Nhịp cầu Trường Tiền

Em hãy tính chiều cao của cầu Trường Tiền (tức là chiều cao của mỗi nhịp cầu) biết rằng, từ một vị trí trên nhịp cầu cách mặt cầu 3,45m, người ta thả một sợi dây thẳng đứng chạm mặt cầu thì thấy vị trí tiếp xúc cách chân nhịp cầu gần nhất một khoảng 20m.

*Mục tiêu hoạt động:

- Dự đốn được hình dạng nhịp cầu là đồ thị của hàm số bậc hai đã học

 

2

yax a 0

- Biết cách lập phương trình của đường cong parabol dạng 2 

yax a 0 - Vận dụng được đồ thị hàm số 2 

yax a0 vào bài tốn tính chiều cao cầu Tràng Tiền.

*Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm 6-8 HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài tốn theo quy trình 7 bước như sau:

Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn

Bài toán rõ ràng về câu hỏi (tính chiều cao của cầu Trường Tiền - Tức là tính chiều cao của mỗi nhịp cầu) nhưng các điều kiện ban đầu của bài tốn chưa rõ ràng. Hơn nữa, hình dáng của nhịp cầu là một đường cong chứ không phải một đường thẳng nên khó để áp cách tính chiều cao thơng thường. Vì vậy, GV cần tổ chức cho các nhóm HS thảo luận về những thông tin, số liệu có thể ảnh hưởng đến q trình tính tốn chiều cao của cầu.

GV hướng dẫn HS sử dụng các từ khóa. Ví dụ, các từ khóa có thể là: chiều dài cầu, chiều rộng cầu, số lượng nhịp cầu, khẩu độ một nhịp cầu, vị trí của một điểm trên nhịp cầu…

Bước 2: Lập giả thuyết

GV cho HS liệt kê các tham số (yếu tố) có liên quan đến vấn đề trên (sau khi đã được diễn đạt lại) nhằm thiết lập những điều kiện ban đầu của bài tốn. Từ kết quả tìm hiểu, HS nhận ra hình dạng nhịp cầu gần tương tự đồ thị của hàm số bậc hai

 

2

yax a0 . Do đó, GV cho các nhóm thảo luận và phản biện lẫn nhau để xác định các tham số quan trọng và bỏ đi những tham số phụ. Các tham số có thể xuất hiện trong bài toán là: chiều dài cầu, chiều rộng cầu, số lượng nhịp cầu, khẩu độ một nhịp cầu, vị trí của một điểm trên nhịp cầu… Cuối cùng, GV hướng dẫn HS lựa

cầu, vị trí của một điểm trên nhịp cầu) và loại bỏ một số tham số phụ như: chiều dài cầu, chiều rộng cầu, số lượng nhịp cầu,…

Bước 3: Xây dựng bài toán

Sau khi xác định xong các tham số quan trọng, GV định hướng để các nhóm thảo luận và xác định điều kiện ban đầu, xây dựng cơng thức tính tốn, thử với một số giá trị để đưa ra dự đoán ban đầu.

+ Các điều kiện ban đầu được xác định như sau: - Khẩu độ nhịp cầu: 67m

- Từ một vị trí trên nhịp cầu cách mặt cầu 3,45m, người ta thả một sợi dây thẳng đứng chạm mặt cầu thì thấy vị trí tiếp xúc cách chân nhịp cầu gần nhất một khoảng 20m.

+ Nhịp cầu có đồ thị dạng parabol 2 

yax a0

Đến đây, HS nhận ra nếu xác định được hình dạng của parabol thì có thể tìm được chiều cao của nhịp cầu.

+ Chọn parabol (P) 2 

yax a0 nằm từ trục hoành trở xuống (đỉnh parabol trùng với gốc tọa độ) có chiều cao là h (m)

+ Lúc này, vị trí trên nhịp cầu (ở đề bài) sẽ tương ứng với điểm

 

M 20;3,45 h và 2 chân nhịp cầu sẽ có tọa độ lần lượt là A’ 33,5; h  và

 

Bước 4: Giải bài toán

Ta thấy M 20;3,45 h  và A’ 33,5; h  đều thuộc đồ thị (P) Khi đó, ta có hệ phương trình sau:

2 2 43 3, 45 h a.20 400a h 3, 45 a 0,0048 4815 1122, 25a h 0 h a.33,5 h 5,36                           

Bước 5: Hiểu lời giải bài toán

Dựa vào kết quả nghiệm của hệ phương trình ở bước 4, ta thấy chiều cao của cầu Trường Tiền là khoảng 5,36m.

Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình

GV cho các nhóm thảo luận về những kiến thức toán học đã sử dụng trong q trình giải quyết bài tốn:

+ Trong quá trình giải bài toán, ta sử dụng đến đồ thị hàm 2 

yax a0 để tìm chiều cao của cầu.

