3.1 Định nghĩa
, ơt nhóm , và H là moơt taơp con cụa X. H được gĩi là oơn định (đôi ới phép toán • trong X) nêu và chư nêu a • b
• Cho (X • ) là mo
v ∈ H với mĩi a, b∈ H. Khi đó người ta
tređn H.
nêu H cùng ới phép toán cạm sinh là moơt nhóm.
hóm con cụa nhóm (X, • ) thì phaăn tử đơn vị cụa X là 1X naỉm ong H. Thaơt vaơy, gĩi 1 là phaăn tử đơn vị cụa nhóm (H,• ). Khi đó ta có 1H• 1H
o ùc trong
cũng nói raỉng, phép toán tređn X cạm sinh moơt phép toán
• Ta nói moơt boơ phaơn oơn định H cụa nhóm X là moơt nhóm con cụa X
v
CHÚ Ý: Nêu H là n
tr H
= 1H và 1H • 1X = 1H , từ đó suy ra 1H• 1H = 1H• 1X , và d luaơt giạn ươ nhóm ta có 1X = 1H ∈ H.
3.2 Định lí (tieđu chuaơn đeơ nhaơn biêt moơt nhóm con)
Giạ sử H là moơt taơp con khác ∅ cụa moơt nhóm (X, • ). Khi đó ba đieău sau đađy là tương đương:
1) H là moơt nhóm con cụa X.
2) ab ∈ H và a–1 ∈ H với mĩi a, b ∈ H . 3) ab–1 ∈ H với mĩi a, b ∈ H.
Chứng minh:
(1 ⇒ 2) Vì H là boơ phaơn oơn định cụa nhóm X neđn ab∈H với mĩi a, b H. Xét a là ø a
−
là rõ ràng.
∈
moơt phaăn tử bât kì cụa H , giạ sử a 1 H
− là phaăn tử nghịch đạo cụa a trong H va 1 X −
là nghịch đạo cụa a trong X. Khi đó aH−1.a = 1
H = 1X = aX a, và do luaơt giạn ước trong nhóm ta có a 1 X − = a 1 H − ∈ H. (2 ⇒3) Đieău này 1
(3 ⇒1) Vì H ≠∅ neđn toăn tái phaăn tử a∈H, từ đó theo giạ thiêt 1X = aa–1∈ H. Với mĩi b ∈ H, gĩi b 1
X
− là phaăn tử nghịch đạo cụa b trong X, từ 1X∈ H và từ giạ thiêt suy ra b 1
X
− =1X .b 1 X
− ∈ H. Bađy giờ với mĩi a, b∈H, khi đó b–1 ∈ H và do giạ thiêt
–1 –1
ab = a H. Đieău này chứng tỏ • cũng là phép toán tređn H, và do phép toán gòai ra H có phaăn tử đơn
vị la ø a •
) Cho nhóm (X, • ). Boơ phaơn {1X} và X là hai nhóm con cụa nhóm X, chúng (b ) ∈
đã cho trong X có tính kêt hợp neđn (H. • ) là nửa nhóm. N
1 H
− := a 1 X
− . Từ đó (H, ø 1H :=1X và phaăn tử a ∈ H có phaăn tử nghịch đạo la
) là moơt nhóm.
• VÍ DÚ: 1
2) (Θ ,+) là nhóm con cụa (3, +). Nhóm các sô phức có modul baỉng 1 là
nhóm con cụa nhóm nhađn (∀*, • ). Nhóm ({1, –1}, •) là nhóm con cụa nhóm ({1, –1, i, –i}, •).
