5. Đoăng câu nhóm
5.3 Các tính chât cụa đoăng câu nhóm
nhađn cụa đoăng câu f.
oăng câu nhóm. Hơn nữa, hợp
• Tính chât 1 Hợp cụa hai đoăng câu nhóm là moơt đ cụa hai đẳng câu là moơt đẳng câu.
Chứng minh: Giạ sử f : (X. •) (Y, •) và g : (Y, •) (Z, •) là hai đoăng câu
nhó o f là moơt đoăng câu vì
)) = (go
a) f(1 ) = 1H.
= [f(a)]–1 với mĩi a G.
hứng minh:
1G)f(1G), từ đó f(1G) = 1H (luaơt giạn ước) uy ra từ f(a)f(a– 1) = f(aa– 1) = f(1G) = 1H.
–1 cụa G. Hơn nữa nêu
ư
→ →
m. Gĩi a, b là hai phaăn tử bât kì cụa X. Khi đó g
(go f)(ab) = g(f(ab)) = g [f(a)f(b)] = g(f(a))g(f(b f)(a) (go f)(b)
• Tính chât 2: Cho f : (G, •) →(H, •) là moơt đoăng câu nhóm; 1G ,1H laăn lượt là phaăn tử đơn vị cụa G và H. Khi đó
G
b) f(a– 1) ∈
C
a) Ta có f(1G)1H = f(1G) = f(1G1G) = f( b) S
•Tính chât 3: Giạ sử f : (G, •) → (H, •) là moơt đoăng câu nhóm. Khi đó
a) Nêu A là moơt nhóm con cụa G thì f(A) là moơt nhóm con cụa H. Hơn nữa nêu A chuaơn taĩc thì f(A) cũng chuaơn taĩc.
b) Nêu B là moơt nhóm con cụa H thì f (B) là moơt nhóm con B chuaơn taĩc thì f –1(B) cũng chuaơn taĩc.
Ch ùng minh:
a) Vì A là nhóm con neđn 1G ∈A, do đó f(1G) = 1H ∈ f(A), tức là f(A) ≠ ∅. Giạ sử y1, y2 là hai phaăn tử bât kì cụa f(A). Khi đó, toăn tái x1, x2 ∈ A sao cho
− − −
y1 = f(x1), y2 = f(x2). Ta có y1y21= f(x
1) [f(x2)]–1 = f(x1) f(x21) = f(x
1x2 ). Maịt khác, vì A là nhóm con cụa G neđn x
1 1x 1 2 − ∈ A, do đó y1y = f(x1x ) f(A). Vaơy A) là nhóm con. 1 2 − 1 2 − ∈ f(
b) Vì B là nhóm con neđn 1H ∈B, do đó f(1G) = 1H ∈ B, suy ra 1G ∈ f (B),–1 tức ø f –1(B) ≠∅. Giạ sử x1, x2 là hai phaăn tử bât kì cụa f –1(B). Khi đó f(x1), f(x2)∈
la
B. Ta có f(x x1 1) = f(x1) f(x ) = f(x1) [f(x2)]–1. Maịt khác, vì B là nhóm con cụa H
2 − 1 2 − neđn f(x1) [f(x2)]–1 = f(x1x 1 2 − ) ∈ B. Từ đó x1x 1 2 − ∈ f –1(B).
Giạ sử B là chuaơn taĩc. Với mĩi a∈ f –1(B) và x∈ G, do f là đoăng câu neđn ta có f(x– –1)f(a)f(x) = [f(x)]–1f(a)f(x). Vì f(a)
1ax) = f(x ∈ B và B chuaơn taĩc neđn [f(x)]–1f(a)f(x)
taĩc.
• NHAƠN XÉT: Từ tính chât 3 suy ra ngay raỉng, Ker f = f –1(1H) và Im f = f(G) laăn lượt là các nhóm con cụa G và H, hơn nữa Ker f là nhóm con chuaơn taĩc.
(H . Khi đó
) f là đơn câu khi và chư khi Kerf = {1G}. câu khi và chư khi Imf = H
H. Với x bât thuoơc B. Từ đó suy ra x–1ax thuoơc f –1(B), tức là f –1(B) là chuaơn
•Tính chât 4: Giạ sử f : (G, •) → , •) là moơt đoăng câu nhóm a
b) f là toàn
Chứng minh:
kì thuoơc Kerf, ta có f(x) = 1H = f(1G), do f đơn ánh neđn suy ra x =1
{1 }. G G, từ đó Kerf ⊂
• Bađy giờ giạ thiêt Kerf = {1G} và giạ sử f(x1) = f(x2) với mĩi x1, x2 G.
1x ) =1H, từ đó x1x ∈ 1 2 − 1 2 − ∈
Khi đó ta có f(x1)[f(x2)]–1 =1H, suy ra f(x Kerf = {1G}, tức ø x1x = 1G hay x1 = x2. Vaơy f là đơn ánh.
từ định nghĩa cụa toàn ánh.
• T û f : (G, •) (H, •) là moơt đoăng câu nhóm. Khi đó
1 2 −
la
b) Suy ra trực tiêp
ính chât 5: Giạ sư →
f(an) = [f(a)]n với mĩi n ∈9
hứng minh: Qui náp cho n ∠, còn lái sử dúng định nghĩa lũy thừa ađm.
ịnh lí ( cơ bạn cụa đoăng câu nhóm)
∈
C