CHƯƠNG 2 : SƠ HĨC TREĐN 9
5. Các định lí nhúng đẳng câu
5.1 Định lí (nhúng đẳng câu mt vị nhĩm)
Giạ sử X là mt vị nhĩm giao hốn với phaăn tử đơn vị là e. S là tp hợp tât cạ các phaăn tử chính qui cụa X ( mt phaăn tử a ∈ X gĩi là phaăn tử chính qui nêu với mĩi
b, c X sao cho ab = ac hoaịc ba = ca thì b = c). Khi đĩ cĩ mt vị nhĩm giao hốn ∈ X và mt đơn câu f từ X đên X thỏa các tính chât sau
X. a) Mĩi phaăn tử cụa f(S) đeău cĩ nghịch đạo trong
b) Các phaăn tử cụa X có dáng f(x).[f(a)]–1 với x ∈ X và a ∈ S.
Chứng minh:
) Xađy dựng vị nhĩm X
1 . Tređn tp tích X × S, ta xác định mt quan h tương đương
(x, a) R (y, b) ⇔ xb = ay
ính phạn xá, đơi xứng là rõ ràng. Giạ sử cĩ (x, a)R(y, b) và (y, b)R(z, c), tức là xb à (x, R như sau
T
= ay và yc = bz, từ đĩ xbc = abz. Vì b chính qui neđn suy ra xc = az, tức l a)R(z, c). Vy R là baĩc caău.
Đaịt X là tp thương (X × S)/R mà các phaăn tử cụa nĩ được kí hiu là (x,a). Tređn
X ta xác định phép tốn trong như sau
(x,a).(y,b) = (xy,ab)
Định nghĩa khođng phú thuc vào đái din cụa các lớp tương đương. Tht vy, giạ sử
(x,a y' thì suy ra xya'b' = x'y'
b, tức là
) R (x',a') và (y,b) R (y',b'), tức là xa' = ax' và yb' = b
) ab , xy ( = (x'y',a'b') a .
Khi đĩ cĩ theơ kieơm tra raỉng X là vị nhĩm giao hốn, với phaăn tử đơn vị là (e,e).
→ X được xác định bởi f(x) = (x,e). 2) Đơn câu f : X ) e , xy ( =(x,e)(y,e) = f(x)f(
f là đoăng câu vì f(xy) = y), f là đ n ánh vì từ f(x) = ơ
) e
, (y,e) x
( = , từ đĩ (x, e)R(y, e) hay xe = ye, suy ra x = y. f(y) suy ra
3) Caịp (X, f) thỏa mãn các tính chât neđu trong định lí. Tht vy, với x∈S phaăn tử
nghịch đạo cụa f(x) = (x,e) là (e,x) vì (x,e).(e,x) =(x,x) = (e,e). Ngòai ra i phaăn tử (x,a) cụa X cĩ theơ viêt
m ) a , x ( = (x,e).(e,a) = (x,e) ((a,e)) = f(x) –1.
ị nho X u là chính qui thì tât cạ các phaăn tử cụa
–1 .[f(a)]
NHN XÉT:
•
X
1) Nêu mĩi phaăn tử cụa v ùm đeă
X X
đeău cĩ phaăn tử nghịch đạo neđn là mt nhĩm. Maịt khác , vì f : X → là mt đơn câu neđn X ≅ f(X) = {(x,e), x ∈ X} ⊂ X, trong trường hợp này ta cũng nĩi
raỉng vị nhĩm X được nhúng đẳng câu vào nhĩm X, và cĩ theơ đoăng nhât phaăn tử
) e , x
( ∈X. Mĩi phaăn tử cụa X
x ∈ X với phaăn tử f(x) = do đĩ viêt được dưới
– 1
dáng x. y với x, y ∈ X.
) Ta cĩ theơ chứng minh được raỉng caịp (X
2 , f) là duy nhât theo nghĩa sai khác nhau
mt đẳng câu, nghĩa là nêu cĩ mt caịp (Y, g) khác thỏa mãn a) và b) trong định lí
ĩ mt đẳng câ :
thì c u ϕ X → Y và g = ϕ o f. Tht vy ta xét tương ứng t = ( )]–1. Tương ứng này là mt ánh xá vì nêu cĩ f(x).[f(a)]–1 = x').[f(a')] , tức là f(x)f(a' do f là đoăng câu, f(xa') = f(x'a), từ đĩ f(x).[f(a)]–1 a g x).[g(
–1 a
f( ) = f(x')f(a), hay,
xa' = x'a (vì f đơn ánh) và do g là đoăng câu ta suy ra g(xa') = g(x'a), g(x)g(a') = g(x')g(a), g(x).[g(a)]–1 = g(x').[g(a')]–1. Deê dàng chư ra ϕ là mt đẳng câu và g = ϕ • ÁP DÚNG:
o f.
) Sơ nguyeđn. Áp dúng định lí tređn cho X = (∠0, +). Vì mĩi phaăn tử cụa ∠0
1
X là mt nhĩm mà ta kí hiu nĩ 9. Các phaăn tử cụa 9 có dáng đeău chính qui neđn
) m , n
( , với m, n ∈ ∠0, được gĩi là các sơ nguyeđn và phép cng tređn 9 được xác
định bởi ) m , n ( + (p,q) = (n+p,m+q)
so ng c ù theơ viêt dưới dáng m – n := m + (–n), với m, n ∈ ∠
Moêi â uyeđn o 0.
