CHƯƠNG 2 : SƠ HĨC TREĐN 9
3. Các đa thức tređn trường sơ
3.1 Định lí (d' Alermbert)
Trường sơ phức ∀ là đĩng đái sơ, tức là mĩi đa thức f ∈ ∀[x] cĩ bc 1 đeău cĩ
nghieơm trong ∀.
hứng minh: (xem phaăn phú lúc)
≥
C
3.2 Định lí
a) Các đa thức bât khạ qui tređn ∀[x] là các đa thức bc 1 : p(x) = ax + b. – Các đa thức bc 1 : p(x) = ax + b
đa th x2
b) Các đa thức bât khạ qui trong 3[x] bao goăm :
Chứng minh: a) suy r tra ực tiêp từ định lí 3.1. Ta chứng minh b). Giạ sử p(x) thuc [x] là bât khạ qui và deg(p) 2. Vì p(x) cũng thuc ∀[x] neđn theo định lí 3.1 p(x)
3 . Vì ≥
3
cĩ ít nhât mt nghim z ∈ ∀ và do p bât khạ qui trong 3[x] neđn z ∉ z cũng ø nghim cụa p(x) neđn T = (x – z)(x – z
la ) là mt ước cụa p(x) trong ∀[x], nhưng T
= x2 – 2Re(z)x + 3[x] neđn T cũng là ước cụa p(x) trong 3[x]. Do p bât khạ a.T, với a
z ∈
∈
qui neđn T phại lieđn kêt với p, tức là p = 3*. Vy p(x) là mt tam thức
đ ràng các đa thức bc 1 là bât khạ qui,
vy, vì nêu khođng thì nĩ phại cĩ mt
ớc là đa thức bc 1 và đieău này mađu thuaơn với giạ thiêt vođ nghim cụa đa thức đĩ.
aơn Eisenstein)
bc 2 khong cĩ nghim thực. Ngược lái rõ các đa thức bc 2 khođng cĩ nghim thực cũng ư
3.3 Định lí ( tieđu chu
êu f(x) = anx + an–1xn n–1 + … + a0
N ∈ 9[x] và p là mt sơ nguyeđn tơ thỏa mãn
an ≠ 0( mod p), ai 0(mod p) với mĩi i < n, và a0 ≠ 0 (mod p )
0 k k 0 k k kx ; r, s > 0 và r + s = n. Vì o p nguyeđn tơ thỏa p | a0 neđn suy ra b0
2
≡
thì f(x) là đa thức bât khạ qui trong Θ[x].
Chứng minh: Giạ sử f =g.h, với g = ∑r b xk , h ∑s c
= =
a0 = b0 c0 và d ≡ 0(mod p) hoaịc c0 ≡
0(mod p). Chú ý raỉng nêu b0 0(mod p) thì c0 ≠ 0(mod p) vì nêu khođng thì a0 =b0 co 0(mod p2). Giạ sử b0 0(mod p). Ta cũng đeơ ý raỉng khođng phại mĩi h sơ ≡
≡ ≡
cụa g(x) đeău là bi cụa p vì nêu khođng thì an = br cs ≡ 0(mod p), và đieău này tra
với giạ thiêt. Gĩi b r < n). Khi ùi
ĩ từ ai = bic0 + bi–1c1 + … + b0ci suy ra bic0 i là h sơ đaău tieđn cụa g khođng chia hêt cho p (0 < i ≤ ≡
đ 0(mod p) nhưng do p nguyeđn tơ
eđn p |bi hoaịc p | c0, và đieău này dăn đên mađu thuaơn.
m – p là đa thức bât khạ qui. n
BÀI TAƠP
1. Tređn vành 9 [x] xét đa thức f(x) = xp. Hãy xác định hàm đa thức tươn
2. Cho p là sơ nguyeđn tơ và đa thức f(x) = xp – 1
∧ f p g ứng với f. ∈ 9p[x]. Chứng minh raỉng f(x) = (x –1)p.
3. Trong vành đa thức 95[x] hãy thực hin các phép tĩan :
a) (2x2 + 4x2 + 1) (3x2 + 1x + 2) b) (– 2x2 + 4x + 3)2
c) Phép chia (– 1x3 +2x2 +2x + 1) cho (–2x2 + 2x –1)
4. Trong vành 96[x] hãy thực hin phép nhađn
(2x3 + 4x2 + 1x) (3x2+ 3x + 2)
5. Trong vành 97[x] hãy xác định p đeơ dư cụa phép chia (1x3 + px + 5) cho (1x2 + 5 x + 6) là baỉng 0.
7. Chứng tỏ đa thức
6. Trong vành Θ[x] chứng minh raỉng đa thức (x+1)2n – x2n – 2x –1 chia hêt cho các đa thức 2x + 1, x + 1 và x.
1x2 + 14 ∈ 915[x] cĩ 4 nghim trong 915.