+ Ta cũng biết cách lựa chọn hàm số 2 

yax a0 phù hợp, từ đó xác định được các điểm thuộc vào đồ thị hàm số thông qua thông tin đề bài.

Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đốn

Thực tế, cầu Trường Tiền cao 5,45m. Như vậy kết quả tính được sai số 9cm, ở mức chấp nhận được. Sai số này khơng phải do tính tốn sai mà thơng tin đề bài cung cấp có thể khơng chính xác, cụ thể là phần đo đạc để xác định vị trí của một điểm trên nhịp cầu.

Bài tốn 2.7: BÀI TỐN ĐIỀU CHỈNH THỜI GIAN HỌC TẬP

Cho bảng thống kê về mối tương quan giữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà của một HS.

Bảng 2.10. Mối tương quan giữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà của một học sinh

Thời

gian (h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a/ Coi mỗi cặp số (thời gian học ở nhà và điểm số tương ứng) biểu diễn một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ.

b/ Đưa ra lời khuyên về thời lượng học ở nhà một cách hợp lý để đạt được điểm số cao nhất.

*Mục tiêu hoạt động:

- Biết biểu diễn điểm trên mặt phẳng tọa độ

- Biết cách sử dụng các số liệu thống kê để xấp xỉ được một hàm số và đưa ra được dự báo về thời lượng học ở nhà để đạt được điểm số cao nhất.

*Tiến trình hoạt động:

GV cho HS hoạt động theo bàn, thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn

Bài toán cho biết mối tương quan giữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà của một HS và có 2 câu hỏi:

+ Biểu diễn thời gian học ở nhà và điểm số tương ứng tương ứng lên mặt phẳng tọa độ

+ Đưa ra lời khuyên về thời lượng học ở nhà một cách hợp lý để đạt được điểm số cao nhất.

Từ đó, GV cho các nhóm thảo luận về những thông tin, số liệu có thể ảnh hưởng đến việc đưa ra lời khuyên về thời lượng học ở nhà một cách hợp lý để đạt được điểm số cao nhất.

Bước 2: Lập giả thuyết

GV cho HS liệt kê các tham số (yếu tố) có liên quan đến vấn đề trên (sau khi đã được diễn đạt lại) nhằm thiết lập những điều kiện ban đầu của bài tốn. Từ đó, GV cho các nhóm thảo luận và phản biện lẫn nhau cũng như định hướng để HS nhận ra việc biểu diễn các điểm ở phần a/ sẽ là cơ sở để đưa ra lời khuyên ở phần b/ thông qua việc vẽ một đường “gần” với các điểm nhất có thể.

Bước 3: Xây dựng bài tốn

Sau khi lập xong giả thuyết, GV cho HS thực hiện phần a/, trong đó: thời gian học ở nhà biểu diễn trên trục hoành, điểm số tương ứng biểu diễn trên trục tung.

GV cho HS dùng thước thẳng để dự đoán của đường “gần” với các điểm nhất có thể. Từ đó đưa ra dự đoán ban đầu: “Đường gần với các điểm nhất khơng phải đường thẳng mà có dạng đường cong như một parabol”.

Bước 4: Giải bài toán

GV hướng dẫn HS sử dụng phần mềm Excel 2016 để tìm đường cong như dự đốn:

- Nhập bảng thành tích đã cho ở đề bài dạng cột dọc:

Thời gian (h) Điểm số

1 6

2 5.5

3 6.5

… …

- Bơi đen tồn bộ bảng, sau đó chọn Insert/Scater Chart (biểu đồ phân tán) được biểu đồ biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ như sau:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12 14

- Tại Chart Tools, chọn Design/Add Chart Element/Trendline/More Trendline Options. Tại bảng Format Trendline chọn Polynomial. Chọn màu sắc theo ý thích được kết quả như hình dưới:

Ở biểu đồ thu Excel trả về, chúng ta nhận được hình ảnh đồ thị hàm số biểu diễn xấp xỉ các giá trị (thành tích huy chương vàng 100m nam) theo các năm tổ chức thế vận hội mùa hè là một đường cong dạng parabol.

Bước 5: Hiểu lời giải bài toán

Dựa vào đồ thị ta thấy điểm cao nhất (tung độ lớn nhất) trên mặt phẳng tọa độ (mà thuộc đồ thị) thể hiện điểm số cao nhất (tức là hiệu quả học tập tốt nhất) và hoành độ tương ứng chính là khoảng thời gian học ở nhà hiệu quả, trong khoảng từ 7 đến 8 giờ.

Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình

GV cho các nhóm thảo luận về những ưu điểm và hạn chế của hai mơ hình, những kiến thức toán học đã sử dụng trong q trình giải quyết bài tốn:

+ Trong q trình giải bài tốn, ta cần biết cách biểu diễn điểm trên mặt phẳng tọa độ.

