c. Chi phí do thiếu hụt dự trữ.
6.2.1. Mơ hình dự trữ giản đơn (mơ hình Wilson)
Bài tốn đặt ra như sau: Để đáp ứng về nhu cầu một loại hàng hố nào đĩ trong khoảng thịi gian T = 1 năm, cửa hàng chuyên doanh phải đặt mua từ nơi sản xuất Q đơn vị hàng hố nĩi trên. Hàng được chuyển đến từ nơi sản xuất theo từng lơ bằng nhau. Sau khi hàng được chuyển đến, lượng dự trữ ở cửa hàng đạt mức cao nhất và bằng khơi lượng một lơ hàng. Hàng được bán ra với cường độ tiêu thụ khơng đổi và khi lượng dự trữ ỏ cửa hàng giảm xuống tới 0, thì lơ hàng tiếp sau được chuyển tới ngay và quá trình được lặp lại. Biết giá mua 1 đon vị hàng là c cố định, khơng phụ thuộc vào khối lượng hàng đặt mua, cx là chi phí cơ định cho một lần đặt hàng, I là hệ số chi phí bảo quản. Cần xác định khối lượng mỗi lơ hàng đặt và khoảng cách giữa các thời điểm chuyển hàng đến, để tổng chi phí cho dự trữ là nhỏ nhất và thoả mãn các điều kiện ở trên.
Mức dự trữ ỏ cửa hàng cĩ thể biểu diễn trên đồ thị như ở hình 6.1., trong đĩ lượng hàng dự trữ biến đổi theo thịi
gian t; s là khối lượng một lơ hàng; tx, t2, tn là các thời điểm hàng chuyển đến cửa hàng và T là khoảng cách giữa các thịi điểm chuyển hàng.
Chúng ta ký hiệu Dx là chi phí tạo ra dự trữ, D2 là chi phí bảo quản dự trữ, D là tổng chi phí cho dự trữ. Như vậy: D = Dj + D2
Theo giả thiết ta thấy số lần đặt hàng trong năm n = 77 nên
y
Dx = CQ + cxn = CQ + c^.
Từ đồ thị ta thấy lượng dự trữ trung bình ỏ cửa hàng bằng:
và do đĩ ta cĩ: d2 = ic|
Như vậy: D = Di + D2 = CQ + + ic| (6.1) Vấn đề đặt ra là xác định giá trị của s sao cho D đạt cực tiểu. Trong biểu thức của D ta thấy rằng với giả thiết giá hàng c khơng phụ thuộc vào khối lượng hàng đặt mua, do đĩ sơ hạng CQ khơng phụ thuộc vào s và vào thời điểm đặt hàng. Vì vậy ta cĩ thể loại bỏ số hạng đĩ và hàm tổng chi phí sẽ cĩ dạng:
D = + ic| • (6.2)
Để tìm giá trị của s sao cho hàm D đạt cực tiểu ta lấy đạo hàm của D theo s và cho đạo hàm đĩ bằng 0. Ta cĩ:
Từ đĩ:
Biểu thức (6.3) cĩ nội dung kinh tê như sau: Ta thấy
cho việc đặt hàng (đạo hàm của tổng chi phí đặt hàng
chi phí giới hạn cho việc bảo quản bằng giá trị củá chi phí giới hạn cho việc đặt hàng. Nĩi cách khác, giá trị s sẽ là
tối ưu nếu việc giảm chi phí bảo quản do khối lượng hàng đặt mua mỗi lần giảm đi một đơn vị bằng việc tăng chi phí đặt hàng do số lần đặt hàng tăng lên.
Từ phương trình (6.3) ta suy ra s2 = 2CịQ
IC , như vậy khối lượng đặt hàng tơi ưu mỗi lần s* sẽ bằng:
(6.4)
Ta chú ý rằng, trong biểu thức (6.2) hàm tổng chi phí D = 00 khi s = 0 hoặc s = 00, cịn D < 00 vởi mọi giá trị s > 0. Ngồi ra D khả vi với mọi s > 0. Như vậy giá trị tơi ưu của s theo cơng thức (6.4) phải thoả mãn (6.2). Song (6.2) chỉ cĩ một nghiệm của đạo hàm với s > 0, Vì thế cơng thức (6.4) cho ta nghiệm tối ưu tuyệt đối.
Ta cũng cĩ thể chứng minh cách khác:
Ta biết rằng s* là nghiệm của phương trình - 0.
H n 2CiQ
Hơn nữa ——t > 0 vs > 0, nên s* chính là cực dS2 s3
tiểu tuyệt đối của D. Biểu thức (6.4) được gọi là cơng thức Wilson hay cơng thức khối lượng hàng đặt giản đơn.
