1.
zout) th 4.2 Định lí (Be 2, ..., xn sao cho 1 i i ia x = 1.
Đieău kin caăn và đụ đeơ các sô nguyeđn a1, a2, ..., an nguyeđn tơ cùng nhau là toăn tái
các sơ nguyeđn x1, x ∑n
=
Chứng minh: Suy ra trực tiêp từ h quạ 1.6
4.3 Định lí (Gauss)
Nêu các sơ nguyeđn a, b, c thỏa mãn a | bc và (a, b) = 1 thì a | c.
Chư và a | bc. Theo định lí Bezout, toăn tái hai sơ nguyeđn x
c axc + byc. Vì a | axc và a | byc neđn a |c.
ùng minh: Giạ sử (a, b) = 1
và y sao cho ax + by = 1. Suy ra =
4.4 Định lí
Cho x, a1, a2, …, a là các sơ nguyeđn khác 0. Khi đĩ n
((x, ai) = 1, với mĩi i {1, 2, …, n}) ⇔ ( x, ∈ ∏n
= a ) = 1
ử (x, a1) = (x, a2). Theo định lí Bezout, toăn tái u1, v1, u2,
2 1 1 1 2 + a2v2 = 1. Khi đĩ (x, a1 a2) = 1 vì
2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 i
i
Chứng minh:
(⇒) Ta chứng minh baỉng cách qui náp theo n. Với n = 1 thì khẳng định là hieơn nhieđn. Đơi với n = 2, giạ s
∈ 9 sao cho xu + a v = 1 và xu
v
Vy, khẳng định đúng với n = 2. Bađy giờ, giạ thiêt khẳng định đúng với n và giạ sử a1, a2, …, an+1 ∈ 9 sao cho (x, ai) = 1, với mĩi i∈ {1, 2, …, n, n +1}. Thê thì (x, ai)
, ( x, ) = 1, roăi theo kêt ( x, ∏ = n 1 i i a
= 1, với mĩi i∈ {1, 2, …, n} và theo giạ thiêt qui náp
quạ khạo sát cho trường hợp n = 2 ta cĩ ∏+1 n ∏n = a ) = ( x, = a .an+1) = 1 1 i i 1 i i (⇐) Nêu ( x, ∏n =1 i i
a ) = 1 thì theo nhn xét 2) trong múc 4.1 suy ra (x, ai) = 1.
5 Bi chung nhỏ nhât (BCNN)
5.1 Định nghĩa :
, n.
• Sơ nguyeđn d được gĩi là bi chung nhỏ nhât (BCNN) cụa n sô nguyeđn a1,...,an
khi và chư khi d là bi chung cụa a
) Nêu d , d là các bi chung nhỏ nhât cụa a ,...,a thì d = d . Vaơy boơi chung
1,...,an] đeơ chư bi chung nhỏ nhât khođng ađm cụa a1,...,an .
2) B b là 0.
5.2 Mnh đeă
• Sơ nguyeđn c được gĩi là moơt boơi chung cụa n sô nguyeđn a1,...,an nêu ai | c với
mĩi i = 1, 2, …
1,...,an và nêu c là mt bi chung bât kì cụa
a1,...,an thì d | c.
• NHN XÉT:
1 1 2 1 n 1 ± 2
nhỏ nhât cụa a1,...,an là duy nhât theo nghĩa sai khác dâu. Ta dùng kiù hiu [a
CNN cụa 0 và
(a, b)[a, b] = | ab | với mĩi a, b ∈ 9
Chứng minh:
Nêu a = 0 hoaịc b = 0 thì hieơn nhieđn. Vy ta chư chứng minh cho trường hợp a và b
) b , a ( ab
đeău khác 0, khi đĩ (a,b) ≠ 0. Nêu đaịt m = thì m là mt bi chung cụa a và b. Gĩi t là mt bi chung bât kì cụa a và b. Vì a | t neđn toăn tái c ∈ 9 sao cho
t = ac, từ đĩ ) b , a ( t = ) b , a ( ac . Vì b t neđn ) b , a ( b cũng là ước cụa ) b , a ( t , và do | đĩ ) b , a ( b là ước cụa ) b , a ( ac . Nhưng ) , a ( a và ) b , a ( b
là nguyeđn tơ cùng nhau neđn
theo định lí Gauss(4.3) suy ra ) b , a ( b là ước cụa c. Vy ) b , a ( ab là ước cụa ac = t, từ t, là đĩ m | tức là m = [a, b]
• NHN XÉT: Từ mnh đeă 5.2 suy ra nêu a và b là nguyeđn tơ cùng nhau thì ab
BCNN cụa a và b.
5.3 Mnh đeă
[a1,...,an] = [[a1,...,an-1], an] .
(Ta chứng minh baỉng quy náp.)
tái mn–1 = [a1,...,an–1] . Đaịt m = [mn–1, an]. Vì m là boơi chung cụa Hieơn nhieđn t là bi chung cụa a1,...,an-1 , do đĩ t là bi cụa mn-1 và an . Vì m là
,
. Sơ nguyeđn tơ
BCNN cụa n sô nguyeđn a1,...,an luođn luođn toăn tái và
Chứng minh
• n = 2 (do 5.2) • Giạ sử toăn
mn–1 và an neđn m là bi chung cụa a1,...,an. Giạ sử t là bi chung cụa a1,...,an . BCNN cụa mn-1 và an neđn t là bi cụa m. Vy m = [a1...,an]
6
các â nguyeđn dương ∠. Các khái nim và kêt quạ đĩ cũng cĩ theơ chuyeơn leđn tp các sô n
nh ghĩa
Đeơ đơn giạn, các khái nim và kêt quạ trong phaăn này ta chư trình bày tređn tp so
guyeđn 9.