+ Bài toán sử dụng Excel 2016 để tìm đường “gần” với các điểm biểu diễn nhất. Nếu khơng có hỗ trợ của phần mềm thì cơng việc sẽ khó khăn hơn rất nhiều.

+ Dùng mơ hình đường cong sẽ tốt hơn mơ hình đường thẳng:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12 14

Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đoán

Qua bài tốn và mơ hình xây dựng được, có thể thấy việc dành ít thời gian học ở nhà khiến kết quả học tập không cao. Tuy nhiên, việc dành quá nhiều thời gian học ở nhà cũng không đồng nghĩa với hiệu quả học tập cũng tăng theo. Chúng ta cần xây dựng một thời gian biểu hợp lí, cân bằng giữa việc học và tham gia các hoạt động ngoại khóa, giải trí.

2.3. Xây dựng hệ thống bài tập mơ hình hóa chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở sở

Trong chương trình THCS, chủ đề Hàm số được thể hiện chủ yếu ở lớp 7 (Chương II: Hàm số và đồ thị) và lớp 9 (gồm 2 chương - Chương II: Hàm số bậc nhất và chương IV: Hàm số 2 

yax a0 - Phương trình bậc hai một ẩn), do đó, luận văn xây dựng hệ thống bài tập MHH chủ đề Hàm số theo hai phần:

+ Bài tập MHH chủ đề Hàm số cho HS lớp 7 + Bài tập MHH chủ đề Hàm số cho HS lớp 9

Hệ thống bài tập trên được xây dựng đảm bảo các yêu cầu sau:

+ Các bài tập đều chứa đựng các tình huống thực tiễn và có thể sử dụng quy trình MHH để giải quyết.

+ Kiến thức sử dụng để giải quyết các bài tập thuộc chương trình tương ứng với đối tượng học sinh

+ Các bài tập được phân loại theo các mức độ, phù hợp với từng đối tượng HS. Đối với bài tập nhiều ý hỏi, các ý hỏi phải được sắp xếp theo mức độ tăng dần về mặt yêu cầu các thao tác trí tuệ, cách tư duy, lập luận.

2.3.1. Bài tập mơ hình hóa chủ đề Hàm số cho học sinh lớp 7

Bài tập 2.1: BÀI TOÁN TIẾT KIỆM TIỀN

Bạn Đức rất thích đi xe đạp thể thao và đang có ý định mua một chiếc xe có giá 2 000 000 đồng. Đức ngỏ ý nhờ bố mẹ giúp đỡ thì được bố mẹ tư vấn như sau: “Mỗi ngày bố mẹ sẽ cho Đức 10 000 đồng để bỏ vào lợn tiết kiệm. Nếu cuối học kì I Đức được học sinh giỏi thì bố mẹ sẽ thưởng thêm 300 000 đồng nữa.”

a/ Hãy lập công thức biểu diễn số tiền y (đồng) mà Đức tiết kiệm được sau x (ngày). Khi đó, y có là một hàm số của x không?

b/ Sau 15 ngày, Đức tiết kiệm được bao nhiêu tiền?

c/ Nếu cuối học kì I, Đức khơng được học sinh giỏi thì Đức cần bao nhiêu ngày để có đủ tiền mua xe đạp?

d/ Biết rằng, ngày bắt đầu tiết kiệm là ngày 15/8/2019, ngày kết thúc học kì I là ngày 27/12/2020 và Đức đạt học sinh giỏi học kì I. Hỏi đến ngày nào thì Đức có đủ tiền để mua xe đạp?

*Mục tiêu hoạt động:

- Lập được cơng thức tính số tiền tiết kiệm được sau mỗi ngày tương ứng. - Biết cách xác định hàm số, công thức của hàm số.

- Vận dụng được cách tính giá trị của một hàm số để giải quyết bài toán. *Lời giải:

a/ y 10000.x => y là hàm số của x

b/ Sau 15 ngày, Đức tiết kiệm được số tiền là: y 10000.15 150000  (đồng) c/ Nếu cuối học kì I, Đức khơng được học sinh giỏi thì Đức cần số ngày để có đủ tiền mua xe đạp là: 2000000:10000 200 (ngày)

d/ + Thời gian từ 15/8/2019 đến 27/12/2019 là 125 ngày.

+ Vì Đức đạt học sinh giỏi học kì I nên đến 27/12/2019 thì số tiền Đức đã tiết kiệm được là: 125.10000 300000 1550000  (đồng)

2000000 1550000 :10000 45   (ngày) Vậy ngày Đức có đủ tiền mua xe đạp là: 10/02/2020. Bài tập 2.2: BÀI TOÁN TỐC ĐỘ TRUYỀN DỊCH

Việc truyền dịch tĩnh mạch được sử dụng để đưa các chất lỏng và thuốc vào cơ thể bệnh nhân.

Các y tá phải tính toán tốc độ truyền dịch D theo số giọt mỗi phút.

Họ sử dụng công thức kv D

60t

 , trong đó: