2.1 Định nghĩa
• Cho (X,+,• ) là moơt vành. Taơp con S khác roêng cụa X được gĩi là moơt vành con
cụa X nêu
) S là taơp con oơn định cụa X, tức là, 1
a X ∈ S và nêu x, y∈ S thì x + y và x.y
S.
trường
cũng thuoơc
b) (S, +, •) là moơt vành.
• Cho (X,+,• ) là moơt trường. Taơp con S khác roêng cụa X được gĩi là moơt
con cụa X nêu
a) S là taơp con oơn định cụa X, tức là, nêu x, y∈ S thì x + y và x.y ũng thuoơc S.
b) (S, +, •) là moơt trường. NHAƠN XÉT:
•
1) Nêu S là trường con cụa trường X thì 1X ∈ S vì khi đó (S,+) là nhóm con cụa (X,+) và (S – {0}, • l ø moơt nhóm con c ûa nhóm (X – {0}, • .
) Bât kì moơt vành X nào cũng có hai vành con taăm
) a u )
2 thường là bạn thađn nó và
vành khođng( chư goăm phaăn tử 0 cụa X)
2.2 Định lí (tieđu chuaơn nhaơn biêt moơt vành con)
Taơp con S ≠∅ cụa vaønh X là vành con nêu và chư nêu a) 1X ∈ S b) Nêu a, b ∈ S thì a – b ∈ S. c) Nêu a, b ∈ S thì a.b ∈ S. hứng minh : ơn nhieđn nh cụa h kêt hợp neđn nó cũng kêt hợp trong S; phaăn û đơn vị cụa X naỉm trong S neđn nó cũng là đơn vị cụa A. Vaơy (A – {0} , •) là vị
C
(⇒) : Hie
(⇐) : Từ b) suy ra (S, +) là nhóm con cụa (X,+) và do đó S là taơp con oơn đị X. Maịt khác, vì phép • trong X có tín
tư
nhóm. Cuôi cùng luaơt phađn phôi có hieơu lực trong X tât nhieđn cũng có hieơu lực trong A.
Hòan toàn tương tự ta cũng có
2.3 Định lí (tieđu chuaơn nhaơn biêt moơt trường con)
Taơp con S chứa nhieău hơn moơt tử cụa trường X là trường con nêu và chư nêu êu a, b S thì a – b
a) N ∈ ∈ S. b) Nêu a, b S thì a.b
∈ ∈ S.
c) Nêu a S và a ∈ ≠ 0 thì a–1 ∈ S.
định lí 2.3 có theơ thay bởi đieău kieơn tương a
• CHÚ Ý: Đieău kieơn a), b) và c) trong đương:
') Nêu a, b ∈ S thì a – b ∈ S.
b') Nêu a, b ∈ S và b ≠ 0 thì a.b–1 ∈ S.
• VÍ DÚ:
2] = {a + b
2) 9[ 2 : a, b ∈9} là moơt vành con cụa (3 , +, •).
2 2 : a, b Θ } là moơt trường con cụa (3 , +, •). øm sô thođng thường).
∈
] = {a + b 3) Θ [
4) Các hàm khạ vi f : 3→ 3 táo thành moơt vành con cụa vành các hàm lieđn túc ( với phép coơng và phép nhađn các ha
5) Nêu {A , i i ∈ I} là hĩ các vành con cụa X thì
I i∩∈ A cũng là vành con cụai X. Thaơt vaơy, rõ ràng 1X ∈ I i∩∈ Ai . Giạ sử x, y ∈ I
i∩∈ Ai , khi đó x, y ∈ Ai , với mĩi i ∈
I. Do Ai là vành con neđn x – y và xy ∈ Ai, với mĩi i∈ I. Từ đó suy ra x – y và xy
∈ I i∩∈ Ai. Vaơy, theo 2.2, I i∩∈ Ai cũng là vành con cụa X. 3. Ideal - Vành thương 3.1 Định nghĩa
• Cho (X,+, •) là moơt vành và A là moơt taơp con khác roêng cụa X. Khi đó A được gĩi là ideal cụa X nêu ba đieău kieơn sau được thỏa mãn:
1) (A,+) là nhóm con cụa (X,+).
2) ax∈ A và xa ∈ A với mĩi a ∈ A, với mĩi x ∈ X.
