- Lĩnh vực chiếm ưu thế của phân số trong giai đoạn này là số học Có rất nhiều
2.3.4. Cách tiếp cận phân số của của George Cantor (184 5 1918)
Năm 1872, Cantor bắt đầu suy nghĩ về những con số có thể được biểu diễn như là phân số, được gọi là số hữu tỉ. Chúng bao gồm các số tự nhiên bởi vì tất cả các số
tự nhiên n có thể được viết dưới dạng phân số 1
n
. Hơn nữa, giữa bất kỳ hai số hữu tỉ, có vơ số các số hữu tỉ khác. Vì thế, Cantor đã chứng minh rằng trong thực tế chúng có rất nhiều. Có một cách rất hay để thấy được đều này là viết các phân số trong một mảng như sau:
Phân số xuất hiện nhiều hơn một lần là các phân số bằng nhau, ví dụ 1 = 1/1 = 2/2, … Bây giờ, có thể tạo ra một danh sách các phân số bằng cách bắt đầu ở góc trên bên trái của mảng và di chuyển lên xuống theo đường chéo:
Nếu chúng ta bỏ qua những số hữu tỉ đã gặp trước đây thì điều này mang lại dãy số sau:
Bây giờ, cho tương ứng phân số 1
2 với số 1, 1
3 với số 2, 3
2 với 3,... Ánh xạ này là một song ánh, chứng minh rằng tập hợp các số hữu tỉ dương có cùng bản số với
tập hợp các số tự nhiên. Điều này có thể được mở rộng để cho thấy rằng tập hợp các số hữu tỉ có cùng bản số với tập hợp các số tự nhiên.
Trong q trình phát triển lí thuyết tập hợp, Cantor đã tiếp cận số tự nhiên theo đặc trưng bản số. Bên cạnh đó, ơng cịn đóng góp rất lớn khi đưa ra định nghĩa lí thuyết tập hợp về số hữu tỉ. Cụ thể:
Tập hợp các số nguyên Z đóng kín đối với phép cộng, trừ, và nhân, nhưng nó khơng đóng kín đối với phép chia. Ví dụ, 5 ÷ 7 khơng có ý nghĩa trong các số nguyên. Để đạt được tính chất đóng kín như mong muốn, Cantor mở rộng hệ thống các số nguyên: Cho Y ={( , ) : ,p q p q Z q∈ ; ≠0}. Sau đó, định nghĩa quan hệ trên Y:
( , )p q ( ', ')p q ⇔ p q. '= p q'. .
Tập hợp các lớp tương đương của Y được kí hiệu là Y/ . Dưới quan hệ tương đương nêu trên, Y / được xem như một hệ thống số mới – các số hữu tỉ (được viết tắt là Q, trong đó Q được xem như là từ viết tắt của “thương”). Trong thực tế, nếu người ta xem xét số hữu tỉ là nghĩ đến kí hiệu p/q cũng như lớp tương đương
{(pk qk k Z k, ) : ∈ , ≠0} . Các qui tắc phép tính của số hữu tỉ được định nghĩa:
[(p, q)] + [(r, s)] = [(ps+qr, qs)] ; [(p, q)]·[(r, s)] = [(pr, qs)].
* Bình luận
- Cantor đã xây dựng thành công tập hợp số hữu tỉ Q. Từ đây, có thể hiểu mỗi
phân số như là một phần tử của tập hợp Q. Lúc này, mỗi phân số a
b có thể được định nghĩa như một cặp số tự nhiên (a, b) có thứ tự trong đó b khác 0. Lúc này, phân số chính thức lấy cơ chế của KN toán học.
- Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể hiểu mỗi phân số a
b như là lớp tương đương
{( ,ak bk a b k Z k b) : , , ∈ ; , ≠0} . Vì thế, “biểu diễn một lớp tương đương” được xem
như một nghĩa mới của phân số.
- Tình huống để đưa đến một định nghĩa chính xác cho phân số là sự ảnh hưởng mạnh mẽ của sự phát triển lí thuyết tập hợp. Chính vì thế, các nhà tốn học cần phải xem xét cơ sở của các tập hợp số. Đóng góp chính thuộc về nhà tốn học Cantor: xây dựng thành tập hợp số Q và mang lại nghĩa mới cho phân số: “biểu diễn một
lớp tương đương”.
- Sự xuất hiện của định nghĩa phân số làm cho nó mang cơ chế của KN tốn học. Đặc trưng thứ tự và các phép tính của nó được đề cập một cách tường minh. Phạm vi hoạt động chủ yếu của phân số trong giai đoạn này: số học, lí thuyết tập hợp, hình học, xác suất – thống kê,...
2.4. Kết luận chương 2