CHƯƠNG 2 : SƠ HĨC TREĐN 9
3. Ideal Vành thương
3.1 Định nghĩa
• Cho (X,+, •) là mt vành và A là mt tp con khác rng cụa X. Khi đĩ A được
gĩi là ideal cụa X nêu ba đieău kin sau được thỏa mãn: 1) (A,+) là nhĩm con cụa (X,+).
2) ax∈ A và xa ∈ A với mĩi a ∈ A, với mĩi x ∈ X.
• VÍ DÚ:
1) Cho (X,+, •) là vành, khi đĩ {0} và X là các ideal cụa X, chúng được
i
) Cho (X,+, •) là mt vành giao hốn và b là mt phaăn tử cụa X. Khi đĩ tp hợp ) Xét C [0,1] là vành các hàm lieđn túc tređn đĩan [0,1]. Đaịt J là tp tât cạ các hàm f
gĩi là các deal taăm thường cụa X.
2
Xb = { xb : x ∈ X } là ideal cụa X.
3
∈ C [0,1] sao cho f(21) = 0. Khi đĩ J là mt ideal cụa C [0,1].
ø moơt
{a + b : a
4) Xét vành sơ nguyeđn (9, +, •) và J là tp các sơ nguyeđn chẵn. Khi đĩ J la ideal cụa 9. Tp các sơ nguyeđn lẹ cĩ phại là ideal cụa 9 khođng? Tp hợp m 9 goăm các bi sơ cụa m là mt ideal cụa 9.
5) Nêu A và B là các ideal cụa vành X, thì tp A + B = ∈A, b B}
ø moơt ideal cụa X. ∈
la
6) Nêu A, B là các ideal cụa vành X, thì AB = {∑n aibi : ai∈A, b B, ni∈ ∈∠} là
=1 i
7) Nêu {Ai , i∈I} là hĩ các ideal cụa X thì A = I
i∩∈ Ai cũng là ideal cụa X.
Tht vy, trước hêt A ≠ ∅ vì cĩ ít nhât phaăn tử 0 cụa vành X thuc tât cạ các eal A , và do đĩ nĩ thuc A. Giạ sử x, y
id ∈ A, khi đĩ x, y ∈ Ai ,∀ i I. Do Ai là
eđn x – y Ai, với mĩi i ∈
i
nhĩm con n ∈ ∈ I, từ đĩ x – y ∈ A. Vy (A,+) là mt nhĩm
ụa A và x là mt phaăn tử cụa X, ta cĩ i, từ đĩ
X
⊂ A.
) Giạ sử X là mt vành giao hốn khođng taăm thường. Khi đĩ X là mt trường
d nào ù l taăm thường. Tht vy, giạ
â deal t ì ư mt phaăn tử a ≠ 0, do X là
ường neđn toăn tái phaăn tử nghich đạo a–1
con. Bađy giờ giạ sử a là mt phaăn tử bât kì c
a ∈ A neđn a ∈ Ai ,∀ i ∈ I, mà Ai là ideal neđn xa và ax thuoơc Ai, với mĩi
xa và ax thuc A. Như vy A là mt ideal.
• CHÚ Ý:
A cụa vành X chứa phaăn tử đơn vị 1 thì A = X. Tht vy, vì với mĩi 1) Nêu ideal
x ∈ X ta cĩ x = x.1 ∈ A, tức là X
2
khi và chư khi X khođng cĩ i eal ngĩai trừ cac idea sử X là mt trường. Neu I là i khác {0} h I ch ùa
∈ X. Vì 1 = a.a–1∈
tr I neđn theo chú ý 1) ở
giạ sử X khođng cĩ ideal nào ngĩai trừ các ideal taăm thường. hác 0 bât kì cụa X. D kieơm tra raỉng tp hợp X.a = {xa, x tređn I = X. Ngược lái,
Gĩi a là mt phaăn tử k ∈
X} là mt ideal cụa X. Vì X.a ≠ {0} neđn X.a = X, từ đĩ với 1∈X, toăn tái a' X sao
ho ø a' = a–1. ∈
c a' a = a a' = 1, tức la
3. 2 Ideal chính
• Cho X là mt vành giao hĩan , S là mt tp con cụa X. Khi đĩ, giao cụa các
à nĩ là ideal nhỏ nhât cụa vành X chứa
sinh ra bởi tp S và ký hiu < S >.