• VÍ DÚ:
1) Cho (X,+, •) là vành, khi đó {0} và X là các ideal cụa X, chúng được
i
) Cho (X,+, •) là moơt vành giao hoán và b là moơt phaăn tử cụa X. Khi đó taơp hợp ) Xét C [0,1] là vành các hàm lieđn túc tređn đĩan [0,1]. Đaịt J là taơp tât cạ các hàm f
gĩi là các deal taăm thường cụa X. 2
Xb = { xb : x ∈ X } là ideal cụa X. 3
∈ C [0,1] sao cho f(21) = 0. Khi đó J là moơt ideal cụa C [0,1].
ø moơt
{a + b : a
4) Xét vành sô nguyeđn (9, +, •) và J là taơp các sô nguyeđn chẵn. Khi đó J la ideal cụa 9. Taơp các sô nguyeđn lẹ có phại là ideal cụa 9 khođng? Taơp hợp m 9 goăm các boơi sô cụa m là moơt ideal cụa 9.
5) Nêu A và B là các ideal cụa vành X, thì taơp A + B = ∈A, b B}
ø moơt ideal cụa X. ∈
la
6) Nêu A, B là các ideal cụa vành X, thì AB = {∑n aibi : ai∈A, b B, ni∈ ∈∠} là
=1 i
7) Nêu {Ai , i∈I} là hĩ các ideal cụa X thì A =
I
i∩∈ Ai cũng là ideal cụa X.
Thaơt vaơy, trước hêt A ≠∅ vì có ít nhât phaăn tử 0 cụa vành X thuoơc tât cạ các eal A , và do đó nó thuoơc A. Giạ sử x, y
id ∈ A, khi đó x, y ∈ Ai ,∀ i I. Do Ai là
eđn x – y Ai, với mĩi i ∈
i
nhóm con n ∈ ∈ I, từ đó x – y ∈ A. Vaơy (A,+) là moơt nhóm
ụa A và x là moơt phaăn tử cụa X, ta có i, từ đó
X
⊂ A.
) Giạ sử X là moơt vành giao hoán khođng taăm thường. Khi đó X là moơt trường d nào ù l taăm thường. Thaơt vaơy, giạ â deal t ì ư moơt phaăn tử a ≠ 0, do X là ường neđn toăn tái phaăn tử nghich đạo a–1
con. Bađy giờ giạ sử a là moơt phaăn tử bât kì c
a ∈ A neđn a ∈ Ai ,∀ i ∈ I, mà Ai là ideal neđn xa và ax thuoơc Ai, với mĩi xa và ax thuoơc A. Như vaơy A là moơt ideal.
• CHÚ Ý:
A cụa vành X chứa phaăn tử đơn vị 1 thì A = X. Thaơt vaơy, vì với mĩi 1) Nêu ideal
x ∈ X ta có x = x.1 ∈ A, tức là X 2
khi và chư khi X khođng có i eal ngĩai trừ cac idea sử X là moơt trường. Neu I là i khác {0} h I ch ùa
∈ X. Vì 1 = a.a–1∈
tr I neđn theo chú ý 1) ở
giạ sử X khođng có ideal nào ngĩai trừ các ideal taăm thường. hác 0 bât kì cụa X. Deê kieơm tra raỉng taơp hợp X.a = {xa, x tređn I = X. Ngược lái,
Gĩi a là moơt phaăn tử k ∈
X} là moơt ideal cụa X. Vì X.a ≠ {0} neđn X.a = X, từ đó với 1∈X, toăn tái a' X sao
ho ø a' = a–1. ∈
c a' a = a a' = 1, tức la
3. 2 Ideal chính
• ChoX là moơt vành giao hóan , S là moơt taơp con cụa X. Khi đó, giao cụa các à nó là ideal nhỏ nhât cụa vành X chứa
sinh ra bởi taơp S và ký hieơu < S >.
< a , a ,...., a > = {x a + x a +....+x a : x , x , ...,x ideal cụa X chứa S là moơt ideal chứa S, v
taơp S. Ideal này sẽ được gĩi là ideal
• Nêu S = {a1, a2,...., an } thì < S > được gĩi là ideal sinh ra bởi các phaăn tử a1, a2,...., an. Có theơ chư ra raỉng
1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n ∈ X }
ăn tử a thì ideal sinh bởi moơt phaăn tử a được gĩi là ideal hính.
