MỘT SỔ BÀI TỐN ÚNG Ĩ)ỤNG CỦA QUI HOẠCH ĐỘNG
5.1.1. Bài tốn phân bổ tối ưu tài nguyên
Giả sử chúng ta cĩ X đơn vị tài nguyên kinh tế (chẳng hạn là vốn, nhân lực, nguyên liệu, nhiên liệu, ...). Loại tài nguyên này cĩ thể sử dụng vào các quá trình (hay hành
vi) kinh tế khác nhau. Nếu sử dụng Xị đơn vị tài nguyên vào quá trình thứ i (i = 1, 2,..., N), sẽ mang lại một hiệu quả xác định. Việc đo lường các hiệu quả này trong các quá trình khác nhau được xác định bởi các hàm hiệu quả gj(Xi), i = 1, 2,..., N. Chúng ta giả thiết rằng, các hàm hiệu quả này được xác định bởi cùng một loại đơn vị đo (chẳng hạn quy về giá trị) và hiệu quả thu được khi sử dụng một lượng tài nguyên vào một quá trình chỉ phụ thuộc vào lượng phân cho quá trình đĩ chứ khơng phụ thuộc vào lượng tài nguyên cịn lại được phân bổ cho các quá trình khác, vấn đê' đặt ra là: với lượng tài nguyên hiện cĩ X đơn vị, cần phân bổ cho từng quá trình bao nhiêu đơn vị tài nguyên để tổng hiệu quả thu được đối với cả N quá trình là lớn nhất.
Nếu chúng ta ký hiệu R (xb X2,....,XN) là hàm tổng hiệu quả thì bài tốn đã cho cĩ thể phát biểu nbư sau:
Tìm cực đại của hàm
R (X|, x2,..., XN) = gi(x^) + g2(x2) +....+ gN(xN) (5.1) Với điều kiện:
’ *1 + *2 + •••■......... + XN = X
Xị > 0 , i = 1, 2,....,N (5.2)
Rõ ràng cực đại của hàm R phụ thuộc vào các hàm gi(Xjj) và lượng tài nguyên được phép sử dụng X.
Chúng ta sẽ đưa ra hệ thức truy hồi của qui hoạch động đối với bài tốn phân bổ tài nguyên. Thay cho việc nghiên cứu một bài tốn với một lượng tài nguyên và sơ quá trình đã cho, chúng ta sẽ nghiên cứu một lởp các bài tốn tương tự, trong đĩ X cĩ thể nhận giá trị dương bất kỳ và N là số nguyên dương bất kỳ. Thực tế quá trình quyết định cĩ
thể chia thành N giai đoạn, khi phân một lượng tài nguyên vào một quá trình kinh tế, ta xem là một giai đoạn (bước) của quyết định. Đầu tiên, chúng ta phân một lượng nhất định tài nguyên cho quá trình thứ N^sau đĩ cho quá trình thứ (N-l)..., chúng ta sẽ cĩ quá trình động của việc phân bổ.
Ta biết rằng max R phụ thuộc vào X và N nên ta cĩ thể định nghĩa dẫy hàm {fN(X)í như sau với N = 1, 2,..., và X > 0 fN(x) = max R(Xi, x2,..., XN) (5.3) {Xjl N với £ Xị = X i=l Xj > 0 (i = 1, 2, .., N)
Hàm fN(x) sẽ cho tổng hiệu quả cần tìm khi phân bổ tối ưu X đơn vị tài nguyên vào N quá trình (hành vi). Trong hai trường hợp cụ thể sau, các phần tử của dẫy hàm {fN(x)} cĩ dạng đơn giản. Rõ ràng ta cĩ
fN(0) = 0, N = 1, 2... (5,4) khi gị(0) = 0 (Vi)
và f|(x) = gj(x) (5.5)
Ta tìm mối liên hệ giữa fN(x) và Ín-i(x) với N và X bất kỳ. Giả sử 0 < XN < X là lượng tài nguyên phân vào quá trình thứ N, lượng tài nguyên cịn lại X - XN sẽ được sử dụng sao cho đạt hiệu quả lớn nhất trong N-l quá trình cịn lại. Vì theo định nghĩa, hàm Ĩn-i(x - XN) là hiệu quả tối ưu mang lại khi phân lượng tài nguyên X
- XN vào N - 1 quá trình, nên khi phân XN đơn vị tài nguyên vào quá trình thứ N, thì tổng hiệu quả đối với cả N quá trình sẽ là:
g]\j(Xj\j) + ■ l(x- Xjq) (5.6) Sách lược tối ưu sẽ là, chọn XN sao cho hàm (5.6) đạt cực đại. Và như vậy chúng ta cĩ phương trình hàm:
fN(x) = max [gN(xN) + ÍN-1 <x - xn)1 í5-7) 0 < xN < X
với N = 2, 3, ... và X > 0 cịn f|(x) được xác định từ hệ thức (5.5)
Hệ thức truy hồi (5.7) được xây dựng dựa trên nguyên lý tối ưu Bellman, được phát biểu như sau:
"Dù cho trang thái ban đấu và quyết định ban đàu như thế nào các quyết đình tiêp sau phai lạp thanh mọt sach lược toi
ưu dối với trạng thái hình thành do quyết định ban đau".
