e- S L s£L Ql!
6.4.1 Bài tốn với nhu cầu là biến ngẫu nhiên rời rạc
Ta gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ lượng yêu cầu về loại hàng hố nào đĩ, tính theo đơn vị (chiếc, cái...). Biến này nhận những giá trị rời rạc, P(y) là xác suất chỉ bán được y đơn vị (y = 0,1,2, ...), gọi Cu là thiệt hại gây ra khi thiếu một đơn vị hàng để bán, Cr là thiệt hại gây ra khi thừa một đơn vị hàng khơng bán được, X là lượng hàng đặt mua để đáp ứng nhu cầu trong thời gian nghiên cứu. Bài tốn đặt ra ’à: Hãy xác định giá trị tối ưu của X sao cho thiệt hại trung bình cĩ thể gây ra ứng với quyết định đĩ là ít nhất. Ta biết:
- Khi y < X sẽ gây thiệt hại là Cr(x - y) - Khi y > X sẽ gây thiệt hại là Cu(y - x), - Khi y = X thiệt hại khơng xuất hiện.
ứng với lượng hàng mua vào X, ta gọi N(x) là kỳ vọng tốn của các thiệt hại gây ra thì
x-l
N(x) = £ cr (x - y) p(y) + o.p (x) + Cu(y - x) p(y)
y=0 y=x+l
X 00
= £ cr (x - y) p(y) + ỵ cu(y - x) p(y) (6.39)
y=0 y=x+l
Khi đã biết Cu, Cr, P(y) chúng ta cĩ thể tiến hành tính tốn như sau, để xác định giá trị tối ưu của X bằng cách:
Lần lượt cho X = 0,1,2, ... và tính kỳ vọng thiệt hại N(x) tương úng. Giá trị X = X ứng với nĩ thiệt hại trung bình N(x ) là nhỏ nhất, sẽ cho ta lượng hàng tối ưu cần mua vào để dự trữ.
Tuy nhiên nếu chúng ta giả thiết rằng hàm N(x) cĩ cực tiểu địa phương, thì cách xác định giá trị X cĩ thể tiến hành như sau:
Vì X* là giá trị mà ứng với nĩ N(x) nhận giá trị cực tiểu nên:
N(x*) < N(x* + 1) hay N(x + 1) - N(x*) > 0 đồng thịi:
N(x ) < N(x - 1) haỵ N(x - 1) - N(x ) > 0 Theo biểu thức của N(x) ta cĩ:
N(x + 1) = X cr (x + 1- y) p(y) + X Cu(y - X - 1) p(y) = cr[(x + l)p(0) + xp(l) + (x-l)p(2) +....+ 2p(x - 1) + p(x)]+ cu[p(x + 2) + 2p(x + 3) + 3p(x + 4) +...] N(x) = cr [xp(0) + (x - l)p(l) + (x - 2)p(2) +...+p(x-l)J
+ Cu[p(x+ + 1) + 2p(x + 2) + 3p(x +3) +...] Từ đĩ ta cĩ:
N(x + 1) - N(x) = Crỉ p(y) - CuX p(y) (6.40)
Vì ẳ p(y) = P(y x} = F(x) là hàm phân phối xác suất
y=0
00
của đại lượng ngẫu nhiên y và 52 p(y) = 1 - F(x) y=x+l Do đĩ ta cĩ: N(x + 1) - N(x) = CrF(x) - cu[l - F(x)J = (Cr + Cu)F(x) - cu (6.41) Tương tự N(x) - N(x - 1) = (Cr + Cu) F(x - 1) - Cu Đối với giá trị tối ưu của X = X ta cĩ:
(Cr + Cu) F(x*) - Cu > 0 (Cr + Cu) F(x* - 1) - Cu < 0 Từ đĩ suy ra: F(x*> F(x* -1) Cu Cu + Cr Cu Cu + Cr > < hay < F(x*-1) CuVã s (6.42) Ví dụ 6.7.