8. Cho các đa thức
f(x) = – x3 – 7x2 + 2x – 4 g(x) = – 2x2 + 2x – 1. a) Tìm ƯCLN cụa f(x) và g(x) trong Θ[x] b) Tìm ƯCLN cụa f(x) và g(x) trong 911[x]
9. Xét tp Θ( 2) = {a + b 2 : a, b ∈ Θ}. Chứng minh raỉng
a) Θ( 2) là mt trường vơiù phép cng và nhađn thođng thường các sơ. b) Θ( 2) ≅ Θ[x] / 10.Xét tp 3 > − <x2 2 ( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ 3}. Chứng minh raỉng :
a) 3 ( −3) là mt trường vơiù phép cng và nhađn thođng thường các so b) 3 ( −3) ≅ 3[x] /
11.Hãy bieơu din các đa thức sau qua các đa thức đơi xứng cơ bạn 1) x3 + y3 + z3 – 3xyz
2) x2 y + x y2 + x2 z + x z 2+ y2 z + y z2 . 3) – 2 x2 z2 – 2 y2 z2 . 4) x y + x y + x z + x2 z 5+ y5 z2 + y2 z5 .
12. Xác định tính bât khạ qui cụa các đa thức sau tređn trường sơ hữu tư
1) x4 – 8x3 + 12x2 – 6x –2 2) x5 – 12x3 + 36x –12 3) x4 – x3 + 2x +1
13. Chứng minh raỉng đa thức thuc 3[x] cĩ bc 3 đeău khođng bât khạ qui.
14. Cho f(x) = xn + … + a0 9[x] với n 1. Chư ra raỉng nêu f cĩ nghim hữu tư thì
ghim đĩ là nghim nguyeđn và là ước cụa a0.
5. Tìm tât cạ các nghim hữu tư cụa các đa thức sau:
a) x7 –1 b) 2x4 – 4x + 3
c) x5 + x4 – 6x3 – 14x2 – 11x – 3
16. Cho p là sơ nguyeđn tơ. Đaịt f(x) = xp + xp–1 + … + 1. Chứng tỏ raỉng f(x) là bât khạ qui tređa Θ [x] > + <x2 3 . x4 + y4 + z4 – 2x2 y2 5 2 2 5 5 2 ≥ ∈ ≥ n 1
PHÚ LÚC
. Trường sơ thực 1
1.1 Lát caĩt hữu tư
• Giạ sử K là mt trường tređn đĩ đã xác định quan h thứ tự tịan phaăn '' bé hơn ''
< . Ta gĩi mt lát caĩt tređn trường K là mt caịp (A1, A2) goăm hai taơp con cụa K thỏa mãn các tính chât :
1) A1 ≠ ∅ , A2 ≠ ∅ .
2) A1 A = ∅, A ∪ A = K. 2 1 2
2) x < y với mĩi x ∩ ∈ A1, với mĩi y ∈ A2 .
• Ta thây mi lát caĩt (A1, A2) chư cĩ theơ thuc mt trong bơn lĩai sau đađy:
1) A1 cĩ phaăn tử lớn nhât, A2 có phaăn tử bé nhât.
2) A1 cĩ phaăn tử lớn nhât, A2 khođng cĩ phaăn tử bé nhât. 3) A1 khođng cĩ phaăn tử lớn nhât, A2 cĩ phaăn tử bé nhât.
nhât.
Lát caĩt lĩai 1 gĩi là lát caĩt cĩ bước nhạy, lĩai 2 và 3 gĩi là lát caĩt cĩ bieđn, lĩai 4 gĩi là lát caĩt khođng bieđn.
• Mt trường saĩp thứ tự tịan phaăn K gĩi là lieđn túc nêu mĩi lát caĩt tređn K đeău cĩ
bieđn. Trường sơ hữu tư Θ là mt trường khođng lieđn túc.
• Gĩi 3 là tp hợp tât cạ các lát caĩt tređn trường sơ hữu tư Θ. Chú ý raỉng lát caĩt tređn trường hữu tư khođng theơ cĩ bước nhạy.
1.2 Các quan h tređn 3.
4) A1 khođng có phaăn tử lớn nhât, A2 khođng cĩ phaăn tử bé
Cho hai lát caĩt =(A1, A2), =(B1, B2) α β ∈ 3
• Hai lát caĩt và gĩi là baỉng nhau, và viêt α β α = β, nêu và chư nêu A1 – {phaăn tử lớn nhât} = B1 – {phaăn tử lớn nhât}
hoaịc A2 – {phaăn tử bé nhât} = B2 – {phaăn tử bé nhât}
ùt caĩt có bieđn =(A1, A2) với A2 khođng cĩ phaăn tử bé nhât.
• Ta nĩi raỉng bé hơn , và viêt
Ta qui ước viêt la α
α β α < β, nêu A 1 ⊂ B1 và A 1 ≠ B1. Với quan h <, 3 là mt tp được saĩp thứ tự tồn phaăn.
1.3 Phép cng
(A1, A2) + (B1, B2) = (C1, C2)
trong đĩ, C2 = {(a2 + b2) , a2 ∈ A2, b2 ∈ B2} và C1 = Θ – C2.
Đơi với phép cng phaăn tử đơn vị là 0 = (O1, O2), trong đĩ O1 là tp các sơ hữu tư
khođng dương và O2 = (A1,
A2) là – = (A'1, A'2), trong đó A'2 ={– r : r là tp các sơ hữu tư dương, phaăn tử nghịch đạo cụa α
α ∈ A1} và A'1 = Θ – A'2.
1.4 Phép nhađn
a) Nêu = (A1, A2), = (B1, B2) > 0, thì phép nhađn được xác định bởi
α β
α.β = (A1, A2).(B1, B2) = (C1, C2),
ở đađy C2 := {a2.b2 : a2 ∈ A2, b2 ∈ B2 } và C1 = Θ – C2.
b) Nêu > 0, < 0 hoaịc < 0, α β α β > 0 thì phép nhađn được xác định bởi α.β = (– ) = (–α β α)β.
ađn được xác định bởi
c ) Nêu α > 0, β < 0 thì phép nh
α.β = (– ).(– α β)
d) Nêu = 0 hoaịc = 0 thì phép nhađn được xác định bởi
α β
α.β = 0. = .0 = 0
Đơi với phép nhađn phaăn tử đơn vị cĩ dáng E = (E1, E2), trong đĩ E1 là tp các sơ hữu tư khođng lớn hơn 1 và E2 là tp các sơ hữu tư lớn hớn 1, phaăn tử nghịch đạo cụa
= (A1, A2) > 0 là –1 = (A'1, A'2), trong đĩ tp A'2 = {r –1 : r
β α
α α ∈ A 1, r > 0 } và A'1
= Θ – A'2, cịn phaăn tử nghịch đạo cụa α < 0 là α–1 = (–α)–1.
2. Trường sơ phức
2.1 Xađy dựng sơ phức
• Ta xét tp hợp ∀ = 3 ×3 là tp tât cạ các caịp sơ thực (a, b) mà tređn đĩ quan h baỉng nhau, phép tĩan cng, phép tĩan nhađn được xác định như sau :
(a, b) = (c, d ) ⇔ a = b và c = d. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• Đơi với phép cng phaăn tử đơn vị là 0 = (0, 0), phaăn tử nghịch đạo cụa z = (a,
b) là – z = (– a, – b). Đơi với phép nhađn phaăn tử đơn vị là 1 =(1, 0), phaăn tử nghịch đạo cụa z =(a, b)≠ 0 là z–1 = ( 2 2 2 2
b a b , b a a + − + ).
ới phép cng và phép nhađn đã được định nghĩa thì (∀,+,•) là mt trường, gĩi là
trường sơ phức, mi phaăn tử gĩi là mt sơ phức.
• Nêu đaịt ∀0 = {(a, 0): a 3 } ⊂ ∀ thì ( ∀, +, •) là mt trường và từ đẳng câu
: 3 ∀0, a (a, 0), ta cĩ theơ đoăng nhât 3 với ∀0, tức là mi sơ thực x 3 đoăng nhât với sơ phức (x, 0) ∀ , đaịc bit 1 ≡ (1, 0), và 0 ≡ (0, 0).
Với mi sơ phức z = (a, b) ∀, ta có theơ viêt :
(a, b) = (a, 0) + (b, 0).(0, 1)
và nêu đaịt i = (0, 1) thì sơ phức z có dáng z = a + bi, gĩi là dáng đái sơ cụa sơ phức. Sơ a được gĩi là phaăn thực cụa sơ phức z, kí hiu a = Rez, và sơ b được gĩi là phaăn ạo cụa sơ phức z, kí hiu b = Im z. Ta gĩi sơ phức
V ∈ ϕ → a ∈ ∈ ∈ • z = a – bi là sơ phức lieđn hợp cụa sơ phức z = a + bi. Vic tính tốn các sơ phức viêt dưới dáng đái sơ như tính tốn tređn sơ thực với chú ý raỉng
i2 = i. i = (0, 1).(0, 1) = ( –1, 0) ≡ –1
• Nêu tređn maịt phẳng tĩa đ Oxy ta đaịt tương ứng moêi sô phức z = a + bi với
đieơm M(a,b) Oxy hoaịc với vectơ ∈ OM→ = (a, b) ∈ mpOxy thì ta được mt song ánh
từ ∀ leđn mpOxy. Đieơm M(a,b) hoaịc vectơ = (a,b) được gĩi là bieơu dieên hình
hĩc cụa sơ phức z. Maịt phẳng tĩa đ Oxy cịn được gĩi là maịt phẳng phức, trúc
Ox gĩi là trúc thực, Oy là trúc ạo.
