CHƯƠNG 2 : SƠ HĨC TREĐN 9
6. Sơ hĩc tređn vành nguyeđ n Vành chính Vành Euclide Vành Gauss
6.9 Vành Gauss (Vành nhađn tử hĩa)
• Mt vành nguyeđn D được gĩi là vành Gauss hay vành nhađn tử hĩa nêu và chư
âu mi phaăn tử p khác 0 và khođng khạ nghịch cụa nĩ đeău phađn tích được thành
t phaăn tử khạ nghịch.
CHÚ Ý: Khi phađn tích mt phaăn tử p thành tích các nhađn tử bât khạ qui, mt vài ïng lũy thừa thì sẽ dăn đên dáng
ïc gĩi là thỏa đieău kin ƯCLN nêu hai phaăn tử bât kì cụa
n 2 1 3 2 . , an || an-1...
đeău dừng laiï, tức là toăn tái mt chư sô m sao cho am = am+1 =. . . ne
tích những phaăn tử bât khạ qui
p = p1 p2 … pn
và sự phađn tích này là duy nhât khođng keơ đên thứ tự các nhađn tử và các nhađn tử sai khác nhau m
•
hoaịc tât cạ các nhađn tử bât khạ qui đĩ cĩ theơ giơng nhau. Kêt hợp các nhađn tử giơng nhau lái và bieơu din tích cụa chúng dưới da
sau gĩi là dáng phađn tích chính taĩc p= pk1 1 pk2
2 ….pkm
m .
• VÍ DÚ: Vành sơ nguyeđn 9 là vành Gauss. • Mt vành nguyeđn đươ
nĩ đeău toăn tái ƯCLN.
• Mt vành nguyeđn D được gĩi là thỏa mãn đieău kin dãy dừng những ước thực
6.10 Định lí
Mt mieăn nguyeđn là vành Gauss nêu và chư nêu nĩ thỏa mãn đieău kin ƯCLN và đieău kin dãy dừng các ước thực sự .
Chứng minh:
(⇒) Giạ sử D là vành Gauss.
Đieău kin ƯCLN: Với mĩi a, b ∈ D*, gĩi {p ,...,p } là tp hợp tât
. 1 k cạ các phaăn tử
ât kha quy k tích cụa a và cụa b. Ta có
b û hác nhau trong sự phađn
a ∼ 1 k k 1 p pα ⋅ ⋅⋅ α với αi ≥ 0. b ∼ 1 k k 1 p pβ ⋅ ⋅⋅ β với βi ≥ 0.
Vì moêi ước cụa a đeău cĩ dáng u. ; với 0 ≤ γi ≤ αi ,và mi ước cụa b đeău cĩ dáng tương tự với 0 ≤ γj ≤ βj . Neđn
(a, b) = k 1 k 1 p pγ ⋅ ⋅⋅ γ k 1 k 1 p pλ λ
⋅ ⋅⋅ với i = Min(αi ,βi)
và c là những ước thực sự thì ta sẽ được sự phađn tích cụa a t tích những phaăn tử bât khạ qui baỉng cách nhađn các phađn tích tương ứng thì l(b) < l(a). êu dãy a ,a , ..., a ,... các phaăn tử cụa D sao cho a2 || a1, a3 || a2 ,... , an || an-1... ô nguyeđn dương l(a1) > l(a2) ...> l(a ) > ... 0, và đieău này dăn đên mađu thuaơn.
) Cho D là mieăn nguyeđn thỏa các đieău kin ƯCLN và dãy dừng các ước thực
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Baỉng cách lp lun như vy, sau mt sơ hữu hán bước, ta sẽ tìm được mt ước bât khạ qui cụa a, vì nêu khođng, thì dãy các ước thực sự a1,...,an ... sẽ khođng dừng, và đieău này mađu thuăn với giạ thiêt.
