- Lĩnh vực chiếm ưu thế của phân số trong giai đoạn này là số học Có rất nhiều nhà số học nhưng họ không quan tâm nhiều đến yếu tố “đối tượng” của phân số mà
2.3.3. Cách tiếp cận phân số theo quan điểm lí thuyết tập hợp
Sự hạn chế của tập hợp N trong việc giải quyết các vấn đề đại số đã thôi thúc các nhà toán học tìm cách mở rộng tập hợp số N thành Q.
- Xuất phát từ tập số tự nhiên N, người ta có thể lần lượt xây dựng hệ thống số nguyên, hệ thống số hữu tỉ Q, hệ thống số thực R rồi tới hệ thống số phức.
- Việc xây dựng hệ thống số cũng được xuất phát theo một trình tự khác như sau: đi từ hệ thống số tự nhiên N qua hệ thống số biểu diễn bởi phân số Q* (tức là hệ thống số hữu tỉ không âm) tới hệ thống số hữu tỉ Q, còn hai bước sau thì giống như con đường thứ nhất. Có thể sơ đồ hóa 2 con đường trên như sau:
* Con đường thứ nhất: N Z Q R C. * Con đường thứ hai: N Q* Q R C.
Hai phương pháp mở rộng hệ thống số mà các nhà toán học thường sử dụng:
i) Phương pháp nhúng đẳng cấu
Theo phương pháp nhúng đẳng cấu, ta làm các việc sau đây:
- Xây dựng một tập hợp mới B, định nghĩa các phép toán cộng, nhân, và quan hệ thứ tự “<” trong B.
- Chứng minh rằng B cũng có các tính chất cơ bản như A và ngoài ra còn thỏa mãn yêu cầu nói trên mà A chưa thỏa mãn.
- Trong B chỉ ra một bộ phận A’ đẳng cấu với A (đẳng cấu đối với các phép cộng, nhân và quan hệ thứ tự “<” trong A và trong B).
Giả sử đã có sẵn một hệ thống số A (đối với các phép toán cộng, nhân và quan hệ thứ tự nhỏ hơn) có một số tính chất nhất định nhưng chưa thỏa mãn một yêu cầu nào đó. Ta làm các công việc sau đây:
- Bổ sung vào A một tập hợp C để được tập hợp B= ∪A C rồi định nghĩa các phép toán cộng, nhân và quan hệ thứ tự nhỏ hơn trong B sao cho nếu hạn chế trên A thì những quan hệ mới này trùng với những phép toán và quan hệ thứ tự đã có sẵn trong A.
- Chứng minh rằng B cũng có các tính chất cơ bản như A và ngoài ra còn thỏa mãn yêu cầu nói trên mà A chưa thỏa mãn.
Bảng 2.1: So sánh phương pháp bổ sung và phương pháp nhúng đẳng cấu
Phương pháp bổ sung Phương pháp nhúng đẳng cấu
- Kí hiệu N+ là tập hợp số tự nhiên khác 0, M là tập con của N+×N+gồm tất cả các cặp (a, b) mà a không chia hết cho b. Xét quan hệ tương đương R
(a, b) R (c, d) ⇔ad = bc Xét tập hợp *
( / )
Q = ∪N M R trong đó các phần tử của M/R được viết dưới
dạng ,a c
b d ,…
- Định nghĩa quan hệ thứ tự trong Q*
(3 trường hợp)
i) ,m n N∈ , m < n hiểu theo quan hệ nhỏ hơn trong N. ii) ,a c M R/ b d ∈ , a c ad bc b < ⇔d < iii) m N∈ , a M R/ b∈ a m mb a b < ⇔ < ; a m a bm b < ⇔ < - Kí hiệu N+ là tập hợp số tự nhiên khác 0. Đối với tập hợp N N× + ta xét quan hệ tương đương R
(a, b) R (c, d) ⇔ad = bc
Xét tập thương Q* = ×N N+ /R mà các phần tử của nó được viết dưới dạng
,
a c b d ,…
- Định nghĩa quan hệ thứ tự trong Q*
a c
ad bc b < ⇔d <
* Bình luận
- Tương tự như đã thực hiện đối với quan hệ thứ tự, khi định nghĩa phép cộng và phép nhân trong Q*, nếu dùng phương pháp bổ sung thì ta phải chia nhiều trường hợp, còn nếu dùng phương pháp nhúng đẳng cấu thì ta chỉ cần đưa ra một định nghĩa tổng quát. Ta thấy trong trường hợp này dùng phương pháp nhúng đẳng cấu hợp lí hơn phương pháp bổ sung.
- Trong các cách mở rộng hệ thống số như trên, phân số đóng vai trò như một phần tử của tập hợp Q*.