< a , a ,...., a > = {x a + x a +....+x a : x , x , ...,x ideal cụa X chứa S là mt ideal chứa S, v
tp S. Ideal này sẽ được gĩi là ideal
• Nêu S = {a1, a2,...., an } thì < S > được gĩi là ideal sinh ra bởi các phaăn tử a1,
a2,...., an. Cĩ theơ chư ra raỉng
1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n ∈ X }
ăn tử a thì ideal sinh bởi mt phaăn tử a được gĩi là ideal
hính.
• Nêu S chư goăm moơt pha
c
3. 3 Vành thương
• Giạ sử (X,+, •) là mt vành và I là mt ideal cụa X. Khi đĩ, (I,+) là nhĩm
con giao hĩan cụa (X,+). Nhĩm thương X / I = {x + I | x ∈ X } cũng là nhĩm giao
(x + I) + ( y + I) = (x + y) + I.
hĩan (xem múc nhĩm thương), với phép tĩan cng xác định như sau
Bađy giờ ta muơn trang bị tređn X / I mt phép tĩan nhađn đeơ nĩ trở thành mt vành. k ta định nghĩa phép nhađn giữa úng như sau
(x + I).( y + I) = x.y + I.
eê thây raỉng qui taĩc này khođng phú thuc đái din cụa các lớp x + I, y + I, nĩ cĩ h kêt hợp, phađn phơi đơi với phép cng và cĩ phaăn tử đơn vị là 1 + I. Vy (X /
I,+, g cụa X tređn I.
Giạ sử x + I và y + I là hai phaăn tử bât ì cụa X / I, ch
D tín
• ) là mt vành, nĩ được gĩi là vành thươn • VÍ DÚ:
1) Nêu I = {0} thì X /{0} = {x + {0}} = X.
2) Nêu I = X thì X / X = {x + X : x ∈ X} = {X}, vành thương trong trường
ợp này là vành taăm thường, nĩ chư chứa cĩ mt phaăn tử đơn vị là X. à m 9 là ideal cụa 9. Vành thương cụa 9
m m 9 h 3) Xét vành các sơ nguyeđn 9 v tređn m 9 là 9 = 9 / = {0, 1, …, m−1} p + q = p+q và p.q = p.q với các phép tốn 4. Đoăng câu vành 4.1 Định nghĩa
đơn câu, tịan câu, đẳng câu nêu f laăn lượt là đơn
ánh ,•) toăn tái mt đẳng câu vành,
• ành thì f : (X,+) →
,+) là đoăng câu nhĩm.
ât id :X → X là mt đẳng câu vành.
• Cho (X,+, • ),(Y,+, • ) là các vành. Ánh xá f : X → Y được gĩi là mt đoăng câu
vành nêu với mĩi a, b∈ X, các đieău sau được thỏa mãn
) 1) f(a + b) = f(a) + f(b
2) f(a.b) = f(a). f(b)
3) f(1X) = 1Y
• Đoăng câu vành f được gĩi là
, tịan ánh, song ánh. Nêu giữa (X,+,•) và (Y,+ thì ta nĩi chúng đẳng câu với nhau, và viêt X ≅ Y.
• NHN XÉT: Nêu f : (X,+, ) → (Y,+,•) là mt đoăng câu v
(Y
• VÍ DÚ:
m
2) Ánh xá f : (9 ,+, •) → (9n,+, •) , f(m) = , là tồn câu vành. ác đoăng câu cụa nhĩ
(X,+). Khi đĩ ánh xá f : (X, +, • ) (End(X), +, •), a a với fa(x) = a.x là mt
X / I,
3) Cho (X, +, • ) là mt vành và End(X) là vành c
→ af
đoăng câu vành.
