2.1 Định nghĩa
• Cho (X,+,• ) là moơt vành. Taơp con S khác roêng cụa X được gĩi là moơt vành con
cụa X nêu
) S là taơp con oơn định cụa X, tức là, 1
a X ∈ S và nêu x, y∈ S thì x + y và x.y
S.
trường
cũng thuoơc
b) (S, +, •) là moơt vành.
• Cho (X,+,• ) là moơt trường. Taơp con S khác roêng cụa X được gĩi là moơt
con cụa X nêu
a) S là taơp con oơn định cụa X, tức là, nêu x, y∈ S thì x + y và x.y ũng thuoơc S.
b) (S, +, •) là moơt trường. NHAƠN XÉT:
•
1) Nêu S là trường con cụa trường X thì 1X ∈ S vì khi đĩ (S,+) là nhĩm con cụa (X,+) và (S – {0}, • l ø moơt nhĩm con c ûa nhĩm (X – {0}, • .
) Bât kì moơt vành X nào cũng cĩ hai vành con taăm
) a u )
2 thường là bạn thađn nĩ và
vành khođng( chư goăm phaăn tử 0 cụa X)
2.2 Định lí (tieđu chuaơn nhaơn biêt moơt vành con)
Taơp con S ≠∅ cụa vành X là vành con nêu và chư nêu a) 1X ∈ S b) Nêu a, b ∈ S thì a – b ∈ S. c) Nêu a, b ∈ S thì a.b ∈ S. hứng minh : ơn nhieđn nh cụa h kêt hợp neđn nĩ cũng kêt hợp trong S; phaăn û đơn vị cụa X naỉm trong S neđn nĩ cũng là đơn vị cụa A. Vaơy (A – {0} , •) là vị
C
(⇒) : Hie
(⇐) : Từ b) suy ra (S, +) là nhĩm con cụa (X,+) và do đĩ S là taơp con oơn đị X. Maịt khác, vì phép • trong X cĩ tín
tư
nhĩm. Cuơi cùng luaơt phađn phơi cĩ hieơu lực trong X tât nhieđn cũng cĩ hieơu lực trong A.
Hịan tồn tương tự ta cũng cĩ
2.3 Định lí (tieđu chuaơn nhaơn biêt moơt trường con)
Taơp con S chứa nhieău hơn moơt tử cụa trường X là trường con nêu và chư nêu êu a, b S thì a – b
a) N ∈ ∈ S. b) Nêu a, b S thì a.b
∈ ∈ S.
c) Nêu a S và a ∈ ≠ 0 thì a–1 ∈ S.
định lí 2.3 cĩ theơ thay bởi đieău kieơn tương a
• CHÚ Ý: Đieău kieơn a), b) và c) trong đương:
') Nêu a, b ∈ S thì a – b ∈ S.
b') Nêu a, b ∈ S và b ≠ 0 thì a.b–1 ∈ S.
• VÍ DÚ:
2] = {a + b
2) 9[ 2 : a, b ∈9} là moơt vành con cụa (3 , +, •).
2 2 : a, b Θ } là moơt trường con cụa (3 , +, •). øm sơ thođng thường).
∈
] = {a + b 3) Θ [
4) Các hàm khạ vi f : 3→ 3 táo thành moơt vành con cụa vành các hàm lieđn túc ( với phép coơng và phép nhađn các ha
5) Nêu {A , i i ∈ I} là hĩ các vành con cụa X thì
I i∩∈ A cũng là vành con cụai X. Thaơt vaơy, rõ ràng 1X ∈ I i∩∈ Ai . Giạ sử x, y ∈ I
i∩∈ Ai , khi đĩ x, y ∈ Ai , với mĩi i ∈
I. Do Ai là vành con neđn x – y và xy ∈ Ai, với mĩi i∈ I. Từ đĩ suy ra x – y và xy
∈ I i∩∈ Ai. Vaơy, theo 2.2, I i∩∈ Ai cũng là vành con cụa X. 3. Ideal - Vành thương 3.1 Định nghĩa
• Cho (X,+, •) là moơt vành và A là moơt taơp con khác roêng cụa X. Khi đĩ A được gĩi là ideal cụa X nêu ba đieău kieơn sau được thỏa mãn:
1) (A,+) là nhĩm con cụa (X,+).
2) ax∈ A và xa ∈ A với mĩi a ∈ A, với mĩi x ∈ X.
