- Lĩnh vực chiếm ưu thế của phân số trong giai đoạn này là số học Có rất nhiều nhà số học nhưng họ không quan tâm nhiều đến yếu tố “đối tượng” của phân số mà
2.4.4. Các cách tiếp cận khái niệm phân số
Từ việc nghiên cứu các tài liệu lịch sử, chúng tôi nhận thấy việc mở rộng hệ thống số từ số tự nhiên sang số biểu diễn bởi phân số được tiến hành theo hai cách: xuất phát từ nhu cầu của cuộc sống và xuất phát từ nội bộ toán học. Thứ nhất, phân số ra đời để giải quyết các vấn đề thực tế: nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta gặp cả những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên lần đơn vị đo) và nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau. Thứ hai, tập hợp số biểu diễn bởi phân số ra đời xuất phát từ nội bộ toán học: để cho phép chia các số nguyên cho một số khác 0 luôn luôn thực hiện được, hoặc các phương trình dạng b x a× = (b khác 0) luôn
luôn có nghiệm. Trong quá trình mở rộng như trên, phân số được tiếp cận chủ yếu theo 6 cách:
2.4.4.1. Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái toàn thể
Cách tiếp cận này liên quan đến bài toán: “Lấy ra một số phần của một đối
tượng được chia thành các phần bằng nhau”. Theo bài toán này, phân số a
b lấy nghĩa “biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng nhau của một đơn vị”. Trong lịch sử, KN về đại lượng phân số phát triển từ thời cổ đại khi “phân số” đã được quan niệm như “không chia được và không chia hết”. Một đại lượng phân số không được xem như là một số trong nhiều thế kỉ, đúng hơn, nó đã được sử dụng như một đơn vị mới biểu diễn cho một phần hoặc các phần của một số cho đến khi Stevin (1548-1620) tuyên bố rằng đại lượng này là một con số bằng cách định nghĩa phân số như là “một phần của các bộ phận của cái toàn thể”.
- Cấu trúc KN phân số theo cách tiếp cận số phần / toàn thể:
+ Nếu a là một toàn thể được kí hiệu là T, được chia thành n phần Pi với 1≤ ≤i b
thì 1 b i i T P = =U .
+ Mỗi phần Pi có mối quan hệ cụ thể đối với toàn thể được kí hiệu là: R(Pi,T). Trong quá trình chia cái toàn thể thành các phần, các phần Pi có thể bằng nhau hoặc không bằng nhau. Nếu các phần này bằng nhau thì quan hệ giữa một trong số các phần Pi (Pi=P) và toàn thể là T b P= × . Chúng ta có thể nói rằng phần P là một phân số hay P 1 T
b
= × .
+ Trong cấu trúc KN này, 4 thành phần cần được quan tâm: (i) Toàn thể T: chúng ta xem như là một điểm khởi đầu. (ii) Quan hệ R(P,T)=1
b: biểu diễn mối quan hệ giữa một trong các phần bằng nhau và toàn thể.
(iii) Phần bằng nhau P: có mối quan hệ với toàn thể T được xem như một phân số đơn vị 1
(iv) Phân số phần bù C của phần P: T= ∪P C.
- Các cách biểu diễn cho phân số theo số phần / toàn thể:
(i) Biểu diễn bằng lời nói bao gồm các thuật ngữ cho các phân số, dựa trên các thuật ngữ phổ biến trong các phân số đơn vị và các qui tắc đọc bất kì phân số theo tử số và mẫu số của nó.
(ii) Biểu diễn bằng số: bao gồm các kí hiệu số học phổ biến cho phân số. (iii) Biểu diễn bằng hình vẽ: Bao gồm các đối tượng liên tục và rời rạc.
+ Đối với các đại lượng liên tục: chúng ta thường sử dụng các hình hình học (hình vuông, hình tròn, hình chữ nhật, đoạn thẳng,…) bởi vì các hình này có trục đối xứng nên có thể thao tác chia các phần bằng nhau khá đơn giản. Ngoài ra, phân số luôn phải gắn liền với một đơn vị, nên một phân số tương ứng với những biểu
diễn của nhiều trường hợp khác nhau (3/4 hình chữ nhật, 3/4 hình vuông, 3/4 hình
tròn, 3/4 quả cam, 3/4 kg, 3/4 mét, … Vì thế mà 3/4 hình vuông vẫn có thể “bé hơn” 1/2 hình tròn.
