4.1 Định nghĩa
• Các sô nguyeđn a1, a2, ..., an được gĩi là nguyeđn tô cùng nhau nêu chúng nhaơn ô 1 làm ƯCLN.
• Ta nói raỉng các sô nguyeđn a1, a2, ..., an nguyeđn tô cùng nhau từng đođi nêu và chư nêu (ai, aj) = 1 với mĩi i ≠ j.
• NHAƠN XÉT:
1) Nêu các sô nguyeđn a1, a2, ..., a đ â au từng đođi thì chúng là đó
1 2 a3 n 1 2 3 n 3 n
hẳng hán a1 = 3, a2 = 10, a3 = 15. 2) Nêu (a, b) = 1 và c | b thì (a, c) = 1. Thaơt vaơy, nêu d
n nguyen to cùng nh nguyeđn tô cùng nhau, vì khi
(a , a , , ..., a ) = ((a , a ), a , ..., a ) = (1, a , ..., a ) = 1
Đieău ngược lái nói chung khođng đúng, c
∈∠ và (d | a, d | c) ì (d | a, d | b), vaơy d = 1. Từ đó suy ra (a, c) = 1.
zout) th 4.2 Định lí (Be 2, ..., xn sao cho 1 i i ia x = 1.
Đieău kieơn caăn và đụ đeơ các sô nguyeđn a1, a2, ..., an nguyeđn tô cùng nhau là toăn tái
các sô nguyeđn x1, x ∑n
=
Chứng minh: Suy ra trực tiêp từ heơ quạ 1.6
4.3 Định lí (Gauss)
Nêu các sô nguyeđn a, b, c thỏa mãn a | bc và (a, b) = 1 thì a | c.
Chư và a | bc. Theo định lí Bezout, toăn tái hai sô nguyeđn x
c axc + byc. Vì a | axc và a | byc neđn a |c.
ùng minh: Giạ sử (a, b) = 1
và y sao cho ax + by = 1. Suy ra =
4.4 Định lí
Cho x, a1, a2, …, a là các sô nguyeđn khác 0. Khi đó n
((x, ai) = 1, với mĩi i {1, 2, …, n}) ∈ ⇔ ( x, ∏n
= a ) = 1
ử (x, a1) = (x, a2). Theo định lí Bezout, toăn tái u1, v1, u2,
2 1 1 1 2 + a2v2 = 1. Khi đó (x, a1 a2) = 1 vì 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 i i Chứng minh:
(⇒) Ta chứng minh baỉng cách qui náp theo n. Với n = 1 thì khẳng định là hieơn nhieđn. Đôi với n = 2, giạ s
∈9 sao cho xu + a v = 1 và xu v
Vaơy, khẳng định đúng với n = 2. Bađy giờ, giạ thiêt khẳng định đúng với n và giạ sử a1, a2, …, an+1 ∈9 sao cho (x, ai) = 1, với mĩi i∈ {1, 2, …, n, n +1}. Thê thì (x, ai)
, ( x, ) = 1, roăi theo kêt ( x, ∏ = n 1 i i a
= 1, với mĩi i∈ {1, 2, …, n} và theo giạ thiêt qui náp quạ khạo sát cho trường hợp n = 2 ta có
∏+1 n ∏n = a ) = ( x, = a .an+1) = 1 1 i i 1 i i (⇐) Nêu ( x, ∏n =1 i i
a ) = 1 thì theo nhaơn xét 2) trong múc 4.1 suy ra (x, ai) = 1.