• Nêu S chư goăm moơt pha
c
3. 3 Vành thương
• Giạ sử (X,+, •) là moơt vành và I là moơt ideal cụa X. Khi đó, (I,+) là nhóm con giao hóan cụa (X,+). Nhóm thương X / I = {x + I | x ∈ X } cũng là nhóm giao
(x + I) + ( y + I) = (x + y) + I.
hóan (xem múc nhóm thương), với phép tóan coơng xác định như sau
Bađy giờ ta muôn trang bị tređn X / I moơt phép tóan nhađn đeơ nó trở thành moơt vành. k ta định nghĩa phép nhađn giữa úng như sau
(x + I).( y + I) = x.y + I.
eê thây raỉng qui taĩc này khođng phú thuoơc đái dieơn cụa các lớp x + I, y + I, nó có h kêt hợp, phađn phôi đôi với phép coơng và có phaăn tử đơn vị là 1 + I. Vaơy (X /
I,+, g cụa X tređn I.
Giạ sử x + I và y + I là hai phaăn tử bât ì cụa X / I, ch
D tín
• ) là moơt vành, nó được gĩi là vành thươn
• VÍ DÚ:
1) Nêu I = {0} thì X /{0} = {x + {0}} = X.
2) Nêu I = X thì X / X = {x + X : x ∈ X} = {X}, vành thương trong trường ợp này là vành taăm thường, nó chư chứa có moơt phaăn tử đơn vị là X.
à m 9 là ideal cụa 9. Vành thương cụa 9
m m 9 h 3) Xét vành các sô nguyeđn 9 v tređn m 9 là 9 = 9/ = {0, 1, …, m−1} p + q = p+q và p.q = p.q với các phép toán 4. Đoăng câu vành 4.1 Định nghĩa
đơn câu, tòan câu, đẳng câu nêu f laăn lượt là đơn
ánh ,•) toăn tái moơt đẳng câu vành,
• ành thì f : (X,+) →
,+) là đoăng câu nhóm.
ât id :X → X là moơt đẳng câu vành.
• Cho (X,+, • ),(Y,+, • ) là các vành. Ánh xá f : X → Y được gĩi là moơt đoăng câu vành nêu với mĩi a, b∈ X, các đieău sau được thỏa mãn
) 1) f(a + b) = f(a) + f(b
2) f(a.b) = f(a). f(b)
3) f(1X) = 1Y
• Đoăng câu vành f được gĩi là
, tòan ánh, song ánh. Nêu giữa (X,+,•) và (Y,+ thì ta nói chúng đẳng câu với nhau, và viêt X ≅ Y.
• NHAƠN XÉT: Nêu f : (X,+, ) → (Y,+,•) là moơt đoăng câu v (Y
• VÍ DÚ:
m
2) Ánh xá f : (9 ,+, •) → (9n,+, •) , f(m) = , là toàn câu vành. ác đoăng câu cụa nhó
(X,+). Khi đó ánh xá f : (X, +, • ) (End(X), +, •), a a với fa(x) = a.x là moơt
X / I,
3) Cho (X, +, • ) là moơt vành và End(X) là vành c
→ af
đoăng câu vành.
) Giạ sử I là moơt ideal cụa vành X. Xét ánh xá 4
π: X → π(x) = x + I
4.2 Các tính chât cụa đoăng câu vành
π là moơt toàn câu vành, gĩi là toàn câu chính taĩc.
cụa Y. –1 (B) là vành con (tươ X
ịn cơ bạn cụa đoăng sau:
Các tính chât sau đađy là tương tự như trong nhóm mà vieơc chứng minh nó là tương tự hoaịc được trực tiêp suy ra từ kêt quạ veă đoăng câu nhóm.
Tính chât 1 Hợp cụa hai đoăng câu vành là moơt đoăng câu vành. Hơn nữa hợp cụa
•
hai đẳng câu là moơt đẳng câu.
•Tính chât 2 Cho (X,+, •) và (Y,+, •) là các vành và ï f : X → Y là moơt đoăng câu vành. Khi đó
a) Nêu A là vành con (tương ứng : ideal ) cụa X thì f(A) là vành con (tương ứng : ideal )
b) Nêu B là vành con (tương ứng : ideal ) cụa Y thì f ng ứng : ideal ) cụa X.
Đaịc bieơt ta có Ker f = {x ∈ X : f(x) = 0Y} là moơt ideal cụa X .