Từ đĩ suy ra số lượng hợp đồng đặt hàng tối ưu cần thực hiện trong một năm bằng:
= Ẵ = (6.5)
s 2C1
Mức dự trữ trung bình trong cửa hàng ứng với khối lượng hàng đặt tối ưu:
(6.6)
Khoảng cách giữa các thịi điểm bổ sung dự trữ:
T* = . = (năm) (6.7) n ’■’ỉ1'“'
Tổng chi phí cực tiểu ứng với khối lượng hàng đặt tối ưu: D* = cậ + = ^CjQIC (6.8)
Chú ý:
Trong thực tế, việc thực hiện hợp đồng đặt hàng và chuyên chở sẽ mất một sơ thời gian nhất định. Do đĩ hợp đồng đặt hàng phải được ký trước khi mức dự trữ trong kho giảm xuống bằng 0. Như vậy nếu L‘ là thời gian vận chuyển hàng thì hợp đồng đặt hàng phải được ký vào lúc trong kho cịn lượng dự trữ là
B = QL - mS* (6.9)
m e (0, 1, 2,...}
Giá trị của B được gọi là điểm đặt hàng. Vì thế trong thực tế ỏ nhiều cửa hàng (hoặc trung tâm thương mại) người ta sử dụng cái gọi là hệ thống hai kho. Trong hệ thống này, hàng dự trữ được chứa ỏ hai kho riêng biệt, ở kho chính chứa lượng dự trữ S*-B, cịn ỏ kho phụ chứa lượng dự trữ B. Khi hết dự trữ ở kho chính, ngưịi ta lập tức tiến hành việc ký hợp đồng đặt hàng và trong thịi gian chờ đợi hàng đến thì sử dụng dự trữ ở kho phụ. Khi hàng dự trữ được chỏ đến, đầu tiên được bổ sung cho kho chính, sau đĩ mới đến kho phụ.
Ví dụ 6.1.
Ta xét một hệ thống kho với những tham số như sau: Q = 60.000 đơn vị/năm, cx = 80, c = 3, I = 0,20, L = 60 ngày = 1/6 năm (ỏ đây thời gian vận chuyển lâu vì loại hàng này phải mua của nước ngồi).
Giải:
Theo (6.4) ta cĩ khối lượng đặt hàng tối ưu mỗi lần
s* . Ä . ^.80.6060» _ 4000 đơn
IU . o
số lần đặt hàng tối ưu trong một năm theo (6.5)
n* = ậ =15 lần. s
Mức dự trữ trung bình trong kho
„ s* 4000 onnn . . zo = = = 2000 đơn vị
¿i zS
thời điểm đăt hàng là lúc trong kho cịn
B = QL - mS* = 60.000 X I - 2 X 4.000 = 2.000 đơn vị 6
Tổng chi phí cho dự trữ
D* = ■V2C1QIC = >/2.80.60000.0,2.3 = 2400.
Phân tích mơ hình.
ở mơ hình trên, ta đã giả thiết rằng khối lượng hàng đặt mua mỗi lần đều bằng nhau và do đĩ chúng được mua sau những khoảng thời gian như nhau. Ta sẽ chứng minh rằng giả thiết đĩ đưa ra khơng phải là khơng cĩ căn cứ.
Thật vậy, giả sử các khối lượng hàng đật mua mỗi lần khơng bằng nhau và như vậy khơng nhất thiết phải được đặt mua sau những khoảng thời gian như nhau. Chảng hạn trong thời gian T = 1 năm, cửa hàng đặt mua n lơ hàng dự trữ với khối lượng tương'ứng Sj (i = 1, 2, ..., n). Khi đĩ tổng lượng hàng hố được mua trong năm bằng
n
Q-ỵs,
i=l
D = cln + icf|.| = c,n + ^f^ (6.10)
i=l i=l
Ta tìm cực tiểu của biểu thức (6.10) với điều kiện ràng
n
buộc £ Sj = Q. Để giải bài tốn này ta sẽ sử dụng phương
i=l
pháp nhân tử Lagrăng. Ta lập hàm Lagrăng dạng sau:
n n
J=c>n + ^ZS? -MXSi - Q) (6.11), i=ĩ i=l
À = 0 nếu ỉ Si * Q
i=l
(6.12)
X > 0 nếu ỉ Sj = Q
i=l
Với điều kiện (6.12) hàm J luơn luơn đồng nhất với hàm D, do đĩ cực tiểu của hàm J theo Sj (i = 1, 2,..., n) cũng chính là cực tiểu của D. Các giá trị tối ưu của Sị là nghiệm của hệ phương trình sau:
ỠSi QSi 0 (i — 2’-"’ n)
Từ đĩ: s* = (i = 1, 2,..., n)
Như vậy ta thu được kết quả là tất cả các giá trị s*
đều bằng nhau và bằng XQ
IC‘ Kết quả thu được chứng tỏ rằng điều kiện bằng nhau của các khơi lượng hàng đặt mua đưa ra ở 6.2.1 khơng phải là thiếu cơ sở. Điều đĩ được suy ra từ giả thiết cường độ tiêu thụ dự trữ khơng đổi theo thời gian.