• Theo lí lun tređn thì a cĩ ít nhât mt ước bât khạ qui, giạ sử
λ
. Đieău kin dãy dừng các ước thực sự : Giạ sử a∈ D, a khác 0 và khođng khạ nghịch. Đaịt l(a) là sơ các nhađn tử trong sự phađn tích a thành tích các phaăn tử bât khạ qui. Nêu a = bc, với b
thành m
cụa b và c với nhau. Suy ra raỉng l(a) = l(b) + l(c).Vì vy nêu b || a
N 1 2 n
khođng dừng lái thì ta sẽ cĩ mt dãy giạm vođ hán các s
≥
> n
(⇐ sự.
• Giạ sử a là mt phaăn tử cụa D khác 0 và khođng khạ nghịch. Khi đĩ a cĩ ít nhât
mt ước là phaăn tử bât khạ qui, tht vy . Nêu a là bât khạ qui (đã chứng minh xong).
. Nêu a là khạ qui, tức là a cĩ mt ước thực sự là a1. . Nêu a1 là bât khạ qui (đã chứng minh xong).
a = p1a1 v qui
ì cũng ređn
= p2 a2 với p2 bât khạ qui
êu a2 khođng khạ nghịch thì cũng eo tređn a2 = p3 a3 với p3 bât khạ qui
. . . . . . . . . . . .
ác øng ạ qui.
1 2 n 1 2 m i j là bât khạ qui.
{1, 2, …, m} sao cho p1| qj. Baỉng cách đánh sơ lái, cĩ theơ giạ sử j =1, tức là p1| q1. Vì p1, q1 đeău bât khạ qui neđn p1 ∼ q1, suy ra q1
ới u1 g u
p1 p2...pn = u1 p1 q2 ...qm hay p2 ...pn = u1 q2 ...qm ; ûn ước, ta được :
xạy ra vì qn+1, ...,qm, khođng khạ nghịch. Vy phại cĩ n ≥ . Vai trị m, n là như nhau, neđn tương tự cĩ m ≥ n, từ đĩ m = n. Ngịai ra Baỉng
6.11 Định lí
ới p1 bât khạ
. Nêu a1 là khạ nghịch (sự phađn tích đã xong). Nêu a1 khođng khạ nghịch th theo t
a1
. Nêu a2 là khạ nghịch (sự phađn tích đã xong). N th
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Quá trình này phại châm dứt sau sơ hữu hán bước, vì trong dãy a1, a2,.., an, .. c ứng lieăn trước nĩ. Nêu quá trình dư phaăn tử đứng sau là ước thực sự cụa phaăn tử đ
sau bước thứ n thì ta có
a = p1 p2...pn với pi là bât kh
• Giạ sử : p p ...p = a = q q ...q , trong đĩ các p , q
Vì p1 | q1...qm neđn toăn tái j ∈
ta
= u1 p1 v khạ n hịch. L ùc này ta cĩ
Baỉng lp lun như tređn, nêu n < m thì sau n laăn gia 1 = u1...un qn+1...qm
nhưng đieău này khođng theơ m mt cách đánh sơ thích hợp, ta cũng cĩ pi = ui qi với ui khạ nghịch. hứng inh: đn vành chính (định ớc xét dãy các ước thực sự n-1...
êu ai ≠ aj với mĩi i ≠ j thì ta cĩ mt dãy các ideal < 1> < < a
Mĩi vành chính đeău là vành Gauss
C m Ta đã biêt raỉng đieău kin ƯCLN được thỏa mãn tre
lí 6.4). Do đĩ, từ định lí 6.10, ta chư caăn chứng minh đieău kin dãy dừng những ư thực sự cũng được thỏa mãn tređn vành chính. Tht vy,
trong vành chính D
a ,a , ..., a ,... với a a , a a ,... , a1 2 n 2 || 1 3 || 2 n || a
N
Nêu ịt I ai > ì I m ide cụa . T t va gia û x là i ph ăn tư ât k ụa c I, i đ ăn i, j o o x
đa = ∞
=
∪ 1
i < th là t al D haơ ơy, û sư , y ha a û
b ì c ụa kh ó to tái sa ch ∈ < a vai > ø y ∈ < j >, từ đĩ x, y < a
= max {i, j}. Vì < ak > là nhĩm con neđn x – y a ∈ k
> với k ∈ < ak > và do đĩ x – y I.