• VÍ DÚ:
1) Cho (X,+, •) là vành, khi đĩ {0} và X là các ideal cụa X, chúng được
i
) Cho (X,+, •) là moơt vành giao hốn và b là moơt phaăn tử cụa X. Khi đĩ taơp hợp ) Xét C [0,1] là vành các hàm lieđn túc tređn đĩan [0,1]. Đaịt J là taơp tât cạ các hàm f
gĩi là các deal taăm thường cụa X. 2
Xb = { xb : x ∈ X } là ideal cụa X. 3
∈ C [0,1] sao cho f(21) = 0. Khi đĩ J là moơt ideal cụa C [0,1].
ø moơt
{a + b : a
4) Xét vành sơ nguyeđn (9, +, •) và J là taơp các sơ nguyeđn chẵn. Khi đĩ J la ideal cụa 9. Taơp các sơ nguyeđn lẹ cĩ phại là ideal cụa 9 khođng? Taơp hợp m 9 goăm các boơi sơ cụa m là moơt ideal cụa 9.
5) Nêu A và B là các ideal cụa vành X, thì taơp A + B = ∈A, b B}
ø moơt ideal cụa X. ∈
la
6) Nêu A, B là các ideal cụa vành X, thì AB = {∑n aibi : ai∈A, b B, ni∈ ∈∠} là
=1 i
7) Nêu {Ai , i∈I} là hĩ các ideal cụa X thì A =
I
i∩∈ Ai cũng là ideal cụa X.
Thaơt vaơy, trước hêt A ≠∅ vì cĩ ít nhât phaăn tử 0 cụa vành X thuoơc tât cạ các eal A , và do đĩ nĩ thuoơc A. Giạ sử x, y
id ∈ A, khi đĩ x, y ∈ Ai ,∀ i I. Do Ai là
eđn x – y Ai, với mĩi i ∈
i
nhĩm con n ∈ ∈ I, từ đĩ x – y ∈ A. Vaơy (A,+) là moơt nhĩm
ụa A và x là moơt phaăn tử cụa X, ta cĩ i, từ đĩ
X
⊂ A.
) Giạ sử X là moơt vành giao hốn khođng taăm thường. Khi đĩ X là moơt trường d nào ù l taăm thường. Thaơt vaơy, giạ â deal t ì ư moơt phaăn tử a ≠ 0, do X là ường neđn toăn tái phaăn tử nghich đạo a–1
con. Bađy giờ giạ sử a là moơt phaăn tử bât kì c
a ∈ A neđn a ∈ Ai ,∀ i ∈ I, mà Ai là ideal neđn xa và ax thuoơc Ai, với mĩi xa và ax thuoơc A. Như vaơy A là moơt ideal.
• CHÚ Ý:
A cụa vành X chứa phaăn tử đơn vị 1 thì A = X. Thaơt vaơy, vì với mĩi 1) Nêu ideal
x ∈ X ta cĩ x = x.1 ∈ A, tức là X 2
khi và chư khi X khođng cĩ i eal ngĩai trừ cac idea sử X là moơt trường. Neu I là i khác {0} h I ch ùa
∈ X. Vì 1 = a.a–1∈
tr I neđn theo chú ý 1) ở
giạ sử X khođng cĩ ideal nào ngĩai trừ các ideal taăm thường. hác 0 bât kì cụa X. Deê kieơm tra raỉng taơp hợp X.a = {xa, x tređn I = X. Ngược lái,
Gĩi a là moơt phaăn tử k ∈
X} là moơt ideal cụa X. Vì X.a ≠ {0} neđn X.a = X, từ đĩ với 1∈X, toăn tái a' X sao
ho ø a' = a–1. ∈
c a' a = a a' = 1, tức la
3. 2 Ideal chính
• ChoX là moơt vành giao hĩan , S là moơt taơp con cụa X. Khi đĩ, giao cụa các à nĩ là ideal nhỏ nhât cụa vành X chứa
sinh ra bởi taơp S và ký hieơu < S >.
< a , a ,...., a > = {x a + x a +....+x a : x , x , ...,x ideal cụa X chứa S là moơt ideal chứa S, v
taơp S. Ideal này sẽ được gĩi là ideal
• Nêu S = {a1, a2,...., an } thì < S > được gĩi là ideal sinh ra bởi các phaăn tử a1, a2,...., an. Cĩ theơ chư ra raỉng
1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n ∈ X }
ăn tử a thì ideal sinh bởi moơt phaăn tử a được gĩi là ideal hính.
• Nêu S chư goăm moơt pha
c
3. 3 Vành thương
• Giạ sử (X,+, •) là moơt vành và I là moơt ideal cụa X. Khi đĩ, (I,+) là nhĩm con giao hĩan cụa (X,+). Nhĩm thương X / I = {x + I | x ∈ X } cũng là nhĩm giao
(x + I) + ( y + I) = (x + y) + I.
hĩan (xem múc nhĩm thương), với phép tĩan coơng xác định như sau
Bađy giờ ta muơn trang bị tređn X / I moơt phép tĩan nhađn đeơ nĩ trở thành moơt vành. k ta định nghĩa phép nhađn giữa úng như sau
(x + I).( y + I) = x.y + I.
eê thây raỉng qui taĩc này khođng phú thuoơc đái dieơn cụa các lớp x + I, y + I, nĩ cĩ h kêt hợp, phađn phơi đơi với phép coơng và cĩ phaăn tử đơn vị là 1 + I. Vaơy (X /
I,+, g cụa X tređn I.
Giạ sử x + I và y + I là hai phaăn tử bât ì cụa X / I, ch
D tín
• ) là moơt vành, nĩ được gĩi là vành thươn
• VÍ DÚ:
1) Nêu I = {0} thì X /{0} = {x + {0}} = X.
2) Nêu I = X thì X / X = {x + X : x ∈ X} = {X}, vành thương trong trường ợp này là vành taăm thường, nĩ chư chứa cĩ moơt phaăn tử đơn vị là X.
à m 9 là ideal cụa 9. Vành thương cụa 9
m m 9 h 3) Xét vành các sơ nguyeđn 9 v tređn m 9 là 9 = 9/ = {0, 1, …, m−1} p + q = p+q và p.q = p.q với các phép tốn 4. Đoăng câu vành 4.1 Định nghĩa
đơn câu, tịan câu, đẳng câu nêu f laăn lượt là đơn
ánh ,•) toăn tái moơt đẳng câu vành,
• ành thì f : (X,+) →
,+) là đoăng câu nhĩm.
ât id :X → X là moơt đẳng câu vành.
• Cho (X,+, • ),(Y,+, • ) là các vành. Ánh xá f : X → Y được gĩi là moơt đoăng câu vành nêu với mĩi a, b∈ X, các đieău sau được thỏa mãn
) 1) f(a + b) = f(a) + f(b
2) f(a.b) = f(a). f(b)
3) f(1X) = 1Y
• Đoăng câu vành f được gĩi là
, tịan ánh, song ánh. Nêu giữa (X,+,•) và (Y,+ thì ta nĩi chúng đẳng câu với nhau, và viêt X ≅ Y.
• NHAƠN XÉT: Nêu f : (X,+, ) → (Y,+,•) là moơt đoăng câu v (Y
• VÍ DÚ:
m
2) Ánh xá f : (9 ,+, •) → (9n,+, •) , f(m) = , là tồn câu vành. ác đoăng câu cụa nhĩ
(X,+). Khi đĩ ánh xá f : (X, +, • ) (End(X), +, •), a a với fa(x) = a.x là moơt
X / I,
3) Cho (X, +, • ) là moơt vành và End(X) là vành c
→ af
đoăng câu vành.
) Giạ sử I là moơt ideal cụa vành X. Xét ánh xá 4
π: X → π(x) = x + I
4.2 Các tính chât cụa đoăng câu vành
π là moơt tồn câu vành, gĩi là tồn câu chính taĩc.
cụa Y. –1 (B) là vành con (tươ X
ịn cơ bạn cụa đoăng sau:
Các tính chât sau đađy là tương tự như trong nhĩm mà vieơc chứng minh nĩ là tương tự hoaịc được trực tiêp suy ra từ kêt quạ veă đoăng câu nhĩm.
Tính chât 1 Hợp cụa hai đoăng câu vành là moơt đoăng câu vành. Hơn nữa hợp cụa
•
hai đẳng câu là moơt đẳng câu.
•Tính chât 2 Cho (X,+, •) và (Y,+, •) là các vành và ï f : X → Y là moơt đoăng câu vành. Khi đĩ
a) Nêu A là vành con (tương ứng : ideal ) cụa X thì f(A) là vành con (tương ứng : ideal )
b) Nêu B là vành con (tương ứng : ideal ) cụa Y thì f ng ứng : ideal ) cụa X.
Đaịc bieơt ta cĩ Ker f = {x ∈ X : f(x) = 0Y} là moơt ideal cụa X .
•Tính chât 3 Cho (X,+, •) và (Y,+, •) là các vành và ï f : X → Y là moơt đoăng câu vành. Khi đĩ
) f là đơn câu khi và chư khi Kerf = {0 }. c
d) f là tồn câu khi và chư khi Imf = Y.
Tương tự như trường hợp đoăng câu nhĩm, ở đađy cũng cĩ đ h lí câu vành như
4.3 Định lí ( cơ bạn cụa đoăng câu vành)
Cho f là moơt đoăng câu từ vành X đên vành Y và π: X → X/Kerf là tồn câu chính taĩc từ vành X đên vành thương X / kerf . Khi đĩ toăn tái duy nhât moơt đoăng câu f* : X / kerf → Y sao cho f = f*o π, tức là bieơu đoă sau giao hốn:
X/Kerf eơ quạ X f Y π f*
Hơn nữa, f* là moơt đơn câu và Im f* = f(X) = Imf
4.4 H
) Với mĩi đoăng câu vành f : X Y ta cĩ f(X) → ≅
3 X/Kerf
4) Với mĩi tồn câu nhĩm f : X → Y ta cĩ Y ≅ X/Kerf.
4.5 Đaịc sơ cụa vành
va h khođng taăm thường X được gĩi là coù đaịc sơ
• Moơt øn m nêu và chư nêu m là sơ
guyeđn khođng ađm nhỏ nhât sao cho m.1 = 0.
đn 9 c ịc 0, vàn m 9 co ịc
• NHAƠN XÉT: Nêu vành khođng taăm thường X cĩ đaịc sơ m thì câp cụa mĩi phaăn tử cụa nhĩm (X, +) là moơt ước
n
• VÍ DÚ: Vành sơ nguye ĩ đa sơ h 9/ ù đa sơ m.
cụa m. Thaơt vaơy, với mĩi a ∈ X và n là câp cụa nĩ, hi đĩ ta cĩ m.a = m(1.a) = (m.1)a = 0.a = 0. Chia m cho n ta được m = nq + r, 0 ≤
k
r < n. Nêu r > 0 thì từ ma = (nq + r)a = (nq)a + ra = 0 suy ra ra = 0, nhưng đieău này ađu thuaơn với tính chât bé nhât cụa n. Vaơy phại cĩ r = 0, tức là n | m.
mo hoaịc là đơn câu hoaịc là đoăng câu
m
• CHÚ Ý: Ta hieơu moơt đoăng câu f (đơn câu, tịan câu, đẳng câu) từ trường X đên trường Y như là moơt đoăng câu (đơn câu, tịan câu, đẳng câu) vành. Vì trong trường khođng cĩ ideal nào khác ngịai các ideal taăm thường neđn ta cĩ hoaịc kerf = {0} hoaịc kerf = X. Trường hợp kerf = {0} thì f là moơt đơn câu. Cịn trường hợp kerf = X thì f là đoăng câu khođng. Vaơy ïi đoăng câu trường
khođng.
5. Các định lí nhúng đẳng câu
5.1 Định lí (nhúng đẳng câu moơt vị nhĩm)
Giạ sử X là moơt vị nhĩm giao hốn với phaăn tử đơn vị là e. S là taơp hợp tât cạ các phaăn tử chính qui cụa X ( moơt phaăn tử a ∈ X gĩi là phaăn tử chính qui nêu với mĩi
b, c X sao cho ab = ac hoaịc ba = ca thì b = c). Khi đĩ cĩ moơt vị nhĩm giao hốn ∈ X và moơt đơn câu f từ X đên X thỏa các tính chât sau
X. a) Mĩi phaăn tử cụa f(S) đeău cĩ nghịch đạo trong
b) Các phaăn tử cụa X cĩ dáng f(x).[f(a)]–1 với x ∈ X và a ∈ S.
Chứng minh:
) Xađy dựng vị nhĩm X
1 . Tređn taơp tích X × S, ta xác định moơt quan heơ tương đương (x, a) R (y, b) ⇔ xb = ay
ính phạn xá, đơi xứng là rõ ràng. Giạ sử cĩ (x, a)R(y, b) và (y, b)R(z, c), tức là xb à (x, R như sau
T
= ay và yc = bz, từ đĩ xbc = abz. Vì b chính qui neđn suy ra xc = az, tức l a)R(z, c). Vaơy R là baĩc caău.