+ Đối với các đại lượng không liên tục: chúng ta quan tâm đến một số hình vẽ căn bản của nhóm các đối tượng với những cách khác nhau nhằm chỉ ra chúng được phân phối như thế nào.
(iv) Biểu diễn bằng kí hiệu: R T P( , ) 1
b
= ; P 1 T
b
= × ; T b P= × ; T = ∪P C.
2.4.4.2. Cách tiếp cận độ đo
Người ta tìm thấy phân số từ các số tự nhiên qua các số đo và tỉ lệ, giải quyết nhu cầu tìm một đơn vị đo lường chung đối với hai đại lượng. Trong lịch sử, thuật ngữ bao gồm số đo đại lượng và tỉ lệ là “tính có thể so sánh được” được định nghĩa bởi nhà toán học Hy Lạp, Euclide (thế kỷ 3, trước công nguyên) như sau: “Những độ lớn được cho là có thể so sánh được với nhau nếu được đo lường bởi cùng đơn vị đo, và chúng không thể so sánh được nếu chúng không có đơn vị đo lường chung”.
Theo ý nghĩa hiện đại, nếu A và B (khác 0) là hai số có thể so sánh được với nhau nếu tồn tại đại lượng C sao cho A = mC và B = nC với m, n là các số nguyên
và n≠0. Euclide không xem đại lượng C như là một số, nhưng như là “một phần hay các phần của một số”.
Do vậy, cách tiếp cận này xuất phát từ tình huống: “Thực hiện phép đo cho một đại lượng”. Đại lượng có thể là: độ dài, diện tích, thể tích, vận tốc, dung tích,…Nếu kết quả của phép đo đó không bằng một số nguyên lần đơn vị đo thì người ta nghĩ đến một loại số khác là phân số. Từ đây, ta có thể hiểu nghĩa phân số là “biểu diễn kết quả của độ đo”.
2.4.4.3. Cách tiếp cận dựa trên phép chia
Cách tiếp cận này xuất hiện ngầm ẩn từ thời cổ đại trong các tình huống: Có a đối tượng chia đều cho b người nhận. Sau đó, nó tường minh hơn trong lúc người ta đi tìm nghiệm cho phương trình b x a× = với a, b là các số nguyên, b khác 0. Cụ thể, nó được tìm thấy trong định nghĩa thông thường của một trường, được hình thành đầu tiên bởi Galois vào đầu thế kỷ 19 và được thiết lập cụ thể bởi Dedekind vào năm 1871. Chúng tôi gọi đây là cách tiếp cận dựa trên phép chia vì nhu cầu phải có
phân số a
b là kết quả của sự cần thiết để có một tập hợp số trong đó phép chia là đóng kín (tức là tồn tại phần tử nghịch đảo và thỏa mãn các tiên đề của trường) nhằm giải quyết các vấn đề đại số. Vì vậy, nghĩa của phân số được hiểu như: “biểu diễn kết quả của phép chia a cho b” và “biểu diễn nghiệm của phương trình
b x a× = ”.
2.4.4.4. Cách tiếp cận dựa trên tỉ số
Cách tiếp cận tỉ số có ngầm ẩn từ thời Euclide và Eudoxe. Bởi lẽ, tập hợp các tỉ số và các tỉ lệ được xem như là tập hợp tham chiếu để so sánh các đại lượng. Tuy nhiên, phân số được tiếp cận tường minh theo cách này là nhờ vào sự đóng góp của William Oughtred (1547-1660).
Cách tiếp cận này có thể được phát biểu: a là số phần tử của tập hợp A, b là số phần tử của tập hợp B. Khi đó, tỉ số số phần tử của tập hợp A so với tập hợp B được
viết là a
b. Lúc này, phân số a
hợp B. Tuy nhiên, chúng ta không chỉ lập tỉ số cho hai số mà có thể mở rộng việc lập tỉ số cho hai độ dài, hai diện tích, hai thể tích,…
Do đó, một tình huống cơ sở cho cách tiếp cận này: So sánh quan hệ của hai đại lượng. Ở đây, phân số có nghĩa “biểu diễn quan hệ so sánh giữa hai đại lượng”.
