Bài tốn chất hàng tối ưu

MỘT SỔ BÀI TỐN ÚNG Ĩ)ỤNG CỦA QUI HOẠCH ĐỘNG

5.1.2. Bài tốn chất hàng tối ưu

Một tàu chở hàng cĩ trọng tải X tấn, cần chất lên tàu N loại hàng khác nhau. Giả sử V] (i = 1, 2,....N) là trọng lượng một đơn vị hàng loại i, Cị (i = 1, 2,...,N) là tiền lãi thu được khi bán một đơn vị hàng loại i (i = 1, 2,. ..,N). BàỊ tốn đặt ra là: Chất lên tàu những loại hàng gì và bao nhiêu đơn vị hàng cho từng loại để tổng trọng lượng của các loại hàng chất lên tàu khơng vượt quá trọng tải cho phép của tàu và tổng tiền lãi thu được là lớn nhất.

Giải

Nếu ta ký hiệu Xj (i = 1, 2, ,...N) là số lượng hàng loại i chất lên tàu, đây là các biến cần xác định. Gọi R(xb x2, ...,XN) là tổng tiền lãi thu được thì mơ hình của bài tốn như sau:

Tìm giá trị của các biến Xị > 0, nguyên, i = 1, 2,....,N sao cho:

N

R(xb X2,...,XN) = £ CịXi -> max i=i

với điều kiện:

N

£ CiXi < X i=l

Xị > 0, nguyên với i = 1, 2,..., N

Để giải bài tốn bằng phương pháp của qui hoạch động chúng ta xây dựng dẫy hàm fN(x) theo hệ thức truy hồi

fN(x) = max [cNxN + fN . }(x - VNXN)] (5.8) N = 2, 3,... fi(x) = Cx X vx là phần nguyên lớn nhất của Vi’ Ví dụ 5.2.

Giải bài tốn trên với các sơ liệu cho như sau: Bảng 5.6

và X = 20 (tấn).

Hàng loại i 1 2 3

Trọng lượng (tấn) Vi 4 10 12

Giải:

Mơ hình bài tốn:

R(X1, x2, x3) = llxx + 28x2 + 38x3 -> max

4xx + 10x2 + 12x3 < 20

• x&> 0, nguyên với i = 1, 2, 3

Điều kiện 4x1+10x2 + 12x3 < 20 <-> 2x1+ 5x2+ 6x3 < 10 Ta tính các giá trị của các hàm fx(x), f2(x), f3(x) và các giá trị Xi(x) tương ứng

fx(x) = cx Bảng 5.7 X V1 X Í1(X) Xl(x) 0-1 c 0 2-3 11 1 4-5 22 2 6-7 33 3 8-9 44 4 10-11 55 5 12-13 66 6 14-15 77 7 f2(x) = max [28x2 + fx(x - 5x2)]

Bảng 5.8 X2 X 28x2 + fi(x - 5X2) f2(x) x2(x) 0 1 2 0-1 [0] 0 0 2-3 [11] 11 0 4 [22] 22 0 5 22 [28] 28 1 6 [33] 28 33 0 7 33 [39] 39 1 8 [44] 39 44 0 9 44 [50] 50 1 10 55 50 [56] 56 2 f3(x) = max [38x3 + f2(x - 6x3)] X 38x3 + f2(x - 6X2) f3(x) x3(x) 0 1 0-1 [0] 0 0 2-3 [11] 11 0 4 [22] 22 0 5 [28] ■ 28 0 6 33 [38] 38 1 7 [39] 38 39 0 8 44 [49] 49 1 9 [50] 49 50 0 10 56 [60] 60 1

Từ bảng 5.9 ta cĩ x3(10) = 1, từ bảng 5.8 ta cĩ x2(4)=0, từ bảng 5.7 ta cĩ x1(4) = 2

Vậy ta cĩ f3(20) - 60, ứng với jq = 2, x2 = o, x3 = 1

Chú ý về tính tốn:

Ờ trên, khi giải bài tốn cụ thể tìm cực đại của hàm N

(5.1) với các điều kiện £ Xj = X , Xj e {0, 1, 2, ...., x} Nếu i=i

chúng ta bỏ điều kiện các biến nhận giá trị nguyên và xét bài tốn sau: N R(X1, X2,...,XN) = Y gi(Xj) -> max i=l N Z Xi = x i=l Xi > 0, i IZ (1, 2,..., N) Ở đây các hàm gi thoả mãn gị(0) = 0 Nếu chúng ta ký hiệu fN(x) = max R(xb x2,..., xn) {xb x2,..., XN} N ở đây £ Xj = X , Xị > 0, i = (1, 2,..., N) i=l