Đaịt X là taơp thương (X × S)/R mà các phaăn tử cụa nĩ được kí hieơu là (x,a). Tređn
X ta xác định phép tốn trong như sau
(x,a).(y,b) = (xy,ab)
Định nghĩa khođng phú thuoơc vào đái dieơn cụa các lớp tương đương. Thaơt vaơy, giạ sử
(x,a y' thì suy ra xya'b' = x'y'
b, tức là
) R (x',a') và (y,b) R (y',b'), tức là xa' = ax' và yb' = b
) ab , xy ( = (x'y',a'b') a .
Khi đĩ cĩ theơ kieơm tra raỉng X là vị nhĩm giao hốn, với phaăn tử đơn vị là (e,e).
→ X được xác định bởi f(x) = (x,e). 2) Đơn câu f : X ) e , xy ( =(x,e)(y,e) = f(x)f(
f là đoăng câu vì f(xy) = y), f là đ n ánh vì từ f(x) = ơ
) e
, (y,e) x
( = , từ đĩ (x, e)R(y, e) hay xe = ye, suy ra x = y. f(y) suy ra
3) Caịp (X, f) thỏa mãn các tính chât neđu trong định lí. Thaơt vaơy, với x∈S phaăn tử nghịch đạo cụa f(x) = (x,e) là (e,x) vì (x,e).(e,x) =(x,x) = (e,e). Ngịai ra
oêi phaăn tử (x,a) cụa X cĩ theơ viêt m ) a , x ( = (x,e).(e,a) = (x,e) ((a,e)) = f(x) –1.
ị nho X u là chính qui thì tât cạ các phaăn tử cụa
–1 .[f(a)]
NHAƠN XÉT:
•
X
1) Nêu mĩi phaăn tử cụa v ùm đeă
X X
đeău cĩ phaăn tử nghịch đạo neđn là moơt nhĩm. Maịt khác , vì f : X → là moơt đơn câu neđn X ≅ f(X) = {(x,e), x ∈ X} ⊂ X, trong trường hợp này ta cũng nĩi
raỉng vị nhĩm X được nhúng đẳng câu vào nhĩm X, và cĩ theơ đoăng nhât phaăn tử
) e , x
( ∈X. Mĩi phaăn tử cụa X
x ∈ X với phaăn tử f(x) = do đĩ viêt được dưới
– 1
dáng x. y với x, y ∈ X.
) Ta cĩ theơ chứng minh được raỉng caịp (X
2 , f) là duy nhât theo nghĩa sai khác nhau
moơt đẳng câu, nghĩa là nêu cĩ moơt caịp (Y, g) khác thỏa mãn a) và b) trong định lí ĩ moơt đẳng câ :
thì c u ϕ X → Y và g = ϕ o f. Thaơt vaơy ta xét tương ứng t = ( )]–1. Tương ứng này là moơt ánh xá vì nêu cĩ f(x).[f(a)]–1 = x').[f(a')] , tức là f(x)f(a' do f là đoăng câu, f(xa') = f(x'a), từ đĩ f(x).[f(a)]–1 a g x).[g(
–1 a
f( ) = f(x')f(a), hay,
xa' = x'a (vì f đơn ánh) và do g là đoăng câu ta suy ra g(xa') = g(x'a), g(x)g(a') = g(x')g(a), g(x).[g(a)]–1 = g(x').[g(a')]–1. Deê dàng chư ra ϕ là moơt đẳng câu và g = ϕ • ÁP DÚNG:
o f.
) Sơ nguyeđn. Áp dúng định lí tređn cho X = (∠0, +). Vì mĩi phaăn tử cụa ∠0 1
X là moơt nhĩm mà ta kí hieơu nĩ 9. Các phaăn tử cụa 9 cĩ dáng đeău chính qui neđn
) m , n
( , với m, n ∈∠0, được gĩi là các sơ nguyeđn và phép coơng tređn 9 được xác định bởi ) m , n ( + (p,q) = (n+p,m+q)
so ng c ù theơ viêt dưới dáng m – n := m + (–n), với m, n ∈∠
Moêi â uyeđn o 0.
2) Sơ hữu tư dương. Áp dúng định lí tređn cho X = (∠, •). Vì mĩi phaăn tử cụa
∠ đeău chính qui neđn X là moơt nhĩm mà ta kí hieơu nĩ Θ+ . Các phaăn tử cụa Θ+ cĩ áng (n,m), với m, n ∈∠, được gĩi là các sơ hữu tư dương và phép nhađn tređn Θ+ d
được xác định bởi
(n,m).(p,q) = (np,mq)
oêi sơ hữu tư dương cĩ theơ viêt dưới dáng