3) Cho (G,• ) là moơt nhóm. Khi đó Z(G) = {x ∈ G : xg = gx, với mĩi g G} ∈
là moơt nhóm con giao hoán cụa nhóm G. Thaơt vaơy, với mĩi a, b ∈ Z(G) và với mĩi g∈G ta có
(ab)g = a(bg) = a(gb) = (ag)b = (ga)b = g(ab), ø ag = ga suy ra a–1 (ag)a–1 = a–1 (ga)a–1
(a–1a)(ga–1) = (a–1g)(aa–1) ga–1 = a–1g,
ùc là a–1 Z(G). Tính giao hoán cụa (ZG) là rõ ràng. Nhóm con Z(G) được gĩi là 4) Cho (9, +) là nhóm nhađn các sô nguyeđn. Đaịt n9 = {nk : k
tức là ab ∈ Z(G). Maịt khác, tư tư ∈ tađm cụa nhóm G. ∈9}. Khi đó ùm con cụa (9, +) đeău có dáng m
Tha
n9 là moơt nhóm con cụa (9, +). Hơn nữa, mĩi nho
9 với m là moơt sô nguyeđn nào đó.
ơt vaơy, n9 là nhóm con vì nx – ny = n(x – y)∈ n9. Bađy giờ, gĩi H là moơt nhóm on bât kì cụa nhóm (9, +). Nêu H ={0} thì H = 09. Nêu H ≠ {0} thì toăn tái sô ây x là ơt phaăn tử bât kì cụa H. Từ phép hia trong ta được x = mq + r, với 0
c
nguyeđn k ∈ H với k ≠ 0. Khi đó – k cũng thuoơc H do H là nhóm con. Như vaơy, trong H có ít nhât moơt sô dương. Gĩi m là sô dương nhỏ nhât trong H. Ta sẽ chư ra H = m9 . Trước hêt H ⊂ m9, thaơt vaơy, l mo
9 ≤ r < m. Nêu 0 < r < m thì từ r = x – mq ∈
c
H dăn đên mađu thuăn với vieơc m là sô dương nhỏ nhât cụa H, vaơy ta phại có r = 0. Từ đó x = mq ∈ m9. Bao hàm thức ngược lái m9⊂ H là rõ ràng.
) Giao cụa moơt hĩ bât kì các nhóm con cụa moơt nhóm G cũng là moơt nhóm 4
con cụa nhóm G.
Thaơt vaơy, xét moơt hĩ bât kì {Xi}i∈I các nhóm con cụa (G, • ) và X là giao cụa chúng. Lây hai phaăn tử bât kì x, y cụa X, khi đó x,y ∈ Xi với mĩi i∈I. Vì Xi là các nhóm con neđn xy–1 ∈ Xi với mĩi i∈I, do đó xy–1 ∈ X. Từ định lí 3.2 suy ra X là moơt nhóm con cụa G.
NHAƠN XÉT: Nêu A là moơt taơp con cụa nhóm G, thì A sẽ chứa trong ít nhât moơt , chẳng hán G. Theo ví dú 4) giao cụa tât cạ các nhóm con cụa G
h n nhóm
•
nhóm con cụa G
chứa A cũng là moơt nhóm con chứa A. Có theơ kieơm tra deê dàng raỉng đó là nhóm con bé nhât chứa A, tức là nó chứa trong mĩi nhóm con chứa A cụa G.
• Có moơt con đường toơng quát đeơ thu được các nhóm con từ moơt nhóm. Xét S là moơt taơp con khác ∅ cụa nhóm (G,•). Đaịt:
< S > = {a 1 1 ε a 2 2 ε … a n n ε : ai∈ S, εi= 1, n± ∈∠} Khi đó, < S > là nhóm con cụa G và là nhóm con bé nhât chứa S.
Thaơt vaơy, nêu x, y ∈ < S > thì rõ ràng xy–1∈ < S >, tức là < S > là moơt nhóm con ụa G. Gĩi H là gi cụa tât cạ các nhóm con cụa G chứa S. Vì nhóm con H chứa
• Nêu S = {a} thì < S > goăm tât cạ các phaăn tử có dáng an với n
c ao
mĩi phaăn tử a ∈ S neđn < S > ⊂ H. Vì < S > hieơn nhieđn chứa S neđn < S > = H. Vaơy, < S > là nhóm con bé nhât cụa G chứa S.
• < S > được gĩi là nhóm con sinh bởi S. Ta cũng nói raỉng S taơp các phaăn tử sinh
cụa < S >.
∈9 . Trong trường ợp này ta thường viêt (a) thay cho < {a}> và gĩi nó là nhóm con cyclic cụa G
nh bởi a.