Hệ thức truy hồi (5.7) cĩ thể dẫn ra trực tiếp như sau: Theo định nghĩa cực đại, ta cĩ
fN(x) = max [gtf(xN) + - 1^XN - 1) +-‘" + X1 + x2 +•••+ XN = X, Xi > 0, i = 1, 2......N = max X max [gN^xN^ + Sn - 1(XN - p ■*■•••• + £1(X1)] 0 < XN < X X1+X2+--+XN-1=X-XN = max [gN(xN) + fN-i (x • XN)] 0 < XN < X Với N = 1 ta cĩ
f/x) = max gi(xi) = giW X] = X
Hệ thức truy hồi (5.7) là cơ sở lý thuyết đối với việc tìm dẫy hàm {fN(x)} nếu f^x) đã biết
Dựa vào hệ thức truy hồi (5.7), (5.5) ta giải bài tốn sau: Ví dụ 5.1.
Cĩ 8 đơn vị tài nguyên, cĩ thể sử dụng vào bốn quá trình khác nhau. Trong mỗi quá trình đĩ, hiệu quả mang lại khác nhau, phụ thuộc vào lượng tài nguyên đem sử dụng. Giả sử, cĩ thể phân chia lượng tài nguyên đĩ theo các đơn vị nguyên. Số liệu về tiền lãi thu được đối với từng quá trình khi sử dụng số đơn vị tài nguyên tương ứng được cho ở bảng 5.1. Hãy tìm cách phân bổ tài nguyên vào từng quá trình sao cho đạt tổng tiền lãi lớn nhất.
Bảng 5.1
ở đây
X-I, x2, x3, x4 9i(Xi) Q&2) 93(^3) 94(x4)
0 0 0 0 0 1 2 3 4 3 2 5 7 6 8 3 10 9 8 9 4 12 11 11 12 5 15 14 15 14 6 19 19 20 15 7 22 23 23 15 8 25 27 24 15 4 R(xb x2, ..., XN) =£ gi(Xi) max
i=l
x. e {0, 1, x} , i=l, 2, 3, 4 Các hàm gj(Xj) khơng giảm, gi(0) = 0. Các hệ thức truy hồi:
f^x) = max gi(Xx) = ểi(x)
Xị 6 {0, 1, —,
fN(x) = max [gtfíXN) + ^N-i(x ■ xn)1 , N > 2 XN e {0, 1, -, x}
Để nhận được lời giải của bài tốn, chúng ta lập bảng tính fj/x), sau đĩ f2(x), v.v..., đên fN(x). Đồng thời chúng ta biết được các giá trị của các biến Xị làm cực đại hàm fị(x). Các giá trị này phụ thuộc vào X nên ta ký hiệu là Xj (x). Bảng 5.2 chứa các giá trị của hàm fjCx) và Xj(x)
Bảng 5.2. X fl(x) Xl(x) 0 0 0 1 2 1 2 5 2 3 10 3 4 12 4 5 15 5 6 19 6 7 22 7 8 25 8
Trong bảng 5.3. dẫn ra cách tính và các giá trị hàm f2(x) = max [g2(x2) + fi(x - x2)],
x2 e {0, 1, ..., x} với X = 1, 2, ... 8
Các giá trị của f2(x) đối với những giá trị khác nhau của X, được viết trong dấu mĩc.
Bảng 5.3 Trong bảng 5.4, ta tính hàm X2 X g2(X2) + f-|(x-x2) f2(x) x2(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 [0] 0 0 1 2 [3] 3 1 2 5 5 [7] 7 2 3 [10] 8 9 9 10 0 4 12 [13] 12 11 11 13 1 5 15 15 [17] 14 14 14 17 2 6 [19] 18 [19] [19] [19] 16 [19] 19 0,2,3,6 7 22 22 22 21 21 19 21 [23] 23 7 8 25 25 26 24 23 24 24 25 [27] 27 8 f3(x) = max [g3(x3) + f2(x - X3)J x3 e {0, 1, 2,...., x} Và ở bảng 5.5, tính hàm f4(x) = max [g4(x4) + f3(x - x4)] x4 e {0, l,....x}
Bảng 5.4 \ X3 X \ 93(^3) + f2(x-x3) f3(x) x3(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 [0] 0 0 1 3 [4] 4 1 2 [7] [7] 6 7 0,1 3 10 [11] 9 8 11 1 4 13 [14] 13 11 11 14 1 5 [17] [17] 16 15 14 15 17 0,1 6 19 [21] 19 18 18 18 20 21 1 7 [23] [23] [23] 21 21 22 [23] [23] 23 0,1,2,6,7 8 [27] [27] 25 25 24 25 [27] 26 24 27 0,1,6 Bảng 5.5
Để tìm nghiệm tối ưu, ta lần lượt tìm trong các bảng, bắt đầu từ bảng cuối.
với X = 8 thì x4(8) = 2
Trong bảng_(5.4), tìm x3(6) = 1, trong bảng 5.3 tìm x2(5) = 2 và từ đĩ Xj(3) = 3
Như vậy, cách phân bổ tối ưu 8 đơn vị tài nguyên cho 4 quá trình là:
Xi = 3, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 2
max R(X1, x2.... . x4) = f[8) = 29
Chú ý. Dựa vào 4 bảng ta tính trên, ta cĩ thể giải bài tốn với mọi 0 < X < 8