Chúng ta nhận được hệ thức truy hồi, dựa trên nguyên lí tối ưu

0 < XN < X

f;(x) = g](x)

Dẫy hàm fN(x) và các giá trị tối ưu tương ứng Xj(x) phần lớn khơng biểu diễn được bằng cơng cụ giải tích, nên chúng ta phải bảng hố. Để cĩ được những giá trị của hàm fN(x) trong khoảng [0, x0], chúng ta chọn các điểm nút:

X = 0, A, 2A, rA = x0

Chúng ta lập bảng giá trị của mỗi hàm tại các điểm này. Các giá trị của fN(x) đơi với những X khác với các điểm nút, ta xác định bằng nội suy. Dùng phương pháp nội suy nào phụ thuộc vào độ chính xác yêu cầu.

Chẳng hạn, nếu kA < X < (k + 1)A thì giá trị gần đúng đơn giản nhất của fN(x) là

fN(x) = fN(kA)

hoặc fN(x) = fN(kA) + (X - kA)fN[(k+1)A^ ~ fN(kA)

Cần chú ý là nội suy chỉ sử dụng khi hàm liên tục. Nhưng nếu các hàm gị(x) liên tục thì cĩ thể chứng minh được rằng các hàm fN(x) cũng liên tục, nhưng Xj(x) khơng nhất thiết phải liên tục.

Khi lập bảng đối với fN(x) và xN(x), chúng ta tính trình tự như sau:

fj(kA) = gỵlkA), k = 1, 2,..., r Sau đĩ:

f2(x) = max [g2(kA) + fj(x - kA)J k e {0, 1,.... r}

Ơ đây, X cĩ thể nhận chỉ các giá trị 0, A, 2A,...., rA, đồng thời ta xác định các giá trị của x2 ứng với giá trị cực đại của f2(x),...

Chúng ta xét một ví dụ khi bỏ điều kiện nguyên của các biến và các hàm gi(Xj), i = 1, 2,..., N, được cho bởi cơng thức. Ví dụ 5.3. R(xb x2, x3) = X2 + 2x2 + X2 = 9 -> min Xj + x2 + x3 = 9 Xị > 0 (i = 1, 2, 3) Giải

Theo hệ thức truy hồi (5,7) ta cĩ

f3(9) = min [x? + 2x2 + X2 "J = min [x| + f2( 9 - x3 )j 0 < x3 < 9

Đặt 9 - x3 = y, ta cĩ:

f2(y) = min [xị + 2x2 ] = min [2x2 + fi( y - x2 )] Xj + x2 = y 0 < x2 < y

Đặt ỵ - x2 = z

fjXz) = X2 = z2 => xL(z) = Z.

Ta quay trở lại tính f2(y)

f2(y) = min [2x2 + z2 ] = min [2x2 + (y - x2)2 ] 0 < x2 < y , 0 <• x2 < y

Đặt Gfx2) = 2x2 + (y - x2)2. Tìm giá trị nhỏ nhất của G(x2) trên đoạn [0, y]

G’(x2) = 2x2 - 2(y - x2)

Cho G’(x2) = 0 => 2x2 - 2(y - x2) = 0 => x2(y) = e [0, y]

Dễ thấy hàm G(x2) đạt giá trị nhỏ nhất tại x2 =

nên f2(y) = 2( I )2 + ( I y )2 = I y2 = I (9 - x3)2

Thay vào biểu thức f3 ta cĩ:

f3(9) = min [ x| + I (9 - x3)2 ] 0 < x3 < 9 Đặt H(x3) = X2 + ^(9 - x3)2. Tìm giá trị nhỏ nhất của H(x3) trên đoạn [0, 9] H’(x3) = 2x3 - 3 (9 - x3) Cho H’(x3) = 0 => 2x3 - ị (9 - x3) = 0 => x3(9) =

Dễ thấy tại x3 = hàm H(x3) đạt giá trị nhỏ nhất nên Ị

f3(9) = ( y )2 162

5 Giá trị tối ưu của các biến: