7.1 Định nghĩa:
• Cho moơt taơp hợp X và moơt nhóm G. Nói raỉng nhóm G tác đoơng leđn taơp hợp X nêu và chư nêu toăn tái moơt ánh xá G × X → X, (g, x) ag.x sao cho
a) e.x = x với mĩi x ∈ X, và e là phaăn tử đơn vị cụa G b) (g.h).x = g.(h.x), với mĩi g, h ∈ G, với mĩi x ∈ X.
• VÍ
tiên trái G × G G, (g, x) g.x ) Phép lieđn hợp G × G G, (g, x) gxg–1
Ta chư ra, chẳng hán phép lieđn hợp là moơt tác đoơng nhóm, thaơt vaơy rõ ràng ta có
–1 = x và (g.h).x = (gh)x(gh)–1 = g(hxh–1)g–1 = g(h.x)g–1 = g.(h.x). { gag–1, a
DÚ:
1) Có theơ cho nhóm G tác đoơng leđn chính nó theo các cách sau
a) Phép tịnh → a
b) Phép tịnh tiên phại G × G → G, (g, x) axg–1
c → a
e.x = exe
2) Nhóm G có theơ tác đoơng lieđn hợp leđn taơp các taơp con P(G) cụa nó theo cách sau: G × P(G) → P(G), (g, A) agAg–1 = ∈A}.
7.2 Nhóm con oơn định cụa moơt phaăn tử
• Cho nhóm G tác đoơng tređn taơp X và x ∈ X. Khi đó, taơp hợp = {g
G ∈ G : g.x = x} e
x
là moơt nhóm con cụa G, thaơt vaơy vì ∈ Gx neđn Gx≠ ∅. Maịt khác, với mĩi g, h ∈
Gx ta có x = g.x = g.(h–1.h.x) = (g.h–1)(h.x) = (g.h–1)x, tức là h.g–1 ∈ Gx. à nhóm con oơn định cụa phaăn tử x
Ta sẽ gĩi Gx l ∈ G
VÍ DÚ:
= {g
•
1) Nêu nhóm G tác đoơng leđn chính nó baỉng lieđn hợp thì Gx ∈ G : g.xg–1 = x} = {g∈ G : g.x = x.g}.
được gĩi là cái ta
ác taơp con cụa nó nó baỉng lieđn hợp
Taơp hợp này đm hóa cụa x.
2) Nêu nhóm G tác đoơng leđn taơp P(G) c thì
GA = {g ∈ G : g.Ag–1 = A} = {g∈ G : g.A = A.g}. Taơp hợp này được gĩi là cái chuaơn hóa cụa A.
7.3 Quỹ đáo cụa moơt phaăn tử
• Cho nhóm G tác đoơng tređn taơp X và x∈X, khi đó taơp G.x = {g.x, G} được hoaịc trùng Gx Gy thì s = gx = g'y với g, g' là hai phaăn tử nào đó cụa G. Do đo G.s = G.g.x = G.g'.y. Vaơy, Gx = Gy = Gs.
, trong đó xi là các đáo khác nhau, và I là moơt taơp chư sô.
. Nhóm đôi xứng
g∈
gĩi là qũi đáo cụa phaăn tử x đôi với nhóm G.
• NHAƠN XÉT: Hai qũi đáo cụa hai phaăn tử x, y cụa X hoaịc rời nhau nhau. Thaơt vaơy, nêu s ∈ ∩
i
x . G
Như vaơy taơp X là hợp cụa các qũi đáo rời nhau X = U
I i∈
phaăn tử cụa các qũi
8
8.1 Định nghĩa
• Nêu X là taơp khác roêng, S(X) là taơp các song ánh từ X leđn X thì đôi với phép hợp các ánh xá, S(X) là moơt nhóm mà ta thường gĩi là nhóm đôi xứng (hoaịc còn gĩi là nhóm hoán vị) tređn X. Moơt tính chât lý thú cụa nhóm đôi xứng là kêt quạ sau đađy
8.2 Định lí (Ceyley)
∈
Mĩi nhóm (G, •) đeău là nhóm con cụa nhóm đôi xứng S(G).
Chứng minh:
Xét đơn câu f : G → S(G), f(a) = fa với fa(x) = ax ∀x G
8.3 Nhóm đôi xứng Sn
• Nêu X = {1,2,...,n}, n 2, thì nhóm S(X) được gĩi là nhóm đôi xứng baơc n và kí hieơu phaăn tử Sn được gĩi là moơt phép thê, hay hóan vị cụa
=⎜⎛ ) n ( ... ) 2 ( n ... 2 1
σ hay đơn giạn hơn ≥
σ ∈
là Sn . Moêi
{1,2,...,n}, thường được viêt dưới dáng :
σ ⎜⎝σ(1) σ ⎞⎟⎟⎠ σ = (σ(1) σ(2) . . .σ(n)).
8.4 r - chu trình
Moơt hóan vị σ
• ∈ Sn gĩi la ø r-c u trình h nêu có moơt taơp con {j1,..., jr} goăm r phaăn tử cụa {1,2,...,n} sao cho
⎩ ⎧ ) m ( ) j ( i σ σ = = m ji+1 r 2 1 r j ,..., j , j m , j ) j , 1 r ,..., 2 , 1 j , ≠ ∀ ( 1 ⎨ ∀ = − σ =
Taơp hợp {j1,..., jr} được gĩi là giá cụa r - chu trình σ, và thường kí hieơu là σ
• (j ,..., j ) hay j → = 1 r 2 ... 1. ⎝1 5 2 4 3 ợc là {j ,..., j } 1→ j → jr→ j • VÍ DÚ: ⎜⎜⎛1 2 3 4 5⎟⎟⎞⎠ là 3 - chu trình (2,5,3) • Moơt 2-chu trình đư gĩi chuyeơn vị.
• Hai chu trình (j1,..., jr) và (h1,..., hs) được gĩi là rời nhau nêu và chư nêu
1 r ∩ {h ,..., h } = 1 s ∅
• NHAƠN XÉT:
1) Ta xem σ = id là 1-chu trình, id = (i), và thường viêt id = (1). 2) Nêu σ là moơt chuyeơn vị thì σ = σ–1.
3) Tích các chu trình rời nhau có tính chât giao hoán.
8.5 Tính chât 1) (j1, j2, .., jr) = (j2, j3, .., jr, j1) = … = (jr, j1, .., jr–2 ) 2, .., j m ⎛ 1 2 r .. j .... j j âu ord (j1, j2, .., jr) = r.
Chư ra từ định nghĩa, 2) chứng minh baỉng qui náp và 3) suy ra trực
) , jr–1 2) (j1, j r) = ⎜⎜⎝jm+1 jm+2 . . jm+r⎟⎟⎠, ở hàng dưới j ⎞ r + h = jk ne h ≡ k( mod r) 3) ùng minh: 1) suy tiêp từ 2 8.6 Định lí
Mĩi σ∈ Sn luođn có theơ phađn thành tích moơt sô hữu hán các chuyeơn vị. 1. Xét
Chứng minh : Ta chứng minh baỉng quy náp theo n
Với n = 2 là hieơn nhieđn, giạ sử định lí đúng với n – σ∈ Sn và giạ sử (n) = σ
k. Gĩi ρ là chuyeơn vị (k, n). Suy ra : (ρ σ)(n) = n, tức là ρσ xem như là phaăn tử cụa S . Theo giạ thiêt quy náp n–1 ρσ là tích cụa những chuyeơn vị ρ σ = . . . .
–1 .
σ1 σk
Vì ρ= ρ neđn : σ = ρ σ1 . . σk.
8.7 Định liù
Mĩi phaăn tử cụa Sn đeău có theơ phađn tích thành tích các chu trình đođi moơt rời nhau, sự phađn tích tređn là duy nhât (sai khác veă thứ tự các chu trình).
Chứng minh :
1) Sự toăn tái Ta baĩt đaău với dãy 1,σ(1), σ2(1), …., σk(1),… (1) ì n + 1 sô tự nhieđn 1 (1), (1), …., ,σ σ2 σn(1) đeău thuoơc {1, 2, …, n} neđn toăn tái s, t V
∈ {0,1, 2, …, n} sao cho s < t và σs(1) = σt(1). Nêu đaịt m = t – s ∈ {1, 2, …, n} ta có (1) = 1. Vaơy taơp hợp {q
thì σm ∈{1, 2, …, n} : σq(1) = 1} là khác roêng và do
đó có sô bé nhât p. Khi đó p sô tự nhieđn 1,σ(1), ….,σp–1(1) là khác nhau từng đođi
oơt, vì nêu toăn tái s, t s
m ∈{0,1, 2, …, p –1} sao cho s < t và σ (1) = (1) thì sẽ có
1
σt
σm(1) = 1 với m = t – s ∈ {1, 2, …, p –1}, trái với tính chât cụa p. Như vaơy từ dãy (1) ta tìm được moơt p - chu trình
→σ(1) → σ2(1) → …→ σp–1(1) → 1 (1, (1), 2(1), …., p–1(1)) thì xét dãy 2,
laơp luaơn tương tự như tređn, từ dãy này tìm được moơt q - chu trình 2→σ(2) → σ2(2) ….→ →σq–1(2) 1
, ta tìm được các chu trình rời nhau mà
→
. Baỉng cách này, sau moơt sô hữu hán bước hợp cụa chúng là σ.
Sự duy nhât. Giạ sử = cσ 1 o c2 o … o cr = d1 o d2 o … o ds là hai dáng phađn 2)
tích cụa σ thành các chu trình từng đođi moơt rời nhau. Nêu σ = id thì khẳng định là rõ ràng. Giạ sử σ ≠ id, khi đó toăn tái i∈{1, 2, …, n} sao cho σ(i) ≠ i va ø m {1,
m
u trình còn lá ta suy ra r = s và { c1,
2, … ,cr } = {d1,d2, … ,ds}
DÚ: Xét σ = = (1,2,3,7)o(5,8,6)
a baĩt đaău ở 1 và tìm được chu trình đaău tieđn 1 3 7 1, sau đó baĩt đaău g trường hợp này là 5, vì 4 khođng thay đoơi, 5
5.
Cho Sn. Ta nói raỉng caịp (
∈
2, …, r}, k ∈ {1, 2, …, s} sao cho i thuoơc giá cụa chu trình c và giá cụa chu trình dk. Do ta có theơ hoán vị vòng quanh các phaăn tử trong moơt chu trình mà khođng làm nó thay đoơi và cũng như trong 1) toăn tái sô tự nhieđn p sao cho cm = dk = ( i,σ(i), ….,σp–1(i)). Laịp lái lí luaơn tương tự cho các ch i,
c ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 6 1 5 8 4 7 3 2 8 7 6 5 4 3 2 1 .VÍ →2→ → → T
với sô nhỏ nhât còn lái , tron →8→
6→
σ∈ σ(i),σ(j)) là moơt nghịch thê trong hoán vị (hoaịc
ø moơt nghịch thê cụa ) nêu có i < j và σ
•
σ σ(i) >σ
la (j). Ta kí hieơu sô các nghịch thê
ụa là I( ), và gĩi ) = (–1) là kí sô cụa
c σ σ ε(σ I(σ) σ. Ta nói raỉng hoán vị là
hẵn(tương ứng: lẹ) nêu ) = 1(tương ứng: σ
ε(σ ε(σ) = –1).
8.8 Heơ quạ
c
o cho = t1 o t2 o … o tN . Khi đó,
Giạ sử σ∈ Sn và t1, t2, …, tN là những chuyeơn vị cụa {1, 2, …,n}
sa σ ε(σ) = (–1) . Như thê moơt hoán vị chẵn
(tương ứng: lẹ) chư có theơ phađn tích thành moơt sô chẵn (tương ứng: lẹ) những
Chứng minh: Do 8.7, giạ sử được raỉng
N
chuyeơn vị.
σ phađn tích moơt cách duy nhât thành tích hững chu trình đođi moơt khođng giao nhau như sau
n
Hieơn nhieđn là (1) = (id) = 0. Ta chứng minh raỉng tính chât chẵn, lẹ cụa n
σ = (i1 i2 . . . ir)(j1 j2 . . . js). . .(m1 m2 . . .mk). (1) Xét ánh xá ϕ : S → 9 , ϕ(σ) = (r – 1) + (s – 1) + …+ (k – 1).
σ
cũng là tính chât chẵn, lẹ cụa sô những chuyeện vị trong mĩi cách phađn tích thành tích những chuyeơn vị.
1 2 h
Ta có nhaơn xét raỉng, nêu {a, c , c . . .c }∩{b,d1,. . . dk}ø = ∅ thì (a c1 c2 …ch b d1 … dk )(ab) = (a d1… dk)(b c1 c2 …ch)
(ad1 …dkb c1c2 …ch) , và (a c1c2 …ch)(b d1 … dk)(ab) =
Từ đó suy ra ϕ(σo(ab)) = ϕ(σ) ± 1 (2)
trong đó dâu + hay – phú thuoơc vào vieơc a, b ở trong hai chu trình khác nhau, hay ở trong cùng moơt chu trình cụa (1).
Bađy giờ, giạ sử σ là tích cụa m chuyeơn vị sau đađy : σ = (ab)(cd). . .(pq) (khi đó
–1
(3)
ϕ(σ) là sô các chuyeơn vị trong phađn tích).Vì (ab) = (ab) neđn σ o(pq) . . . (cd)(ab) = 1. Từ (2) và (3) suy ra : ϕ(σ) 14 24 4 34 m . 1 ... 1 1± ± ± ± = 0 ϕ
Như vaơy, tính chẵn, lẹ cụa (σ) là tính chẵn, lẹ cụa m
VÍ DÚ: Đaịt A = { S :
• n σ∈ n ε(σ) = 1}, khi đó A là moơt nhóm con chuaơn taĩc cụa n
S và câp cụa A baỉng nửa câp cụa S . n n n
Thaơt vaơy, xét ánh xá ε : (S , o) n → ({–1, 1}.• ),σa ε(σ). Khi đó là moơt toàn ε
câu nhóm và Kerε = A . Vaơy A lan n ø moơt nhóm con ch aơn taĩc cụa
≅{–1, 1} neđn (S : A ) = 2. Từ đó theo định lí Lagrange, câp cụa A
u Sn và do Sn/An
n n n baỉng nửa câp
cụa Sn. Nhóm An còn được gĩi là nhóm luađn phieđn.
BÀI TAƠP
ø các phép toán trong tređn G được xác định bởi 1. Cho G = { a,b} va a b a b + ⋅ a a b a b b a b ỉng (G,+),(G,.) là các nhóm giao hoán.
) Ánh xá đoăng nhât id : (G,+)→ (G,.) có phại là đẳng câu nhóm?
. Cho 9 là taơp các sô nguyeđn và tređn nó xác định phép toán trong * như sau : + n – 1 với m, n b a a b a) Chứng minh ra b
2. Cho G = { 1,2,3,4 } và phép toán trong * tređn G được xác định bởi 1 * 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 1 4 3 3 3 4 1 2 4 4 3 2 1
Chứng minh raỉng (G,*) là nhóm giao hoán.
3. Cho G = {1, 2, 3} và * là moơt phép tóan trong tređn G. Biêt raỉng câu trúc đái sô (G, *) là moơt nhóm. Hãy xác định phép tóan * .
4
m * n = m ∈ 9 .
b) Ánh xá đoăng nhât id : (9,+) → (9,*) có phại là đẳng câu nhóm ?
*
ùm iao hoán.
) Chứng minh raỉng 3 × 3 là moơt nhóm con cụa G. ( 3 là taơp các sô thực . Cho G = 3* × 3 và phép toán trong tređn G xác định bởi
a) Chứng minh raỉng ( 9 ,+) là nhóm giao hoán.
5. Cho G = 3* × 3 và * phép toán trong tređn G xác định bởi (x, y) (x', y') = (xx', xy' + y) a) Chứng minh raỉng ( G ,*) là nho khođng g
b *
+ *+
dương)
(x, y) * (x', y') = (xx', xy' + ' x y ) a ) Hãy xác định tađm Z(G) = {a ) Chứng minh raỉng ( G ,*) là nhóm.
b ∈ G : ag = ga với mĩi g ∈ G} cụa G.
c
n
) Chứng minh raỉng 3*×{0}, {1} × 3, Θ* ×Θ là các nhóm con cụa G.
d) Chứng mi h raỉng với k ∈3, taơp hợp Hk = {(x, k(x – x–1)), x ∈3*} là moơt nhóm 7. Cho (G,.) là nhóm sao cho mĩi x
con giao hoán cụa G.
∈ G đeău có x2 = 1. Chứng minh raỉng G là nhóm có tính chât là toăn tái ba sô nguyeđn dương lieđn tiêp i sao . Cho E = {a + b
nhóm giao hoán.
8. Giạ sử (G,.) là
cho (ab)i = ai bi . Chứng minh raỉng G là nhóm giao hoán.
9 3 : a,b ∈ Q }. Chứng minh raỉng
) (E*, •) là nhóm con cụa (R*, •), ở đađy E* = E – {0}
hứng minh raỉng 1. Cho (G, •) là moơt nhóm, x G. Chứng tỏ taơp xGx–1 = {xgx-1, g G}
óm con cụa G.
oơt nhóm con cụa nhóm (∀, +) thỏa mãn : x + ix2
a) (E,+) là nhóm con cụa (R,+). b 10. Cho (G, •) là moơt nhóm, x ∈ G và C(x) = {g ∈ G : gx = xg }. C C(x) là nhóm con cụa G. 1 ∈ ∈ là nh 12.Cho G là m ∈ G với
3. Cho moơt nhóm G hữu hán câp 4 sinh bởi S ={x, y} sao cho x2 = y2 = e = {e, x, y, xy}
4. Cho moơt nhóm G câp 8 sinh bởi các phaăn tử x, y sao cho x4 = y2 = e
à tât cạ các phaăn tử cụa G. Xác định tât cạ các hóm con cụa G.
tử i, j, k sao cho
í hieơu i2 bởi m. Chư ra raỉng e, i, j, k, m, mi, mj, mk là các phaăn tử phađn bieơt cụa G. nion, người ta viêt – 1, – i, –j, – k thay cho m, mi, mj, mk )
mĩi x ∈[0,1]. Chứng minh raỉng G = ∀. 1
và xy = yx. Hãy xác định tât cạ các nhóm con cụa G. Chư ra raỉng G
1
và xy = yx3. Chư ra raỉng các phaăn tử xiyj ,với i = 0, 1, 2, 3 và j = 0,1 là các phaăn tử phađn bieơt cụa G và từ đó chúng l
n
15. Cho moơt nhóm G câp 8 sinh bởi các phaăn ij = k, jk = i, ki = j, i2 = j2 = k2. K
Xác định tât cạ các nhóm con cụa G. (Nhóm G như thê được gĩi là nhóm quater
16. Cho moơt nhóm G câp 12 sinh bởi các phaăn tử x, y sao cho x6 = y2 = e và xy = x5. Chư ra raỉng các phaăn tử xiyj , với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 và j = 0,1, là các phaăn tử
c nhóm con cụa G. óm.
) Chứng minh raỉng (Aut(G), o) là nhóm.( o là phép tóan hợp các ánh xá)
. Chứng minh raỉng fa
Aut(G). y
phađn bieơt cụa G. Xác định tât cạ cá 17. Cho (G, • ) là moơt nh
a
b)Với a ∈ G , xét ánh xá fa : G → G, fa (g) = aga–1, g ∈ G
∈
c) Chứng minh raỉng Int(G) = {fa : a ∈G} là nhóm con cụa Aut(G).
d) Chứng minh raỉng moơt nhóm con H cụa G là chuaơn taĩc nêu và chư nêu fa(H) = H với mĩi fa Int(G).
r = Z(G) = tađm cụa G (xem bài 6.b)
∈
e) Chứng minh raỉng ánh xá ϕ : G → Int(G), a a fa là moơt đoăng câu và Ke ϕ
f) Chứng minh raỉng ánh G/Z(G) ≅ Int(G).
18. Cho f : ( 9 ,+) → ({–1, 1},• ) , f(n) = (–1)n. Chứng minh raỉng f là toàn câu 9/ .
⎛a b
Chứng minh raỉng f : (V,•) (3*, •), a a, là toàn câu nhóm.
moơt phaăn tử cụa G. Chứng tỏ raỉng: f : (9, +) (G, • ), f(n) = a , là moơt đoăng câu nhóm.
,
2. Cho (G, • ) là moơt nhóm sao cho toăn tái sô tự nhieđn n thỏa mãn tính chât fn : G ùng tỏ raỉng
nhóm. Hãy xác định Kerf và Kerf
19. V = { ⎜⎜⎝0 d⎟⎟⎠⎞ : a,b,d ∈3và ad ≠ 0 }
a) Chứng minh raỉng (V, .) là nhóm con cụa (GL3(2), •)
b → ⎜⎜⎝⎛0 d⎟⎟⎠⎞a b) 20. Cho (G, • ) là moơt nhóm và a là n a) →
b) Mĩi đoăng câu f: (9, +) → (G, • ) thỏa f(1) = a đeău có dáng f(n ) = an. c) Hãy xác định taơp End(9,+) = {tự đoăng câu f : (9 +) → (9 ,+ )}
21. Cho (G, • ) là moơt nhóm sao cho f : G → G, f(x) = x3, là moơt toàn câu nhóm. Chứng tỏ raỉng G là nhóm giao hóan.
2
→ G, fn(x) = xn, là moơt toàn câu nhóm. Chư
xn–1y = yxn–1, với mĩi x, y ∈ G
23. Cho (G,+) là nhóm giao hoán. Gĩi End(G) taơp các tự đoăng câu cụa G. Tređn :
ỉn d(G),+) là nhóm giao hoán. ) Chứng minh raỉng End(9,+) đẳng câu với (9,+). 24.
End(G) xác định phép toán coơng như sau (f + g)(x) = f(x) + g(x) a) Chứng minh ra g (En
a) Chứng minh raỉng taơp con A = {2n3m , m, n ∈9} là nhóm con cụa nhóm (Θ, •).
b) Chứng minh raỉng A đẳng câu với nhóm con B = {a + bi, a, b ∈9} 5. Chứng minh raỉng mĩi nhóm con cụa moơt nhóm cyclic là nhóm cyclic.
7. Cho (G,•) là nhóm cyclic câp n và m cụa nhóm (∀, +).
2
26. Chứng tỏ raỉng ạnh đoăng câu cụa moơt nhóm cyclic là moơt nhóm cyclic
2 ∈∠ là moơt ứớc cụa n. Chứng minh raỉng
ùng 2 phaăn tử sinh. Tìm tât cạ sinh cụa nhóm tuaăn hoàn câp n.
0. Cho (G, • ) là nhóm; a, b là hai phaăn tử cụa G và f G có đúng moơt nhóm con câp m.
28. Chứng minh raỉng mĩi nhóm cyclic vođ hán có đu các phaăn tử