o ai n tử
ì ăn lượ huc I và D, khi đĩ x
∈
Vaơy I là nhĩm con cụa nhĩm c ơng (D, +). Maịt khác, giạ sử x và a là h phaă bât k la t t ∈ < ak > với mt k nào đĩ. Vì < ak > là mt
ideal neđn x a, a x ∈ < ak > ⊂ I. Vy I là mt ideal cụa D, mà D là vành chính neđn I
là mt ideal chính, tức là I = < a > với a∈ D. Vì a ∈ I neđn toăn tái n sao cho a <
n >, tức là I ⊂ < a > < an+1 > ⊂ I, và đieău này dăn đên mađu thuăn. ∈
BÀI TP
đn taơp X ≠ ∅ thỏa các tính chât a) (X,+) là nhóm
c) Phép tốn • phađn phơi với phép tốn +.
co a sau :
(c, d) = (ac, ad + bc).
3.
1. Giạ sử + và • là hai phép tốn trong tre . b) (X,• ) là vị nhĩm. Chứng minh raỉng (X,+, • ) là mt vành.
2. Cho 3là tp các sơ thực. Tređn 32 ù xác định c ùc phép tốn + và • như (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
(a, b) •
Chứng minh raỉng (32 ,+, • ) là mt vành giao hoán. Cho mt hĩ các vành {(Xi ,+, •), i ∈ I} và X = ∏
∈I i
i
X . Tređn X xác định các
(xi)i∈I .(yi ) i∈I = (xi .yi ) i∈I
inh raỉng (X,+, •) là mt vành, và X giao hốn nêu các Xi là giao hốn. ành X được gĩi là tích trực tiêp cuạ các vành Xi.
với các phép tốn cng và hađn các hàm thođng thường thì (33,+, •) là mt vành giao hĩan. 33 cĩ phại là moơt
. Ta gĩi câu trúc đái sơ (X,+, •) là mt giạ vành nêu các phép tốn trong + và
a) (X,+) là nhĩm giao hốn . b) (X, •) là nửa nhĩm.
c) Phép tốn • phađn phơi với phép tốn +.
hứng minh raỉng các tp hợp tương ứng với các phép tốn sau là các giạ vành phép tốn + và • như sau :
(xi )i∈ I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I .
Chứng m V
4. Đaịt 33 = {hàm sô f : 3→ 3}. Chứng minh raỉng đơi n
mieăn nguyeđn hay khođng?
5
• tređn X thỏa mãn ba đieău kin sau đađy :
C
1) Tp hợp các hàm sơ thực lieđn túc f tređn 3 sao cho : ∫−+∞∞ f(x)dx < ∞
g thường các hàm. ùn cng và nhađn các sơ.
ép tốn tređn X được cho bởi
b c với các phép tốn cng và nhađn thođn
2) Tp hợp 29 với phép toa 3) X = { 0, a, b, c } với các ph
0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 a b c b b c 0 a b 0 0 0 0 c c b a 0 c 0 a b c
4) Taơp X = {(a, b, – b, a) : a, b∈ 9}, với các phép tốn + và • như sau :
, ad + bc, – ad – bc, ac – bd). . Cho (X,+, •) là mt giạ vành và Z(X) = {x (a, b, – b, a) + (c, d, – d, c) = (a + c, b + d, –b – d, a + c) (a, b, – b, a) • (c, d, – d, c) = (ac – bd
6 ∈ X : ax =xa, với mĩi a X} ∈
là tađm cụa X. Giạ sử với mĩi x ∈ X, x2 – x ∈ Z(X).
a) Chứng min raỉng vh ới mĩi x, y ∈ X, xy + yx ∈ Z(X).
) Suy ra xy = yx với mĩi x, y
b ∈ X.
. Trong mt vành giao hốn X, hãy chứng minh cođng thức nhị thức Newton 7 ∑ = − = +b) nCkakbn k a ( n
ađn các hàm sơ thođng thường chứng tỏ tp
[0,1 = {hàm sơ f :[0, 1] 3 } là mt vành giao hốn. Các tp hợp sau cĩ phại là
ợp các hàm sơ khạ tích tređn [0,1]. 0 k n 8. Đơi với các phép tốn cng và nh ] → 3 vành con cụa 3[0,1]
a) Tp hợp các hàm sơ lieđn túc tređn [0,1]. b) Taơp h
9. Chứng minh raỉng
a) 9[i] = { a + bi : a, b ∈ 9} là vành con cụa (∀,+, •). b) 9[ 2] = { a + b 2 : a, b ∈ 9} là vành con cụa (3,+, •).
) Θ [ 2] = { a + b 2 : a,b Θ} là trường con cụa (R,+, ⋅)
0. Cho mt hĩ các vành con {Ai, i
∈
c
1 ∈I} cụa X. Giạ sử raỉng, với mĩi i, j I toăn tái
eău chứa trong Ak . Chứng minh raỉng ∈
I i∪∈
k∈I sao cho Ai và Aj đ Ai là vành con
.
: toăn tái n∈ ∠ : an = 0}. A cĩ phại là hứng minh cụa X.
11. Cho (X,+, •) là mt vành và gĩi Z(X) = {a ∈ X : ax = xa, với mĩi x∈ X} là tađm
cụa X. Chứng minh raỉng Z(X) là vành con cụa X
12. Cho (X,+, •) là mt vành và A = {a ∈X
àn con cụa X khođng? v h
Cho (X,+,
13. •) là mt vành và f : X →X là mt đoăng câu vành. C
14. Tìm tât cạ các tự đoăng câu vành cụa các vành 9, 9 [ 2], 9 [i].
2
15. Cho Θ là tp các sơ hữu tư. Tređn Θ xác định các phép tốn + và • như sau : (a, b) • (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc) .
[ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) .
Chứng minh raỉng (Θ 2 ,+, •) là mt vành và nĩ đẳng câu với (Θ 2],+, • ) . Cho (X,+,•) là mt vành và End(X) là vành các tự đoăng câu cụa nhĩm cng
fa ∈
b) .Chứng minh raỉng ánh xá h : X End(X) , a a , là đơn câu vành.
uy ra raỉng mĩi vành cĩ theơ xem như là vành con cụa vành các tự đoăng câu cụa
7. Cho mt vành X. .Chứng minh raỉng toăn tái duy nhât mt đoăng câu vành f :9
. Chứng minh raỉng các vành 9).
hán cĩ đaịc sơ m > 0.
. û A là ideal
X.
21. Cho (X,+, • ) là mt vành giao hốn. . Chứng minh raỉng taơp con
2. Cho (X,+, •) là mt vành giao hốn và A, B là các ideal cụa X. Chứng minh
ỉng C = {x∈ X : x b ∈ A , với mĩi b ∈ B} là mt ideal cụa X.
23. Cho A là tp con khác rng cụa vành X. . Chứng minh raỉng taơp con
16.
(X,+). Với mi a ∈ X, định nghĩa ánh xá : fa : X → X , fa (x) = ax. a) Chứng minh raỉng End(X).
→ af
S
nhĩm cng cụa nó.
1
→ X. Hơn nữa, nêu X cĩ đaịc sơ 0 thì f là đơn câu.
18 sau đađy cĩ đaịc sô 0 : 9, Θ , 3, ∀ , Mat3 (n), End(
19. Chứng minh raỉng mĩi vành hữu
20. Cho (X,+, •) là mt mt vành và n∈9 Chứng to = { x ∈ X : nx = 0} cụa
A = { x ∈ X : rx = 0 ; với mĩi r ∈ X } là ideal cụa X.
2 ra { ∑ } = ∈ ∈ ∈ ∈ = n 1 i i i i i i ia y : x ,y X; a A; i 1,n; n N x ) A ( . là mt ideal cụa X
24. Cho A là ideal và B là vành con cụa vành X. Chứng minh raỉng
a) A + B là mt vành con cụa X. b) A B là ideal cụa B.
d) B/(A ) đẳng câu với (A + B
25. Cho X1, X2 là hai vành × X2 .
1 2 ùc ideal cụa vành tích X = X1 × X2 thỏa :
∩B )/A.
và A1 = X1 ×{0}, A2 = {0} a) Chứng minh raỉng A , A là ca
A1 ∩A2 = {0} và A1 + A2 = X.