2) Sơ hữu tư dương. Áp dúng định lí tređn cho X = (∠, •). Vì mĩi phaăn tử cụa
∠ đeău chính qui neđn X là mt nhĩm mà ta kí hiu nĩ Θ+ . Các phaăn tử cụa Θ+ có áng (n,m), với m, n ∈ ∠, được gĩi là các sơ hữu tư dương và phép nhađn tređn Θ+
d
được xác định bởi
(n,m).(p,q) = (np,mq)
oêi sô hữu tư dương cĩ theơ viêt dưới dáng M q p := p.q– 1 , với p, q ∈ ∠. u 5.2 Định lí ( nhúng đẳng câu mt vành ng yeđn)
Giạ sử X là mt vành nguyeđn với phaăn tử đơn vị là 1. X* là tp hợp tât cạ các phaăn tử khác 0 cụa X. Khi đĩ cĩ mt trường X và mt đơn câu (vành) f từ X đên X
thỏa các tính chât sau
a) Mĩi phaăn tử cụa f(X*) đeău cĩ nghịch đạo trong X.
X có dáng f(x).[f(a)]–1 với x ∈ X và a ∈ X*. b) Các phaăn tử cụa
Chứng minh:
. Vì (X, +, •) là vành nguyeđn neđn (X, • ) là mt vị nhĩm giao hốn, và X là tp các *
haăn tử chính qui. Gĩi X
p là vị nhĩm nhađn giao hốn được xađy dựng như trong định
lí 5.1, với phép tốn như sau
) a , x ( .(y,b) = (xy,ab)
. Bađy giờ trong X xác định theđm mt phép tốn cng như sau: ) a , x ( + (y,b) = (xb+ay,ab) Phép tốn này được xác định khođng phú thuc va
tư g øo vic chĩn các đái din cụa lớp
xa' = ax' và yb' = by'
ng hai đẳng thức này vê theo vê (xb + ay)a'b' = (x'b' + a'y')ab ơng đươn . Tht vy, giạ sử (x, a) R (x', a') và (y, b) R (y', b'), tức là
thì suy ra xa'bb' = ax'bb' và yb'aa' = by'aa' C
tức là (xb+ay,ab) = (x'b'+a'y',a'b')
. Khi đĩ cĩ theơ kieơm tra raỉng (X, +) là mt nhĩm giao hốn, phaăn tử đơn vị là 0 =
) 1 ,
0 (x,a) là (−x,a), (X
( , phaăn tử nghịch đạo cụa – {0} , •) như đã biêt là mt
) a , x
( ≠ 0 đeău cĩ nghịch đạo là
vị nhĩm giao hốn, hơn nữa mĩi phaăn tử (a,x).
Ngịai ra phép nhađn cĩ tính chât phađn phơi đơi với phép cng. Như vy (X, +, •) ø mt trường.
la
. Xét ánh xá f : X → X được xác định bởi f(x) = (x,1). Như đã biêt f là mt đơn
) 1 , y x ( + = (x,1) +
ánh thỏa f(xy) = f(x).f(y), hơn nữa f(x + y) = (y,1) = f(x) + f(y). Như vy f là mt đơn câu vành.
3) Caịp (X, f) thỏa mãn các tính chât neđu trong định lí. Tht vy, với x X∈ * phaăn tử
) 1 , x
( là (1,x). Ngòai ra mi phaăn tử (x,a) cụa
nghịch đạo cụa f(x) = X cĩ theơ
viêt (x,a) = (x,1).(1,a) = (x,1) ((a,1))–1 = f(x).[f(a)]–1.
• CHÚ Ý: 1) Ta cũng cĩ theơ chứng minh được raỉng caịp (
X, f) là duy nhât theo ghĩa sai k
n hác nhau mt đẳng câu.
) Vì f :X
2 → X là mt đơn câu neđn X ≅ f(X) ={(x,1), x∈X} ⊂ X, trong trường hợp này ta cũng nĩi raỉng vành nguyeđn X được nhúng đẳng câu vào trường X,
và cĩ theơ đoăng nhât phaăn tử x∈X với phaăn tử f(x) = (x,1)∈X. Mĩi phaăn tử cụa
y x
:= x. y– 1 với x∈ X và y ∈ X
X do đĩ viêt được dưới dáng *.
i phaăn tử cụa X cịn được gĩi là mt phađn thức. Trường X
M do đĩ cịn được gĩi
cụa vành nguyeđn X. Thưnh là trừơng các phađn thức hay trường các thương
thoạng ta cũng viêt X = (X*)–1X ( trong đĩ X* = X – {0}) đeơ chư trường các nguyeđn 9. Trường các phađn thức cụa 9 được kí
. Như vy mi sơ hữu tư cĩ thương cụa vành nguyeđn X.
• VÍ DÚ: Áp dúng định lí cho vành
hiu là Θ. Các phaăn tử cụa Θ được gĩi là các sơ hữu tư theơ viêt dưới dáng m n–1 hoaịc
n với m
m
∈ 9 và n ∈ 9*.