Giả sử trong kho dự trữ n loại hàng và đối với loại hàng hố j yêu cầu Hij mét khối cho mỗi đơn vị. Nếu ký hiệu Sj là khối lượng hàng loại j đặt mua, thì với dung tích kho hạn chế bằng m, ta sẽ cĩ điều kiện ràng buộc:
m.j Sj < m (6.17) j=i
Giả sử Qj là nhu cầu năm của loại hàng j, OC.J- là chi phí cố định đối với một lần đặt mua loại hàng j, Cj là giá mỗi đơn vị hàng j và khơng phụ thuộc vào khối lượng hàng đặt mua, Ij là hệ số chi phí bảo quản loại hàng j. Khi đĩ tổng chi phí tạo ra n loại hàng dự trữ sẽ bằng
D - Ế [“lậ + Ij Cï I] (6-18) j=l J
Ta phải tìm các giá trị Sj sao cho hàm D đạt cực tiểu với điều kiện ràng buộc (6.17).
Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrăng, ta xây dựng hàm Lagrăng:
T „ Si
«i + cj 2 (6.19)
n Ầ = 0 nếu ỵ mj Sj < m >1 n À > 0 nếu mj Sj = m j=i
Với điều kiện trên, biểu thức (6.19) luơn luơn đồng nhất với biểu thức (6.18) và cực tiểu của hàm J theo Sj cũng chính là cực tiểu của hàm D theo Sj. Khi đĩ tập hợp các giá trị Sj (j = 1, 2, ..., n) và Ằ làm cực tiểu hàm J sẽ là nghiệm của hệ phương trình:
ỔJ Qj Ij Cj
= - ^2 x aj + 2 + = 0 (j = 1, 2,. . ., n)
n j (6.20)
I. j=l
Giải hệ phương trình trên ta sẽ thu được giá trị tối ưu của Sj và X. Cụ thể giá trị Sj biểu diễn qua X* bằng biểu thức:
= 2QjOCj ,
Ij Cj + 2X mj j = 1, 2,..., n (6.21)
Ý nghĩa kinh tế của kết quả thu được như sau: Nếu khi n
khơng sử dụng hết dung tích (^ nij Sj < m) thì X = 0 và j=i
cơng thức (6.21) sẽ trùng với (6.4). Như vậy trong trưịng hợp này điều kiện ràng buộc về dung tích kho thực tê khơng ảnh hưởng gì đến kết quả bài tốn. Cịn nếu kho được sử
n
dụng hết dung tích nij Sj = m) thì À > 0 và điều đĩ sẽ j=i
cĩ ảnh hưỏng đến khối lượng hàng đặt tối ưu. Cụ thể là làm cho mẫu sơ của biểu thức dưới căn tăng lên một giá trị 2À mj. Trên giác độ kinh tế, giá trị 2Ànij cĩ thể xem như chi phí bổ sung phải trả để bảo quản thêm một đơn vị hàng j. Thật vậy nếu trong biểu thức (6.21) ta thay IjCj + 2Àmj = thì ta sẽ thu được biểu thức (6.4) với chi phí bảo quản mới. Như vậy ý nghĩa của 2Ầmj chính là số chi phí để bảo quản thêm một đơn vị hàng j.
Việc đưa điều kiện ràng buộc (6.17) vào làm cho bài tốn trồ nên phủc tạp hơn. Do đĩ trong thực tê để giải bài tốn trên, người ta thường tiến hành như sau: Trước tiên giải bài tốn khơng cĩ điều kiện ràng buộc (6.17) và xác định các khối lượng hàng đặt
- Nếu các Sjí0) tìm được thoả mãn điều kiện ràng buộc n
(6.17) tức là nij Sj°> < m thì các Sj(0) tìm được chính là j=1
các nghiệm tối ưu cần tìm. Nếu (6.17) khơng thoả mãn thì khi đĩ ta mởi giải bài tốn cĩ điều kiện ràng buộc.