1 2
khođng phại là vành con cụa X.
4, 95, 96, 948 , XA = {ánh xá f : A X}
27. Chứng minh raỉng Θ [
b) Chứng tỏ phép chiêu pi : X → Xi , (x1, x2) axi là mt tồn câu. Xác định Kerpi . Chứng minh raỉng X/Aj ≅ Xi với i,j ∈ {1, 2} và i ≠ j.
c) Chứng tỏ A , A là các vành đơi với các phép tốn + và • xác định tređn X, nhưng
26. Vành nào trong các vành sau là mieăn nguyeđn, trường : 93, 9
→
2] là trường. 9[ 2 ]cĩ phại là trường khođng ?
⎛ a b a trong đĩ a, b 28. Trong Θ , cho các phép tốn : a * b = a + b – 1 và a ⊥ b = a + b – ab. (Θ ,*, ⊥ ) có phại là mt trường khođng?
⎟⎟⎠
⎞ ∈
29. Cho T là tp các ma trn dáng ⎜⎜⎝2b Θ. Chứng minh
raỉng đơi với phép cng và nhađn ma trn, T là mt trường và T đẳng câu với trường
Θ [ 2].
30. Chứng minh raỉng vành con cụa mieăn nguyeđn là mieăn nguyeđn.
31. Chứng minh raỉng mĩi trường hữu hán đeău cĩ đaịc sơ khác 0. Mĩi trường đeău cĩ
đaịc sơ 0 hay là sơ nguyeđn tô.
32. Nêu (X,+, ⋅) là mt trường cĩ đaịc sơ p. Chứng minh raỉng
là lũy linh nêu toăn tái n∈ ∠
p p p
a) (x + y) = x + y . ) (x – y)p = xp – yp . b
3. Trong vành giao hốn X, mt phaăn tử x được gĩi 3
sao cho xn = 0 . Chứng minh raỉng
a) Nêu x, y là lũy linh thì x + y cũng lũy linh. b) Nêu x lũy linh thì (1 + x) | 1.
c) Nêu x lũy linh và u | 1 thì (u + x) | 1.
34.
a) Chư ra raỉng A = {a + b −3, a, b ∈ 9} ⊂ ∀ là mt vành nguyeđn. 3
− , 1 – −3
b) Chứng minh raỉng phaăn tử 2, 1 + , là những phaăn tử bât khạ qui. Chứng tỏ phaăn tử 4 cĩ hai dáng phađn tích thành nhađn tử bât khạ qui khác nhau. Từ đĩ suy ra A khođng phại là mt vành chính.
35. Chứng minh raỉng mĩi trường đeău là vành chính.
vành A được gĩi là vành Boole nêu và chư nêu x2 = x với mĩi x A. đĩ 92 là vành các sơ nguyeđn odulo 2 và (92) là tp các ánh xá từ E đên 92 .
c taơp con cụa E à là hiu đơi xứng
36.
a) Vành con cụa mt vành chính cĩ phại là vành chính khođng?
b) Vành thương cụa mt vành chính cĩ phại là mt vành chính hay khođng?
37. Cho A là mt vành chính và p là mt phaăn tử bât khạ qui cụa A. Chứng minh
raỉng vành thương A/<p> là mt trường.
8. Moơt 3
Cho moơt taơp E. Chứng minh raỉng ∈
a) ((92)E , +, • ) là mt vành Boole, trong
E
m
b) (P(E), ∆, ∩ ) là mt vành Boole, trong đĩ P(E) là tp cá ∆
v
c) Cho A là mt tp con cụa E, ta kí hiu χA(x) : E → 92, được xác định ởi b χA(x) = ⎨⎧ ⎩ 0 1 A khi khi A x x ∉ ∈
gĩi là hàm đaịc trưng cụa A. Khi đĩ ánh xá P(E) (92)E, A , là mt đẳng câu vành.
CHƯƠNG 5: VÀNH ĐA THỨC
Vành đa thức mt biên 1
1.1 Định nghĩa
• Giạ sử A là mt vành giao hĩan với phaăn tử đơn vị là 1 ≠ 0. Gĩi M là tp hợp