Khi đó (1) = 9.
i ( i ) = {1, –1, i, – i }.
. Nhóm con chuaơn taĩc - Nhóm thương
h
si
• VÍ DÚ:
1) Xét nhóm coơng các sô nguyeđn (9 , +). 2) Xét nhóm nhađn các sô phức ( ∀, • ). Kh đó
4
4.1 Lớp keă - Quan heơ tương đương xác định bởi moơt nhóm con
• Cho (G, • ) là moơt nhóm, H là moơt nhóm con cụa nó và a là phaăn tử cụa G. Taơp ợp tât cạ các phaăn tử ax với x
h ∈ H được gĩi là lớp keă trái ( hay lớp ghép trái)
eđn G ta xác định moơt uan heơ ~ như sau
x ~ y ⇔ x–1y
cụa H trong G. Ta kí hieơu nó bởi aH.
• Cho (G, • ) là moơt nhóm, H là moơt nhóm con cụa nó. Tr q
∈ H
h phạn xá). Giạ sử x và y là hai phaăn tử bât kì cụa
–1 H. Vì H là nhóm con neđn ta có (x–1 –1 –1
Quan heơ ~ xác định ở tređn là moơt quan heơ tương đương. Thaơt vaơy, vì H là nhóm con neđn x–1x = 1∈ H , tức là x ~ x (tín
G sao cho x ~ y, tức là x y y) = y x ∈ H,
tức là y ~ x. Vaơy ~ có tính đôi xứng. Cuôi cùng, giạ sử x, y, z là ba phaăn tử bât kì cụa G sao cho x ~ y và y ~ z, tức là x
∈
–1y, y–1z ∈ H. Từ H là nhóm con suy ra (x– 1y)( y–1z) = x–1(y y–1)z = x– 1z ∈ H. Vaơy ~ là baĩc caău.
1) Quan heơ tương đương ~ nói đên ở tređn chia G thành các lớp tương đương. Kí hieơu a sẽ được dùng đeơ chư lớp tương đương chứa phaăn tử a, khi đó
a = aH = {ax : x ∈ H}
Thaơt vaơy, giạ sử b là moơt phaăn tử bât kì thuoơc lớp tương đương a, khi đó a~b, tức là a–1b ∈ H, từ đó b = a (a–1b) ∈ aH. Vaơy a ⊂ aH. Ngược lái, giạ sử b là moơt haăn tử kì thuoơc aH, khi đó toăn tái moơt phaăn tử x thuoơc H sao cho b = ax hay x
p bât
= a–1b, tức là a–1b ∈ H. Vaơy a ~ b và từ đó aH ⊂ a.
Từ nhaơn xét 1) suy ra raỉng, đôi với hai lớp keă bât kì aH và bH cụa H trong G thì hoaịc là chúng trùng nhau hoaịc là chúng rời nhau.
2) Lớp keă aH trùng với H khi và chư khi a∈H. Thaơt vaơy, giạ sử có aH = H. Gĩi e là ụa G, do H là nhóm con đn e
phaăn tử đơn vị c ne ∈H, từ đó a = ae∈ aH = H. Ngược
lái, giạ sử a∈H, ta sẽ chư ra aH = H. Vì H là nhóm con neđn từ a∈H suy ra ax với mĩi x ∈ H và đieău này có nghĩa là aH ⊂ H. Bađy giờ giạ sử b là moơt phaăn tử bât ∈ H kì cụa H. Vì H là nhóm con neđn a–1∈ H và a–1b ∈ H, từ đó b = (a a–1)b = a(a–1b)
aH. Vaơy H
∈ ⊂ aH.
• Hoàn toàn tương tự, ta kí hieơu Ha là lớp keă phại cụa H trong G, nó goăm tât cạ các phaăn tử xa với x ∈ H, và trùng với lớp tương đương a chứa phaăn tử a trong quan heơ tương đương được xác định bởi
x ~ y ⇔ xy–1 ∈ H
Trong các phaăn sau, nêu khođng chư rõ, ta nói lớp keă có nghĩa là lớp keă trái.