) Giạ sử I là mt ideal cụa vành X. Xét ánh xá 4
π: X → π(x) = x + I
4.2 Các tính chât cụa đoăng câu vành
π là mt tồn câu vành, gĩi là tồn câu chính taĩc. cụa Y. –1 (B) là vành con (tươ X
ịn cơ bạn cụa đoăng sau:
Các tính chât sau đađy là tương tự như trong nhĩm mà vic chứng minh nĩ là tương tự hoaịc được trực tiêp suy ra từ kêt quạ veă đoăng câu nhĩm.
Tính chât 1 Hợp cụa hai đoăng câu vành là mt đoăng câu vành. Hơn nữa hợp cụa
•
hai đẳng câu là mt đẳng câu.
• Tính chât 2 Cho (X,+, •) và (Y,+, •) là các vành và ï f : X → Y là mt đoăng câu
vành. Khi đĩ
a) Nêu A là vành con (tương ứng : ideal ) cụa X thì f(A) là vành con (tương ứng : ideal )
b) Nêu B là vành con (tương ứng : ideal ) cụa Y thì f ng ứng : ideal ) cụa X.
Đaịc bit ta cĩ Ker f = {x ∈ X : f(x) = 0Y} là mt ideal cụa X .
• Tính chât 3 Cho (X,+, •) và (Y,+, •) là các vành và ï f : X → Y là mt đoăng câu
vành. Khi đĩ
) f là đơn câu khi và chư khi Kerf = {0 }. c
d) f là tồn câu khi và chư khi Imf = Y.
Tương tự như trường hợp đoăng câu nhĩm, ở đađy cũng cĩ đ h lí câu vành như
4.3 Định lí ( cơ bạn cụa đoăng câu vành)
Cho f là mt đoăng câu từ vành X đên vành Y và π: X → X/Kerf là tồn câu chính taĩc từ vành X đên vành thương X / kerf . Khi đĩ toăn tái duy nhât mt đoăng câu f* : X / kerf → Y sao cho f = f*o π, tức là bieơu đoă sau giao hốn:
X/Kerf eơ quạ X f Y π f*
Hơn nữa, f* là mt đơn câu và Im f* = f(X) = Imf
4.4 H
) Với mĩi đoăng câu vành f : X Y ta cĩ f(X) → ≅
3 X/Kerf
4) Với mĩi tồn câu nhĩm f : X → Y ta cĩ Y ≅ X/Kerf.
4.5 Đaịc sơ cụa vành
va h khođng taăm thường X được gĩi là có đaịc sơ
• Moơt øn m nêu và chư nêu m là sơ
guyeđn khođng ađm nhỏ nhât sao cho m.1 = 0.
đn 9 c ịc 0, vàn m 9 co ịc
• NHN XÉT: Nêu vành khođng taăm thường X cĩ đaịc sơ m thì câp cụa mĩi phaăn tử
cụa nhĩm (X, +) là mt ước n
• VÍ DÚ: Vành sơ nguye ĩ đa sơ h 9 / ù đa sơ m.
cụa m. Tht vy, với mĩi a ∈ X và n là câp cụa nĩ,
hi đĩ ta cĩ m.a = m(1.a) = (m.1)a = 0.a = 0. Chia m cho n ta được m = nq + r, 0 ≤
k
r < n. Nêu r > 0 thì từ ma = (nq + r)a = (nq)a + ra = 0 suy ra ra = 0, nhưng đieău này ađu thuaơn với tính chât bé nhât cụa n. Vy phại cĩ r = 0, tức là n | m.
mo hoaịc là đơn câu hoaịc là đoăng câu
m
• CHÚ Ý: Ta hieơu mt đoăng câu f (đơn câu, tịan câu, đẳng câu) từ trường X đên
trường Y như là mt đoăng câu (đơn câu, tịan câu, đẳng câu) vành. Vì trong trường khođng cĩ ideal nào khác ngịai các ideal taăm thường neđn ta cĩ hoaịc kerf = {0} hoaịc kerf = X. Trường hợp kerf = {0} thì f là mt đơn câu. Cịn trường hợp kerf = X thì f là đoăng câu khođng. Vy ïi đoăng câu trường
khođng.