6.1 Đị n
Mt sơ tự nhieđn khác 1 gĩi là sơ nguyeđn tơ nêu nĩ chư chia hêt cho 1 và cho
• CHÚ Ý : Sơ 1 khođng phại là sơ nguyeđn tơ cũng khođng phại là hợp sơ. •
chính nĩ . Mt sơ tự nhieđn khác 1 và khođng phại là sơ nguyeđn tơ được gĩi là hợp
sô. Ta cĩ theơ nĩi sơ nguyeđn n là sơ nguyeđn tơ nêu | n | là sơ nguyeđn tơ.
6.2 Định lí
Ước sơ dương nhỏ nhât khác 1 cụa mt sơ tự nhieđn lớn hơn 1 là mt sơ nguyeđn tô.
Chứng minh: Xét a ∈ ∠ và a >1. Gĩi p là ước sơ dương nhỏ nhât khác 1 cụa a.
với :1 < ø đieău này mađu thuăn với tính nhỏ Nêu p khođng phại là nguyeđn tơ thì p là hợp sơ, neđn p cĩ mt ước sơ là p1
p1 < p. Nhưng khi đĩ p1 cũng là ước sơ cụa a, va
nhât cụa p.
6.3 Định lí
Chứng minh: Giạ sử ngược lái, ∠ chư cĩ mt sơ hữu hán các sơ nguyeđn tơ là p1
,..., pn . Từ 6.3 suy ra sơ tự nhieđn M = p1 ...pn + 1 có ướùc sơ dương nhỏ nhât khác 1 là mt sơ nguyeđn tơ p. Như thê toăn tái j ∈ {1, 2, …, n} sao cho p = pj, do đĩ p | p1
.pn. Từ đĩ p | (M – p1 ...pn) hay p | 1 (mađu thuaơn) ..
6.4 Định lí
Cho a ∈ ∠ và p là sơ nguyeđn tơ. Khi đĩ hoaịc (a, p) = 1 hoaịc p | a.
hứng minh: Vì (a, p) là mt ước cụa p, neđn nĩ chư cĩ theơ là p hoaịc là 1. Nêu
(a, p .
C
) ≠ 1 thì (a, p) = p , nhưng khi đĩ p | a
6.5 Định líù
iạ sử a ,...,a ∈ ∠ và p là sơ nguyeđn tơ. Khi đĩ hai đieău sau đađy là
G 1 n tương đương cụa ∏n = a 1) p là ước 1 i i
2) Toăn tái i∈ {1, 2, …, n} sao cho p | ai .
Chứng minh:
(1 2) Giạ sử p ⇒ | ∏n . Nêu p khođng là ước cụa các a , với
= i, t eo 6.4 p =1, và đieău 2 ⇒ 1) là hieơn nhieđn 1 i i a i mĩi thì h
suy ra (p, ai) =1, với mĩi i. Từ đĩ, theo định lí 4.4, (p, ∏ai ) =1, vaơy
= n
1 i
đĩ dăn đên mađu thuăn. (
6.6 Định lí
Ước sơ dương nhỏ nhât khác 1 cụa mt hợp sơ a >1 là mt sơ nguyeđn tơ nhỏ hơn hoaịc baỉng a.
Chứng minh: Giạ sử ước sơ đĩ là p, khi đĩ p là nguyeđn tơ và a = pa1.Vì a1 là mt
ước dương khác cụa a neđn a1 ≥ p, thê thì a = pa1 ≥ p2.Vaơy p ≤ a
6.7 Sàng Eratosthène
Đeơ lp bạng sơ nguyeđn tơ khođng vượt quá mt sơ nguyeđn dương n, ta cĩ theơđ áp úng mt phương pháp gĩi là sàng Eratosthen. Ni dung cụa phương pháp này như sau :
• Lp dãy sơ 1, 2, 3, 4, …, n
(Sơ thứ nhât lớn hơn 1 cụa dãy sơ tređn là 2, hieơn nhieđn 2 là sơ nguyeđn tơ)
• Trong dãy sơ tređn, ta xĩa tât cạ các bi cụa 2.
(Sơ thứ nhât đứng sau 2 khođng bị ĩa là 3. eơn x Hi nhieđn 3 là sơ nguyeđn tơ) Tiêp túc ta xĩa tât cạ các bi cụa 3.
. . . . . . . . . . .
Cứ tiêp túc theo cách đĩ, ta xĩa tât cạ các bi sơ cụa các sơ nguyeđn tơ nhỏ hơn mt sơ nguyeđn tơ p, thì tât cạ các sơ khođng bị xĩa nhỏ hơn p2 đeău nguyeđn tơ. Tht vy, mĩi hợp sơ a nhỏ hơn p2 đeău đã bị xĩa vì là bi cụa ước sơ dương nhỏ nhât
•
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
a< p. cụa nĩ, ùc sơ này, theo 6.6, nhỏ hơn
Suy ra raỉng :
1) Khi xĩa các bi cụa mt ơ nguy đn tơ p, thì sơ đaău tieđn bị xĩa là ps e ) Khi đã xĩa các bi cụa các sơ nguyeđn tơ ≤
2.
n
2 thì hồn thành viõc lp bạng.
• VÍ DÚ: Nêu n = 50 thì ta chư xĩa các bi cụa các sơ nguyeđn tơ 2,3,5,7.
6.8 Định lí ( cơ bạn cụa sơ hĩc)
e ke ân ứ tự h tử.
) Sự toăn tái. Xét a ∈ ∠ và a > 1.
sơ nguyeđn tơ nhỏ nhât cụa a1 . Ta có
a1 = p2a2 với 1 ≤ a2 < a1 .