Cĩ một loại hàng kinh doanh theo thời vụ. Qua nhiều năm theo dõi ta khảng định được rằng yêu cầu về mặt hàng này là một biến ngẫu nhiên rời rạc với phân phối xác suất tương ứng cho ở bảng sau:
y.x p(y) P(y < x) = £ p(y) y=0 0 0,03 0,03 1 0,07 0,10 2 0,08 0,18 3 0,09 0,27 4 0,10 0,37 5 0,11 0,48 6 0,13 0,61 7 0,15 0,76 8 0,12 0,88 9 0,07 0,95 10 0,05 1,00
Giả sử rằng: Giá mua một đơn vị hàng là 4.000Ổ, giá bán một đơn vị hàng trong thời vụ là lO.OOOđ, giá bán một đơn vị hàng sau thịi vụ (hàng đã kém phẩm chất) là 500đ. Hãy xác định lượng hàng tối ưu cần mua vào để phục vụ cho nhu cầu về loại hàng này trong một thời vụ, sao cho thiệt hại trung bình cĩ thể gây ra là ít nhất.
Giải. ở đây Cu = lO.OOOđ - 4.000đ = 6.000đ. Cr = 4.000đ - 500đ = 3.500đ. Cu Cu + Cr 6000 6000 + 3500 « 0,63
F(y < 6) = 0,61 < 0,63 < 0,76 = P(y < 7). Vậy X* = 7.
Chú ý: Nếu trong trưịng hợp cụ thể xẩy ra đẳng thức
F(x ) = _ Cu khi đĩ lượng hàng mua vào tối ưu là X Cu + Cr
hoặc X + 1.
Cách lập luận khác. Ta cĩ thể giải bài tốn trên với mục
tiêu là cực đại tiền lãi thu được của cửa hàng. Ta gọi giá mua một đơn vị hàng là Cn, giá bán một đơn vị hàng là Cp, giá bán một đơn vị hàng khi đã là thứ phẩm là Cz
Khi đĩ tiền lãi trung bình thu được khi dự trữ X đơn vị hàng sẽ là:
X œ X—1
Z(x) = CP X yp(y) + CP-X X p(y) + cz X <x - y)p(y) - cnx y=0 y=x+l y=0
hay
X co X
Z(x) = Cp£yp(y) + Cp.x£p(y) + Cz Y (x - y)p(y) - Cnx
y=0 y=x+l y=0
(6.43)
X 00
Nếu thay £ p(y) = 1 - £ p(y) (theo tính chất hàm
y=0 y=x+l
phân phối xác suất) và sau khi thu gọn ta được:
00
trong đĩ y là giá trị trung bình của nhu cầu trong thời gian nghiên cứu:
X
ỹ = X yp(y) y=0
Đơi với giá trị tơi ưu X = X ta cĩ:
Z(x ) > Z(x + 1) hay Z(x ) - Z(x + 1) > 0 (6.45) Đồng thịi: Z(x ) > Z(x - 1) hay Z(x ) - Z(x - 1) > 0 (6.46) Từ hệ thức (6.44) ta cĩ: Z(x) - Z(x+1) = (Cp - Cz)P(y < x) + (Cn - cp) Z(x - 1) - Z(x) = (Cp - Cz)P(y < X - 1) + (Cn - Cp) Từ (6.45) và (6.46) đối với trị tối ưu X = X*, ta cĩ:
và P(y s X - 1) < Từ đĩ ta cĩ: P(y < X* - 1) < Cp - G" < P(y < X*) cp - cz Đặt Cu =Cp - Cn, Cr = Cn - Cz, khi đĩ: Cp - Cz = (Cp - Cn) + (Cn - Cz) = Cu + Cr
Từ đĩ ta suy ra
P(y < X* - 1) < C" - < P(y < X ) (6.47)
(Ju + (Jr
Hệ thức (6.47) cho ta xác định giá trị tối ưu X = X . Hệ thức vừa tìm được hồn tồn trùng với kêt quả đã tìm được trong cách lập luận cực tiểu hố chi phí.