• Nêu dùng dâu + đeơ kí hieơu phép toán trong nhóm G, thì lớp keă trái và phại cụa H trong G sẽ được viêt là
a + H = {a + x : x H}; H + a = {x + a : x ∈ ∈ H} Còn các quan heơ tương đương sẽ được viêt là
x ~ y ⇔ (– x )+ y ∈ H ; x ~ y ⇔ y + (– x) ∈ H )
4.2 Meơnh đeă
Cho G là moơt nhóm, và H là moơt nhóm con. Khi đó sô các phaăn tử cụa moơt lớp keă aH baỉng s â cáco phaăn tử trong H.
Chứng minh: Xét ánh xá H → aH, x aax. Ánh xá này là moơt song ánh, thaơt vaơy rõ ràng nó là tòan ánh, hơn nữa nó là đơn ánh vì từ ax = ax' suy ra x = x' (luaơt giạn ước trong nhóm). Vì G hữu hán neđn H cũng hữu hán, từ đó sô phaăn tử cụa H phại baỉng sô phaăn tử cụa aH.
• Cho G là moơt nhóm, và H là moơt nhóm con. Sô các lớp keă rời nhau cụa tronH g được gĩi là chư sô cụa H trong G. Chư sô này tât nhieđn có theơ là vođ hán. Nêu G
ịnh lí (Lagrange)
G
là nhóm hữu hán, thì chư sô cụa moơt nhóm con bât kì là hữu hán. Chư sô cụa moơt nhóm con H trong G sẽ được kí hieơu là (G : H).
4.3 Đ
(câp cụa G) = (G : H) × (câp cụa H)
ø , khi đó G được phađn hốch ành (G : H) lớp, sô phaăn tử cụa moêi lớp, theo meơnh đeă 5.3, baỉng câp cụa H.
) Định lí Lagrange cũng chư ra raỉng câp cụa moơt nhóm con cụa moơt nhóm ) Sau đađy là moơt ứng dúng cụa định lí Lagrange. Giạ sử G là moơt nhóm hữu
â ù, xn
c cl cụa G sinh bởi x : H =(x) = {xk, k Cho G là moơt nhóm hữu hán và H là moơt nhóm con. Khi đó
Chứng minh:
Vì G hữu hán neđn sô các lớp keă (G : H) la hữu hán th
Từ đó suy ra đẳng thức caăn chứng minh.
• NHAƠN XÉT: 1
hữu hán là ước cụa câp cụa nhóm đó. 2
hán c p n. Khi đo với mĩi x G ta có = e. ∈
Thaơt vaơy, xét nhóm con y ic ∈9}.Vì H hữu hán
hư c ạ g hán xk = xm (với k > m). Khi
đo = = V ăn ái nh s gu d ơn l cho xl = e.
o o đn n a co tín a 0 =
e, ûa đ ău g moơt trong các phaăn
û ư ca t k = xm với 0 m < k
s –1, thì ta có xk –m = e với 0 < k – m < s, nhưng đieău này mađu thuaơn với giạ phaăn tử bât kì cụa H, tức là a = xk với k là moơt sô nguyeđn nào đó. Chia k cho s ta được k = sq + r với 0
neđn toăn tái những lũy t øa u x baỉng nhau, chẳn
ù, xk –m xm – m a0 = e. aơy to t ững ô mũ n yeđn ư g sao
ïi s là s â nguye dương hỏ nh ât ù h ch ât ây. Ta chư ra raỉng các phaăn tử x G
x, x2, …, xs – 1 là khác nhau, và mĩi phaăn tử cu H e baỉn
ây. Tr ớc hêt ùc phaăn ử nói ở tređn là khác nhau, vì nêu x ≤
tư
≤
thiêt veă s. Bađy giờ, giạ sử a là moơt
≤ r < s. Khi đó a = xk =
sq + r = (xs)qxr = exr = xr. Từ đó suy ra câp cụa H baỉng s. Theo định lí Lagrange thì s x
là ước cụa n, tức là n = sp.Từ đó xn = xsp = (xs)p = ep = e.
4.4 Nhóm con chuaơn taĩc
• Moơt nhóm con H cụa moơt nhóm G được gĩi là nhóm con chuaơn taĩc nêu và chư nêu xH = Hx với mĩi x ∈ G
Có theơ phát bieơu định nghĩa nhóm con chuaơn taĩc dưới dáng tương đương:
•
Moơt nhóm con H cụa nhóm G là chuaơn taĩc khi và chư khi x–1a x ∈ H với mĩi a ∈
H và mĩi x ∈ G.
Ta sẽ chư ra raỉng hai định nghĩa neđu ở tređn là tương đương. Thaơt vaơy, giạ sử có xH Hx với mĩi x G. Gĩi a là phaăn tử bât kì cụa H, khi đó toăn tái a' H sao cho xa
= ∈ ∈
= a'x, suy ra a = x–1a' x ∈ H. Ngược lái, giạ sử có x–1a x ∈ H với mĩi a H và
ĩi x G. Với phaăn tử a bât kì thuoơc H, và x ∈
m ∈ ∈ G ta chư caăn chư ra toăn tái hai
phaăn tử a' và a'' ∈ H sao cho xa = a''x và ax = xa', vì khi suy ra ngay xH = Hx. ó theơ thây hai ăn tử a'' caăn tìm là a' = x–1a x đó
C pha a, ∈ H và a'' = (x–1)–1ax–1 = x ax–1
CHÚ Ý: Đieău kieơn với mĩi x
∈ H.
∈ X : xH = Hx khođng có nghĩa là với bât kì a
) Mĩi nhóm con cụa moơt nhóm giao hoán đeău chuaơn taĩc. Chẳng hán n9 là
•
thuoơc H thì phại có xa = ax mà đieău kieơn này chư có nghĩa là với moêi a ∈ H sẽ toăn tái a'∈ H sao cho xa = a'x.
• VÍ DÚ: 1
nhóm con chuaơn taĩc cụa nhóm ( 9 , +).
2) Tađm cụa nhóm G, Z(G) = {x ∈ G : gx = xg, với mĩi g∈G}, là nhóm con chuaơn taĩc cụa G. Thaơt vaơy, với mĩi x∈ G, với mĩi h ∈ Z(G) ta có
x–1h x = x–1 (h x) = x–1 (x h) = (x–1 x) h = h ∈ Z(G).
3) Nêu S và T là các nhóm con chuaơn taĩc cụa nhóm G thì S∩T cũng là nhóm con chuaơn taĩc cụa G. Thaơt vaơy, với mĩi x∈ G, với m hĩi ∈ S ∩T, vì h ∈ S và h ∈
T neđn x–1h x ∈ S và x–1h x ∈ T, từ đó x–1h x ∈ S∩T.
4) Xét nhóm các phép thê S3 = {song ánh σ: {1, 2, 3} {1, 2, 3}} với phép mà các phaăn tử là (ở đađy, kí hieơu →
toán hợp các ánh xá σ = (σ(1) (2) (3))):
= (123),
σ σ σ1 σ2 = (132), = (213), σ3 σ4 = (231), σ5 = (312), σ6 = (321) Khi đó nhóm con H = { } là chuaơn taĩc vì
H = H = H, σ1,σ4,σ5 σ1 σ1 σ2H = H = {σ2 σ2,σ3,σ6}; σ3H = Hσ3 = {σ3,σ2,σ6}; H = H = H, σ4 σ4 σ5H = H = H, σ5 σ6H = Hσ6 = {σ6,σ3,σ2}. 4.5 Nhóm thương
lớp keă trái aH (cũng là keă phại do H là chuaơn taĩc), chú ý raỉng nó cũng là taơp thương đôi với quan heơ tương đương đã nói trong 5.1
a sẽ xađy dựng moơt câu trúc nhóm tređn taơp G/H baỉng cách xác định phép tóan
h bH = a'b'H ( do (ab)–1
'b' = b (a a') b' = (b (a a') b)(b b') ∈ H ). Vaơy • thực sự là moơt phép tóan
ø coơng thì phép tóan tređn taơp thương G/H sẽ được viêt