•Tính chât 3 Cho (X,+, •) và (Y,+, •) là các vành và ï f : X → Y là moơt đoăng câu vành. Khi đó
) f là đơn câu khi và chư khi Kerf = {0 }. c
d) f là toàn câu khi và chư khi Imf = Y.
Tương tự như trường hợp đoăng câu nhóm, ở đađy cũng có đ h lí câu vành như
4.3 Định lí ( cơ bạn cụa đoăng câu vành)
Cho f là moơt đoăng câu từ vành X đên vành Y và π: X → X/Kerf là toàn câu chính taĩc từ vành X đên vành thương X / kerf . Khi đó toăn tái duy nhât moơt đoăng câu f* : X / kerf → Y sao cho f = f*o π, tức là bieơu đoă sau giao hoán:
X/Kerf eơ quạ X f Y π f*
Hơn nữa, f* là moơt đơn câu và Im f* = f(X) = Imf
4.4 H
) Với mĩi đoăng câu vành f : X Y ta có f(X) → ≅
3 X/Kerf
4) Với mĩi toàn câu nhóm f : X → Y ta có Y ≅ X/Kerf.
4.5 Đaịc sô cụa vành
va h khođng taăm thường X được gĩi là coù đaịc sô
• Moơt øn m nêu và chư nêu m là sô
guyeđn khođng ađm nhỏ nhât sao cho m.1 = 0.
đn 9 c ịc 0, vàn m 9 co ịc
• NHAƠN XÉT: Nêu vành khođng taăm thường X có đaịc sô m thì câp cụa mĩi phaăn tử cụa nhóm (X, +) là moơt ước
n
• VÍ DÚ: Vành sô nguye ó đa sô h 9/ ù đa sô m.
cụa m. Thaơt vaơy, với mĩi a ∈ X và n là câp cụa nó, hi đó ta có m.a = m(1.a) = (m.1)a = 0.a = 0. Chia m cho n ta được m = nq + r, 0 ≤
k
r < n. Nêu r > 0 thì từ ma = (nq + r)a = (nq)a + ra = 0 suy ra ra = 0, nhưng đieău này ađu thuaơn với tính chât bé nhât cụa n. Vaơy phại có r = 0, tức là n | m.
mo hoaịc là đơn câu hoaịc là đoăng câu
m
• CHÚ Ý: Ta hieơu moơt đoăng câu f (đơn câu, tòan câu, đẳng câu) từ trường X đên trường Y như là moơt đoăng câu (đơn câu, tòan câu, đẳng câu) vành. Vì trong trường khođng có ideal nào khác ngòai các ideal taăm thường neđn ta có hoaịc kerf = {0} hoaịc kerf = X. Trường hợp kerf = {0} thì f là moơt đơn câu. Còn trường hợp kerf = X thì f là đoăng câu khođng. Vaơy ïi đoăng câu trường
khođng.
5. Các định lí nhúng đẳng câu
5.1 Định lí (nhúng đẳng câu moơt vị nhóm)
Giạ sử X là moơt vị nhóm giao hoán với phaăn tử đơn vị là e. S là taơp hợp tât cạ các phaăn tử chính qui cụa X ( moơt phaăn tử a ∈ X gĩi là phaăn tử chính qui nêu với mĩi
b, c X sao cho ab = ac hoaịc ba = ca thì b = c). Khi đó có moơt vị nhóm giao hoán ∈ X và moơt đơn câu f từ X đên X thỏa các tính chât sau
X. a) Mĩi phaăn tử cụa f(S) đeău có nghịch đạo trong
b) Các phaăn tử cụa X có dáng f(x).[f(a)]–1 với x ∈ X và a ∈ S.
Chứng minh:
) Xađy dựng vị nhóm X
1 . Tređn taơp tích X × S, ta xác định moơt quan heơ tương đương (x, a) R (y, b) ⇔ xb = ay
ính phạn xá, đôi xứng là rõ ràng. Giạ sử có (x, a)R(y, b) và (y, b)R(z, c), tức là xb à (x, R như sau
T
= ay và yc = bz, từ đó xbc = abz. Vì b chính qui neđn suy ra xc = az, tức l a)R(z, c). Vaơy R là baĩc caău.