Ngoài ra, cách tiếp cận dựa trên tỉ số (gắn với nó là tỉ lệ) còn mang lại một đặc trưng khác cho phân số: nó biểu diễn quan hệ giữa bộ phận với tổng thể, chính xác hơn là nó cho phép so sánh với tổng thể, mở rộng ra là nó mang lại một cách quan hệ về số lượng của hai tập hợp mà sự so sánh này phản ánh rõ hơn quan hệ thứ tự (lớn hơn, nhỏ hơn).
KN tỉ số hiện hữu trong thực tế: tỉ số giữa khoảng cách đi du lịch và thời gian, áp suất (tỉ số giữa một lực lượng và bề mặt trải qua lực lượng này), mật độ (tỉ số giữa trọng lượng và khối lượng đơn vị), mức độ hydrometric (tỉ số của một khối lượng nước và khối lượng có chứa các mặt đất) và xác suất (tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi và số tất cả trường hợp),…
2.4.4.5. Cách tiếp cận dựa tia số
Ngoài ra, còn có cách tiếp cận dựa trên tia số của Descartes phát minh. Bởi vì, nó được xem như là các trường hợp riêng của cách tiếp cận dựa trên số phần / toàn thể và cách tiếp cận độ đo. Nhưng lúc này, nó mang lại một nghĩa khác cho phân số
“biểu thị một điểm cụ thể trên tia số”.
Bên cạnh đó, cách tiếp cận phân số dựa tia số có các ưu điểm. Thứ nhất, nó đưa ra một kĩ thuật để so sánh hai phân số. Phân số nào càng gần gốc tọa độ O thì càng nhỏ và ngược lại. Thứ hai, trên hình ảnh trực quan của tia số, ta thấy được sự dày đặc của các phân số. Hay nói cách khác, tập hợp các phân số có tính chất trù mật khác với tính chất rời rạc của tập hợp số tự nhiên.
Cách tiếp cận theo tia số không chỉ tạo điều kiện cho việc nhận ra tính trù mật của tập các phân số mà còn chỉ ra cái giá quan trọng vì nó mang lại thông tin về khái niệm phân số bằng nhau: các phân số bằng nhau đều có chung một điểm biểu diễn. Hơn nữa, nó còn cho phép tách khái niệm phân số khỏi đơn vị cụ thể để
chuyển sang đơn vị trừu tượng (mọi đơn vị bây giờ đều được biểu diễn bởi đoạn thẳng đơn vị).
2.4.4.6. Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp
Theo cách tiếp cận này, người ta định nghĩa các phân số như là tập hợp các cặp số nguyên có thứ tự. Cụ thể, các nhà toán học tiếp cận như sau:
Lấy tập hợp S gồm các cặp số nguyên có thứ tự (a, b), với b khác 0. Phân chia tập S thành các tập hợp con với qui tắc: hai cặp (a, b) và (c, d) nằm trong cùng một
tập hợp con nếu tỉ số a
b bằng với tỉ số c
d , tức là, nếu và chỉ nếu ad bc= . Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp được tìm thấy trong thế kỷ 19 và 20. Bằng sự nỗ lực để phát triển một nền tảng toán học chặt chẽ, một số nhà toán học chuyển sang số học như là nguồn gốc cho nền tảng như vậy. Vào cuối thế kỷ 19, Cantor phát triển lí thuyết tập hợp, mà cuối cùng dẫn đến việc hình thành định nghĩa số hữu tỉ.
Trong cách tiếp cận này, các phân số bằng nhau được sắp xếp cùng thuộc một lớp của tập hợp số Q. Hay nói cách khác, mỗi phân số tối giản được xem như là đại diện của một lớp tương đương của tập hợp số hữu tỉ. Do vậy, cách tiếp cận như thế mang lại một nghĩa khác của phân số “biểu diễn một lớp tương đương”.