CHƯƠNG 2 : SƠ HĨC TREĐN 9
2. Vành co n– Trường con
2.1 Định nghĩa
• Cho (X,+,• ) là mt vành. Tp con S khác rng cụa X được gĩi là mt vành con
cụa X nêu
) S là tp con oơn định cụa X, tức là, 1
a X ∈ S và nêu x, y∈ S thì x + y và x.y
S.
trường
cũng thuc
b) (S, +, •) là mt vành.
• Cho (X,+,• ) là mt trường. Tp con S khác rng cụa X được gĩi là mt
con cụa X nêu
a) S là tp con oơn định cụa X, tức là, nêu x, y∈ S thì x + y và x.y
ũng thuc S. c
b) (S, +, •) là mt trường. NHN XÉT:
•
1) Nêu S là trường con cụa trường X thì 1X ∈ S vì khi đĩ (S,+) là nhĩm con
cụa (X,+) và (S – {0}, • l ø mt nhĩm con c ûa nhĩm (X – {0}, • . ) Bât kì mt vành X nào cũng cĩ hai vành con taăm
) a u )
2 thường là bạn thađn nĩ và
vành khođng( chư goăm phaăn tử 0 cụa X)
2.2 Định lí (tieđu chuaơn nhn biêt mt vành con)
Taơp con S ≠ ∅ cụa vành X là vành con nêu và chư nêu a) 1X ∈ S b) Nêu a, b ∈ S thì a – b ∈ S. c) Nêu a, b ∈ S thì a.b ∈ S. hứng minh : ơn nhieđn nh cụa h kêt hợp neđn nĩ cũng kêt hợp trong S; phaăn û đơn vị cụa X naỉm trong S neđn nĩ cũng là đơn vị cụa A. Vy (A – {0} , •) là vị
C
(⇒) : Hie
(⇐) : Từ b) suy ra (S, +) là nhĩm con cụa (X,+) và do đĩ S là tp con oơn đị X. Maịt khác, vì phép • trong X cĩ tín
tư
nhĩm. Cuơi cùng lut phađn phơi cĩ hiu lực trong X tât nhieđn cũng cĩ hiu lực trong A.
Hịan tồn tương tự ta cũng cĩ
2.3 Định lí (tieđu chuaơn nhn biêt mt trường con)
Tp con S chứa nhieău hơn mt tử cụa trường X là trường con nêu và chư nêu êu a, b S thì a – b
a) N ∈ ∈ S.
b) Nêu a, b S thì a.b
∈ ∈ S.
c) Nêu a S và a ≠ 0 thì a∈ –1 ∈ S.
định lí 2.3 cĩ theơ thay bởi đieău kin tương a
• CHÚ Ý: Đieău kin a), b) và c) trong
đương:
') Nêu a, b ∈ S thì a – b ∈ S.
b') Nêu a, b ∈ S và b ≠ 0 thì a.b–1 ∈ S. • VÍ DÚ:
2] = {a + b
2) 9[ 2 : a, b ∈ 9} là mt vành con cụa (3 , +, •). 2 2 : a, b Θ } là mt trường con cụa (3 , +, •).
øm sơ thođng thường).
∈
] = {a + b 3) Θ [
4) Các hàm khạ vi f : 3→ 3 táo thành mt vành con cụa vành các hàm lieđn túc ( với phép cng và phép nhađn các ha
5) Nêu {A , i i ∈ I} là hĩ các vành con cụa X thì I i∩∈ A cũng là vành con cụai X. Tht vy, rõ ràng 1X ∈ I i∩∈ Ai . Giạ sử x, y ∈ I
i∩∈ Ai , khi đĩ x, y ∈ Ai , với mĩi i ∈
I. Do Ai là vành con neđn x – y và xy ∈ Ai, với mĩi i∈ I. Từ đĩ suy ra x – y và xy ∈
I
i∩∈ Ai. Vaơy, theo 2.2,
I
i∩∈ Ai cũng là vành con cụa X.