Đaịt X là taơp thương (X × S)/R mà các phaăn tử cụa nó được kí hieơu là (x,a). Tređn
X ta xác định phép toán trong như sau
(x,a).(y,b) = (xy,ab)
Định nghĩa khođng phú thuoơc vào đái dieơn cụa các lớp tương đương. Thaơt vaơy, giạ sử
(x,a y' thì suy ra xya'b' = x'y'
b, tức là
) R (x',a') và (y,b) R (y',b'), tức là xa' = ax' và yb' = b
) ab , xy ( = (x'y',a'b') a .
Khi đó có theơ kieơm tra raỉng X là vị nhóm giao hoán, với phaăn tử đơn vị là (e,e).
→ X được xác định bởi f(x) = (x,e). 2) Đơn câu f : X ) e , xy ( =(x,e)(y,e) = f(x)f(
f là đoăng câu vì f(xy) = y), f là đ n ánh vì từ f(x) = ơ
) e
, (y,e) x
( = , từ đó (x, e)R(y, e) hay xe = ye, suy ra x = y. f(y) suy ra
3) Caịp (X, f) thỏa mãn các tính chât neđu trong định lí. Thaơt vaơy, với x∈S phaăn tử nghịch đạo cụa f(x) = (x,e) là (e,x) vì (x,e).(e,x) =(x,x) = (e,e). Ngòai ra
oêi phaăn tử (x,a) cụa X có theơ viêt m ) a , x ( = (x,e).(e,a) = (x,e) ((a,e)) = f(x) –1.
ị nho X u là chính qui thì tât cạ các phaăn tử cụa
–1 .[f(a)]
NHAƠN XÉT:
•
X
1) Nêu mĩi phaăn tử cụa v ùm đeă
X X
đeău có phaăn tử nghịch đạo neđn là moơt nhóm. Maịt khác , vì f : X → là moơt đơn câu neđn X ≅ f(X) = {(x,e), x ∈ X} ⊂ X, trong trường hợp này ta cũng nói
raỉng vị nhóm X được nhúng đẳng câu vào nhóm X, và có theơ đoăng nhât phaăn tử
) e , x
( ∈X. Mĩi phaăn tử cụa X
x ∈ X với phaăn tử f(x) = do đó viêt được dưới
– 1
dáng x. y với x, y ∈ X.
) Ta có theơ chứng minh được raỉng caịp (X
2 , f) là duy nhât theo nghĩa sai khác nhau
moơt đẳng câu, nghĩa là nêu có moơt caịp (Y, g) khác thỏa mãn a) và b) trong định lí ó moơt đẳng câ :
thì c u ϕ X → Y và g = ϕ o f. Thaơt vaơy ta xét tương ứng t = ( )]–1. Tương ứng này là moơt ánh xá vì nêu có f(x).[f(a)]–1 = x').[f(a')] , tức là f(x)f(a' do f là đoăng câu, f(xa') = f(x'a), từ đó f(x).[f(a)]–1 a g x).[g(
–1 a
f( ) = f(x')f(a), hay,
xa' = x'a (vì f đơn ánh) và do g là đoăng câu ta suy ra g(xa') = g(x'a), g(x)g(a') = g(x')g(a), g(x).[g(a)]–1 = g(x').[g(a')]–1. Deê dàng chư ra ϕ là moơt đẳng câu và g = ϕ • ÁP DÚNG:
o f.
) Sô nguyeđn. Áp dúng định lí tređn cho X = (∠0, +). Vì mĩi phaăn tử cụa ∠0 1
X là moơt nhóm mà ta kí hieơu nó 9. Các phaăn tử cụa 9 có dáng đeău chính qui neđn
) m , n
( , với m, n ∈∠0, được gĩi là các sô nguyeđn và phép coơng tređn 9 được xác định bởi ) m , n ( + (p,q) = (n+p,m+q)
so ng c ù theơ viêt dưới dáng m – n := m + (–n), với m, n ∈∠
Moêi â uyeđn o 0.
2) Sô hữu tư dương. Áp dúng định lí tređn cho X = (∠, •). Vì mĩi phaăn tử cụa
∠ đeău chính qui neđn X là moơt nhóm mà ta kí hieơu nó Θ+ . Các phaăn tử cụa Θ+ có áng (n,m), với m, n ∈∠, được gĩi là các sô hữu tư dương và phép nhađn tređn Θ+ d
được xác định bởi
(n,m).(p,q) = (np,mq)
oêi sô hữu tư dương có theơ viêt dưới dáng