• Bađy giờ giạ sử z = a + bi là mt sơ phức bât kì được bieơu din bởi vectơ tređn mp Oxy. Ta gĩi r = =
→
OM
→
OM |OM→ | a2 +b2 là modul cụa sơ phức z, và kí hiu | z |. Gĩc định hướng (Ox, ) gĩi là argument cụa cụa sơ phức z, kí hiu arg z. Ta thây raỉng sơ 0 cĩ modul là 0 và argument tùy ý, cịn mi sơ phức khác 0 cĩ modul định sai khác nhau mt bi nguyeđn cụa 2
• Nêu sơ phức z = (a,b) ≠ 0 có
→
OM
là mt sơ thực dương và argument được xác
π.
z = r và arg z = ϕ (hoaịc toơng quát arg z = ϕ +k2 ) thì ta cĩ mt bieơu din khác cụa sơ phức như sau (gĩi là bieơu din lượng giác )
z = (a,b) = a + bi = r (cos
π
• Với z = r (cosϕ + isinϕ), ta cĩ các cođng thức zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn (cosnϕ + isinnϕ) n z = n r(cos n k 2 π + ϕ + isin n k 2 π + ϕ ), k = 0, 1, 2, …, n –1. 2.2 Định lí (d' Alermbert)
Trường sơ phức ∀ là đĩng đái sơ, tức là mĩi đa thức f∈ ∀[z] cĩ bc ≥ 1 đeău cĩ nghim trong ∀.
Chứng minh: Cĩ nhieău phép chứng minh định lí d'Alermbert và thường
phại sử dúng đên kêt quạ cụa giại tích. Sau đađy là mt. Ta sẽ chứng minh baỉng phương pháp phạn chứng: Giạ sử toăn tái mt đa thức f(z) = ∑
= n 0 i i iz a ∈ ∀[x] khác
haỉng và khođng cĩ nghim nào trong ∀. Xét hàm | f | : ∀ → ∀, x a | f(z)|
Vì | f |→ ∞ khi | z | → ∞ neđn toăn tái R > 0 sao cho | f(z) | > | f(0) | với mĩi z ∈ {| z | > R}. Vì | f | lieđn túc tređn compact {| z | ≤ R } neđn toăn tái zB0B∈∀ sao cho | f(zB0B) | =
R z
min
≤ | f(z) |. Nhưng vì | f (z)| >| f(0) | ≥ | f(zB0B) | với mĩi z ∈ {| z | > R} neđn ta có |
f(zB0B) | =
C z min
∈ | f(z) |.
Ta cĩ cođng thức Taylor đơi với f
f(zB0B + h) = f(zB0B) + h f '(zB0B) + … +
! n hn
f (n)(zB0B)
Ta chứng minh raỉng, cĩ theơ chĩn h sao cho | f(zB0B +h) | < | f(zB0B) | và từ đĩ suy ra mađu thuaơn. Trước hêt đeơ ý raỉng, cĩ ít nhât mt đáo hàm câp cao cụa f tái zB0 B là khác 0, cú theơ là f (n)(zB0B) = n!aBnB ≠ 0. Gĩi k ≥ 1 là sơ nguyeđn bé nhât sao cho f (k)(zB0B) ≠ 0. Như vy ta cĩ ) z ( f ) h z ( f 0 o + = 1 + hk ) z ( f ! k ) z ( f 0 o ) k ( + … + hn ) z ( f ! n ) z ( f 0 o ) n ( = 1 + hk ) z ( f ! k ) z ( f 0 o ) k ( + hk+1 g(h), với g(h) ∈ ∀[h] nào đĩ.
Gĩi w là sơ phức sao cho wk = – ) z ( f ! k ) z ( f 0 o ) k ( , khi đĩ ta có ) z ( f ) z ( f 0 w t o + = 1 – tk + tk+1w– k–1 g(tw–1).
Vì hàm mt biên fB1B(t) = | w– k–1 g(tw–1)| lieđn túc tređn [0, 1]) neđn toăn tái C > 1 sao cho với mĩi t ∈ [0, 1] ta có | w– k–1 g(tw–1)| < C , và từ đĩ
) z ( f ) z ( f 0 w t o + ≤ 1 – tk + C tk+1 . Bađy giờ chư caăn chĩn t sao cho 0 < t <
C 1
< 1 thì ta cĩ
0 < 1 – tk + C tk+1 < 1. hay | f(zB0B + wt ) | < | f(zB0B) |